隐藏的玫瑰线

2023年12月26日发(作者：2022陕西中考数学试卷25题)

20中等数学初考叙嗲蚵究隐藏的玫瑰线宋强(天津市红桥区佳庆里,300134)中图分类号:〇123. 1 文献标识码:A 文章编号：1005 - 6416(2021 )04 - 0020 - 05玫瑰线的说法源于大航海时代的欧洲海

图.早期的航海图上没有经纬线，有的只是一

些从中心发出的有序地向外辐射的方位线

(称为罗盘线）.古希腊神话中的各路风神被

描绘在这些线上，作为方向的标记.葡萄牙水

手称他们的罗盘盘面为“风的玫瑰”，根据太

阳的位置估计方向，再与“风玫瑰”对照找出

航向.玫瑰线（即指引方向的线）由此产生.数学中的玫瑰线的极坐标方程为p = asin n〇 9p = acos n〇.由三角函数的特性，知玫瑰线具有周期

性，且其包络为光滑的对称图形.玫瑰线的几何结构取决于方程参数的取

值，其中，参数《(包络半径）控制叶子的长

短，参数〃控制叶子的个数、宽窄及周期的长

短.例如，对于方程式p =4sin 30, p =4sin 20, p =4sin —,分别对应三叶、四叶、六叶玫瑰线.本文仅讨论极坐标方程为p = asin 3d, p = acos 3d

的图像，如图1，称为三叶玫瑰线（简称为“三

叶草”）•题目一条直线^称为一个三角形r的

“焦点直线”当且仅当存在这个平面上的一

点，其在三角形r的三边上的投影均在直线

d上.三角形八与三角形r2是“等价的”当

且仅当f的焦点直线的集合与r2的焦点直

线的集合相同.对于这个平面上任何给定的

一个三角形r,证明:恰存在一个正三角形与

三角形r是等价的.[1](2018, 土耳其国家队选拔考试）文[1]首先确定“焦点直线”即为“西姆

松线”，再运用西姆松线的两个性质将西姆

松线集合与“标记九点圆”对应，证明结论.

【分析】本文用复数方法.首先，对于“焦点直线”与“西姆松线”的

一致性给出一个严格的证明.进而，对于平面

上一个固定点夂将每条不过％的焦点直线

J与点尤到直线^的投影A —一对应，建立

焦点直线集合d到一条曲线G的映射，其中，

G = | zj z,为点z到d的投影y 6川

称为关于尤的“生成曲线其次，找到适当的点夂使Q的表达式

一般化，得到统一的图像（“三叶草”）.最后，证明加强命题:任意两个共面的三

角形，只要其外接圆半径相等，则通过适当的

p=asin 36 p=acos 30旋转平移，二者即为等价的.证明（1)设AAfic关于点p的焦点直

线为，其中，匕、h、匕分别为点p在图1收稿日期:2020-11 -16

2021年第4期21直线BC、C4、仙上投影•以A/IBC的外心0为原点建立复平面，

记A/ifiC的外接圆半径为/•，约定平面上任

一点X对应的复数仍用Z表示.知/^=4+:AIP~^ .,(P-~Alc-2(c-yl 1-Aj)A C-AP—+2C-A①由点/在此上，可设

A( ^CPh =A +fx(C - A) (fi G R).2+P_21 r2)P+A C,m由/^丄K

g ^为纯虚数2 +^1<=>p-PbPb\'P+A BlPAc-A将c换成圯得匕U\'-2 + T.了丨IP--A(P设点0在上的投影分

(c^^4-/x) +-A(c-A ~7^) = °P-A (P -别为 〇a、〇fcA.—C— A-A + (c-将式①的(HC)换成(0,P6,PJ得0=2^+lpc~PbPb~Pc_7bPc,2

)pc2(\"c-匕)(P +

P+2A,S2h------ APA(P+A ClPAPAr2+i2f(1-~J~.了I(5-C) 1 -PA(C -B) (1CB^-CBl, _PA

\'4(B-C) r2

JP+A {P+A)BC (r2-PA) C + Bi

PA4 +

4r2 \'(r2 - PA) + 4 |’了 1P+A+B + C P(AB + BC + CA) | fiC/p | (p |PA44r24r21 r2PAiP + A + B + C _P(AB + BC + CA) BClp Ar2-P^M

4 4r2 +4r2

r2 - P A )类似地，〇6P+A +B + C P(AB +BC + CA) CAl^ t Br2 -P2B:-----------4

----------4r2^-------+47(P—()P+A+B + C P(AB+BC + CA) |P +Cr2 -?C-PC由h、/^、/三点共线，知〇a =

〇6 =

，即Ar2 -~^A ^

Br2 -?5

tj- ,

Cr2 -?C

22中等数学即Ar2 -P1 A _~^ Br2-^B

$ Pa、Pb、匕为Aabc三边中点，A-P ~bH+ B-P与三点共线矛盾.7^ Cr2-P^C

~L C-P \'从而，ipi = r，即点p在A仙c的外接圆

mA-B)p=Br2 -P^B Ar2 -P^A

上，其焦点直线即为西姆松线.B-P~A-P(2)将外心〇在直线/VP6h上的投影

=> {A-B)P{A-P)(B-P)记为Op，此时，= (Br2 -P1B)(A-P)~0P=0a(Ar2 -P1A)(B-P)P+A+B + C AB + BC + CA=r(BA -BA)+PrA -B)+PP1(B -A)

44P+=>P(A-P)(B-P)1^A

JA )=-r2(A+B) + Pr2 + PP1厂P+A+B+CAB+BC + CA44P+=>

(PP-r2)(^+fi-P + ^) = Pr2 - P^A

若/贝 IJAr2\' r2-PAP+A+B+CAB + BC + CAA+B=P-PABr2 *

②44P十ABC r2 -PA类似地，S+C=p-Tr,③4P (A-P)：r2P+A+B+CAB+BC + CAABCC+A=P-PCAr2 •

④44P4P2②-③得显然，该表达式关于4、S、C对称，但仍

= {C^)PB

2^

不简化.r故将固定点换成A 的九点圆圆心③-④得NAT

= —

H

2

=A---+B-2- +

--C.B-A(A-B)PC4 PC记点iV在直线乙上的投影为

iXP(B-C) = 0 P=0将式①的(hAC)换成(^6，匕），得N + Pb N — Pb Pc-PbNP22 Pc~PbA±4±c +

p±A±cAC /A+B + CP+A+C(fi —C)(l -夠2P + (~r~2.編(5-C)fl

2021年第4期23A1A+C +P + B2AC +(B-P Pr2-2P +2

+2AC

ABC

ACIB-P Pr22

+2ACI Pr2)~2P +AC(AC ABC

l~2P +(2P-2P2 +2)JABC

~ IP2)ABCp~JJ=J\'A + C +\'A + C +P + B21=2P + B2_ 1\'a+B + C +

j^/v/3-/v = |(p-P2 I\')).i^ABC =

r3e3fi 1 (3/3 € [0,2k由△他c的外接圆半径决定,位置由AMC

的九点圆圆心决定，角度由复数/IfiC决定•(3)下面证明：对一个三角形的焦点直

线集合Z),有唯一点#，使得生成曲线G图像为三叶草状.否则，假设有另一点V，使得心.的图像也为三叶草状（其大小为即图像上点到中

心#\'的最远距离）.一方面，取G的三个叶的顶端为G、E、

的

考虑的生成曲线，该曲线在以

/v为原点的复平面上的表达式为尸—亨)(一设尸=re(卢+2〇t)i(a G[0,7T)).则(/3+2a)i _ ^(/3-4a)^=4(C(y3 -a)i厂已 / 3a

i

4re(/3-a)i、e -e

-3a

i )2i sin 3aF，则/VC =斯=靜•过点C、£、F分别作認、層、，的垂线4 A A•由生成曲线

的定义，知心6 £>,且它们是离#最

•交出正考虑

，则远的焦点直线.如图3，设4点/V\'在平面内的位置，有三类（I、n、!!!）•re幻-sin3a.取 0 = |_a 6

=^-(- cos 30)记一个标准曲线C。:X= (-cos 30)e91.

其图像为三叶

草，如图2.故曲线&为将

图3曲线CQ以/V为中心、放缩+倍且逆时针旋转角0得到.其大小4的距离；若/V\'6 I，则yv\'到4的距离大于#到

若we in，则/V\'到心的距离大于/v到

24中等数学心的距离；若V6II，则由S四边形;V\'JfZy >

S四边形/yjfzy特别地，与A45C等价的正△小FC\'是

以A仙c的九点圆圆心yv为外心，其外接圆

半径与的外接圆半径相等，且

(B\'-N)3 =ABC.这样的正三角形唯一且存在.原题得证.

【注】以上讨论忽略了过九点圆圆心/V

的焦点直线，即=^d(N\',dG) + d(N\',dE)> d(N,dG) + d(N,dE) = r^maxd(N\',de),d(N\',dE) >j~.综上，r\' > r.另一方面，考虑点/V关于/V\'的位置关

系，得r > r’.二者导出矛盾.故每个三角形的焦点直线集合对应唯一

点乂使得Q为三叶草状.从而，AAfiC与A/i\'5\'C\'等价当且仅当

二者的生成曲线“三叶草”相同，即二者的九

点圆圆心重合，且外接圆半径相等，同时，以

各自外心为原点的复平面（实轴方向一致）

上的复数与相等•)36> =3(吾-<2/

(2“21)tt37t 3tc](k e Z)了，了.=> k=-1,0,1

=>a=0,f,j=>

p=re^1,re(⑷Ve(卜学)、此时的三条焦点直线过点7V.参考文献：[1]《中等数学》编辑部编.国内外数学竞赛题及精解

(2017—2018)[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社，

2019,6：258.稿 约本刊是以报道中学数学课外活动和数学竞赛为中心内容的专业刊物。欢迎作者为数学活动课程讲座、命

题与解题、从高考到竞赛、赛题另解、学生习作、初等数学研究、数海拾贝、课外训练、数学奥林匹克问题等栏

目撰稿。来稿请注意：1. 内容要新颖，形式要活泼，提倡短小精焊，讲清一、两个问题，不要“大而全”。稿件一般不超过3 000

字，长文不超过5 000字。2. 讲座稿应附有相应的练习题(5 ~7个），并随练习题给出提示。3. 文中例题最好选用国内外的竞赛试题，并标出竞赛全称、届次和时间。4.

题出处。5.

凡为本刊课外训练和数学奥林匹克问题栏目提供的稿件，请注意:试题内容范围以中国数学会普及工

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