韦达定理

2023年12月30日发(作者：辽阳中考数学试卷及答案)

韦达定理

韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达在16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

基本介绍

英文名称：Vieta\'s formulas

韦达定理证明了一元n次方程中根和系数之间的关系。

这里讲一元二次方程两根之间的关系。

一元二次方程aX^2+bX+C=0﹙a≠0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+X2=-b/a，X1*X2=c/a

定理内容

一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac>0)中，设两个根为x1，x2 则

X1+X2= -b/a

X1*X2=c/a

用韦达定理判断方程的根

一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)中，

若b^2-4ac<0 则方程没有实数根

若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根

若b^2-4ac>0 则方程有两个不相等的实数根

证明结论

由一元二次方程求根公式为：X = (-b±√b^2-4ac)/2a

（注意：a指二次项系数，b指一次项系数，c指常数，且a≠0）

可得X1= (-b+√b^2-4ac)/2a ，X2= (-b-√b^2-4ac)/2a

1. X1﹢X2=（-b+√b^2-4ac)/2a+（-b-√b^2-4ac)/2a

所以X1﹢X2=-b/a

2. X1X2= [（-b+√b^2-4ac﹚÷2a]×[（-b-√b^2-4ac﹚÷2a]

所以X1X2=c/a

（补充：X1^2+X2^2=(X1+X2)^2-2X1·X2

（扩充）3.X1-X2=（-b+√b^2-4ac)/2a-（-b-√b^2-4ac)/2a

又因为X1.X2的值可以互换，所以则有

X1-X2=±【（-b+√b^2-4ac)/2a-（-b-√b^2-4ac)/2a】

所以X1-X2=±（√b^2-4ac）/a

韦达定理推广的证明

设X1，X2，……，xn是一元n次方程∑AiXi =0的n个解。

则有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0

所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiXi （在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好用乘法原理）

通过系数对比可得：

A（n-1）=-An(∑xi)

A（n-2）=An(∑xixi)

…

A0=[(-1) ]×An×ΠXi

所以：∑Xi=[(-1) ]×A(n-1)/A(n)

∑XiXj=[(-1) ]×A(n-2)/A(n)

…

ΠXi=[(-1) ]×A(0)/A(n)

其中∑是求和，Π是求积。

一元五次方程验证:

已知一个一元五次方程：a1*(x^5)+b*(x^4)+c*(x^3)+d*(x^2)+e*x+f = 0 设该式为形式1

根据高斯的代数原理：上式在复数范围内必可分解成：

a1*(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)*(x-x4)*(x-x5)=0 的形式；且x1,x2,x3,x4,x5是该多项式在复数范围内的根。

把上式展开成：

-a1*x1*x2*x3*x4*x5+a1*x*x2*x3*x4*x5+a1*x*x1*x3*x4*x

5-a1*(x^2)*x3*x4*x5+a1*x*x1*x2*x4*x5-a1*(x^2)*x2*x4*x5-a1*(x^2)*x1*x4*x5+a1*(x^3)*x4*x5+a1*x*x1*x2*x3*x5-a1*(x^2)*x2*x3*x5-a1*(x^2)*x1*x3*x5+a1*(x^3)*x3*x5-a1*(x^2)*x1*x2*x5+a1*(x^3)*x2*x5+a1*(x^3)*x1*x5-a1*(x^4)*x5+a1*x*x1*x2*x3*x4-a1*(x^2)*x2*x3*x4-a1*(x^2)*x1*x3*x4+a1*(x^3)*x3*x4-a1*(x^2)*x1*x2*x4+a1*(x^3)*x2*x4+a1*(x^3)*x1*x4-a1*(x^4)*x4-a1*(x^2)*x1*x2*x3+a1*(x^3)*x2*x3+a1*(x^3)*x1*x3-a1*(x^4)*x3+a1*(x^3)*x1*x2-a1*(x^4)*x2-a1*(x^4)*x1+a1*(x^5)=0

上述方程可化简成：

a1*(x^5)-(x2+x1+x4+x5+x3)*(x^4)*a1+(x4*x5+x1*x3+x2*x3+x1*x2+x2*x4+x1*x4+x3*x4+x3*x5+x2*x5+x1*x5)*

(x^3)*a1-(x3*x4*x5+x2*x3*x5+x1*x3*x5+x1*x2*x5+x2*x4*x5+x1*x4*x5+x2*x3*x4+x1*x3*x4+x1*x2*x4+x1*x2*x3)*

(x^2)*a1+(x2*x3*x4*x5+x1*x3*x4*x5+x1*x2*x4*x5+x1*x2*x3*x5+x1*x2*x3*x4)*x*a1-x1*x2*x3*x4*x5*a1=0

设化简后的方程为形式3.

最后对比形式1与形式3的x次方相同的数，即可得该

多项式根与系数的关系:

编辑本段韦达介绍

他1540年生于法国的普瓦图。1603年12月13日猝于巴黎。年轻时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。

韦达在欧洲被尊称为“现代数学之父”。韦达最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展。韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，指出了根与系数之间的关系。给出三次方程不可约情形的三角解法。著有《分析方法入门》、《论方程的识别与订正》等多部著作。

韦达从事数学研究只是出于爱好，然而他却完成了代数和三角学方面的巨著。他的《应用于三角形的数学定律》（1579年）是韦达最早的数学专著之一，可能是西欧第一部论述6种三角形函数解平面和球面三角形方法的系统著作。他被称为现代代数符号之父。韦达还专门写了一篇论文\"截

角术\"，初步讨论了正弦，余弦，正切弦的一般公式，首次把代数变换应用到三角学中。他考虑含有倍角的方程，具体给出了将COS(nx)表示成COS(x)的函数并给出当n≤11等于任意正整数的倍角表达式了。

他的《解析方法入门》一书（1591年），集中了他以前在代数方面的大成，使代数学真正成为数学中的一个优秀分支。他对方程论的贡献是在《论方程的整理和修正》一书中提出了二次、三次和四次方程的解法。

编辑本段代数著作

《分析方法入门》是韦达最重要的代数著作，也是最早的符号代数专著，书中第1章应用了两种希腊文献：帕波斯的《数学文集》第7篇和丢番图著作中的解题步骤结合起来，认为代数是一种由已知结果求条件的逻辑分析技巧，并自信希腊数学家已经应用了这种分析术，他只不过将这种分析方法重新组织。韦达不满足于丢番图对每一问题都用特殊解法的思想，试图创立一般的符号代数。他引入字母来表示量，用辅音字母B，C，D等表示已知量，用元音字母A（后来用过N）等表示未知量x，而用A quadratus,A cubus 表示 x2、x3 ，并将这种代数称为本“类的运算”以此区别于用来确定数目的“数的运算”。当韦达提出类的运算与数的运算的区别时，就已规定了代数与算术的分界。这样，代数就成为

研究一般的类和方程的学问，这种革新被认为是数学史上的重要进步，它为代数学的发展开辟了道路，因此韦达被西方称为\"代数学之父\"。1593年，韦达又出版了另一部代数学专著—《分析五篇》（5卷，约1591年完成）；《论方程的识别与订正》是韦达逝世后由他的朋友A.安德森在巴黎出版的，但早在 1591年业已完成。其中得到一系列有关方程变换的公式，给出了G.卡尔达诺三次方程和L.费拉里四次方程解法改进后的求解公式。而另一成就是记载了著名的韦达定理，即方程的根与系数的关系式。韦达还探讨了代数方程数值解的问题，1600年以《幂的数值解法》为题出版。

1593年韦达在《分析五篇》中曾说明怎样用直尺和圆规作出导致某些二次方程的几何问题的解。同年他的《几何补篇》（Supplementum geometriae）在图尔出版了，其中给尺规作图问题所涉及的一些代数方程知识。此外，韦达最早明确给出有关圆周率π值的无穷运算式，而且创造了一套

10进分数表示法，促进了记数法的改革。之后，韦达用代数方法解决几何问题的思想由笛卡儿继承，发展成为解析几何学。韦达从某个方面讲，又是几何学方面的权威，他通过393415个边的多边形计算出圆周率，精确到小数点后9位，在相当长的时间里处于世界领先地位。

编辑本段主要贡献

韦达最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展。韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，指出了根与系数之间的关系。给出三次方程不可约情形的三角解法。著有《分析方法入门》、《论方程的识别与订正》等多部著作。

由于韦达做出了许多重要贡献，后成为十六世纪法国最杰出的数学家之一。

编辑本段相关介绍

推广

韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个一元n次方程∑AiX^i=0X1,X2…，Xn

我们有右图等式组

其中∑是求和，Π是求积。

如果二元一次方程

它的根记作

在复数集中的根是，那么

由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程

在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：

其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。

(x1-x2)的绝对值为√(b^2-4ac)/|a|

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

韦达定理在方程论中有着广泛的应用。

例题

例1已知p+q=198，求方程x^2+px+q=0的整数根． (94祖冲之杯数学邀请赛试题)

解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1≤x2．由韦达定理，得

x1+x2=－p，x1x2=q．

于是x1·x2－(x1+x2)=p+q=198，

即x1·x2－x1－x2+1=199．

∴运用提取公因式法(x1－1)·(x2－1)=199．

注意到（x1－1）、（x2－1）均为整数，

解得x1=2，x2=200；x1=－198，x2=0．

例2已知关于x的方程x^2－(12－m)x+m－1=0的两个根都是正整数，求m的值．

解：设方程的两个正整数根为x1、x2，且不妨设x1≤x2．由韦达定理得

x1+x2=12－m，x1x2=m－1．

于是x1x2+x1+x2=11，

即(x1+1)( x2+1)=12．

∵x1、x2为正整数，

解得x1=1，x2=5；x1=2，x2=3．

故有m=6或7．

例3求实数k，使得方程kx^2+(k+1)x+(k－1)=0的根都是整数．

解：若k=0，得x=1，即k=0符合要求．

若k≠0，设二次方程的两个整数根为x1、x2，且X1≤X2，由韦达定理得

∴x1x2－X1－x2=2，

(x1－1)( x2－1)=3．

因为x1－1、x2－1均为整数，

所以X1=2，X2=4；X1=—2，X2=0.

所以k=1,或k=-1/7

例4已知二次函数y=－x²+px+q的图像与x轴交于(α，0)、(β，0)两点，且α>1>β，求证：p+q>1． (97四川省初中数学竞赛试题)

证明：由题意，可知方程－x²+px+q=0的两根为α、β．

由韦达定理得 α+β=p，αβ=－q．

于是p+q=α+β－αβ，

=－(αβ－α－β+1)+1

=－(α－1)(β－1)+1>1(因α>1>β)．