2024年3月18日发(作者：2016湖南高考数学试卷和答案)
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陈纪修《数学分析》（第2版）（上册）课后习题
第1章集合与映射
§1集合
1．证明由n个元素组成的集合
证明：由k个元素组成的子集的个数可列式为
有个子集．
2．证明：
（1）任意无限集必包含一个可列子集；
（2）设A与B都是可列集，证明AUB也是可列集．
证明：（1）设T是一个无限集，先取a
1
∈T．根据题设，必存在
必存在
，此过程可以无限进行下去，于是得到可列集
；也
（2）设，则AUB可表示为
．
3．指出下列表述中的错误：
（1）；
1
/
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（2）；
（3）{a，b}∈{a，b，c}；
（4）{a，b，{a，b}}＝{a，b}．
解：（1）{0}是由元素0构成的集合，不是空集．
（2）a是集合{a，b，c}的元素，应表述为a∈{a，b，c}．
（3）{a，b}是集合{a，b，c}的子集，应表述为
（4）{a，b，{a，b}}是由a，b和{a，b}为元素构成的集合，故
或{a，b}∈{a，b，{a，b}}，但{a，b，{a，b}}≠{a，b}．
．
，
4．用集合符号表示下列数集：
（1）满足的实数全体；
（2）平面上第一象限的点的全体；
（3）大于0并且小于1的有理数全体；
（4）方程sinxcotx＝0的实数解全体．
解：（1）｛x|－2＜x≤3｝．
（2）｛（x，y）|x＞0且y＞0｝．
（3）｛x|0＜x＜1且x∈Q｝|．
（4）．
5．证明下列集合等式：
（1）
（2）
2
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，则x∈A，且或x∈B，或x∈D．于是或有
，故
，证明：（1）设
或有，即可得
设
x∈D，即可得
，则或
，故
，或．于是x∈A，且或x∈B，或
因此
．
（2）设，则，即，于是，因此
设，则，即，于是
．
，因此
因此
．
6．举例说明集合运算不满足消去律：
（1）
（2）
其中符号表示左边的命题不能推出右边的命题．
，但B≠C．
，但B≠C．
解：（1）设A＝{a，b，c}，B＝{b，c，d}，C＝{c，d}，则
（2）设A＝{a，b，c}，B＝{c，d，e}，C＝{c，d}，则
7．下述命题是否正确？不正确的话，请改正．
3
/
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并且x∈B；
或者x∈B．
或x∈B．
且．
（1）
（2）
解：（1）不正确．
（2）不正确．
§2映射与函数
1．设S＝{α，β，γ}，T＝{a，b，c}，问有多少种可能的映射f：S→T？其中哪些是双
射？
解：由题意可知有3
3
＝27种可能的映射，其中有3!＝6种是双射，它们分别为
2．（1）建立区间[a，b]与[0，1]之间的一一对应；
（2）建立区间（0，1）与（－∞，＋∞）之间的一一对应．
解：（1）f：[a，b]→[0，1]
（2）f：（0，1）→（－∞，＋∞）
3．将下列函数f和g构成复合函数，并指出定义域与值域：
4
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；
；
；
．
，定义域：，值域：（－∞，＋∞）．
．
，值域：[0，＋∞）．
，值域：．
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1）
（2），定义域：（－∞，0]，值域：
（3）y＝|tanx|，定义域：
（4），定义域：
4．指出下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的：
（1）
解：（1）
（2）．
；（2）
．
．
5．求下列函数的自然定义域与值域：
（1）
（2）
（3）
（4）．
，值域：（－∞，0]．
，值域：[0，1]．
．
5
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；
；
；
解：（1）定义域：
（2）定义域：
（3）定义域：[－4，1]，值域：
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，值域：．（4）定义域：
6．问下列函数f和g是否等同？
（1）
（2）
（3）
解：（1）函数f和g不等同．
（2）函数f和g不等同．
（3）函数f和g等同．
；
；
．
7．（1）设
（2）设，求f（x）．
，求f（x）；
解：（1）令x＋3＝t，则x＝t－3，代入等式可得
故
（2）令，则
．
，代入等式可得
故．
8．设
解：
，求的函数表达式．
；
；
6
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集合,函数,下列,元素,全体,命题,子集,题库
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