2024年3月13日发(作者：深圳南山初三联考数学试卷)

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6.4 极差、方差、标准差

【学习目标】

1．经历表示数据离散程度的几个量度的探索过程；

2．了解刻画数据离散程度的三个量度——极差、方差、标准差；

3．能借助计算器求出相应的数值，并在具体问题情境中加以应用；

4.通过实例体会用样本估计总体的思想。

【学习过程】

本章前面曾经有一个图，反映了甲乙丙三个选手的射击成绩。显然，图中甲的成

绩整体水平比丙的好。那么，甲乙两人的射击成绩如何比较呢？除了平均水平外，是

否还有其他直播奥反映数据的信息呢。

活动1：认识极差、方差、标准差

1.（1）估计甲、乙两位选手射击成绩的平均

数；

（2）具体算一算甲、乙两位选手射击成绩的

平均数，并在图中画出纵坐标等于平均成绩的

直线；

（3）甲乙的平均成绩差不多，但好像稳定性

差别挺大的。你认为哪个选手更稳定？你是

怎么看出来的？

（4）一般地，你认为如何刻画一组数据的稳定性。

学习链接1

运用•巩固

2.分别求甲、乙两位选手射击成绩的极差、方差、标准差，说明选手更稳定。

甲选手：极差= ；方差= ；标准差= ；

乙选手：极差= ；方差= ；标准差= 。

选手 更稳定。

活动2：在实例中感受极差、方差、标准差的关系

1.为了提高农副产品的国际竞争力，一些行业协会对农副产品的规格进行了划分。

某外贸公司要出口一批规格为75克的鸡腿，现有3个厂家提供货源，它们的价格相同，

鸡腿的品质也相近。

质检员分别从甲、乙、丙3个工厂的产品中抽样调查了20个只鸡腿，它们的质量

如下图所示：

10

8

6

4

2

0

次数

甲

乙

丙

环数

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甲厂

丙厂

80

79

78

77

76

75

74

80

79

78

77

76

75

74

73

72

71

70

（1）观察上图，你认为哪个工厂抽取的鸡腿更符合要求？你是如何“看”出来？

（2）依次求出三个工厂抽取的10个样品的极差、标准差、方差，并与自己圆心的估

计进行比较。

反思•交流

2．极差、方差、标准差三者之间有什么区别和联系？在选择统计量刻画数据的波动水

平方面，你有哪些经验，与同伴交流。

活动3：探索用计算器求极差、方差、标准差

1.探索用计算器求数据的极差、方差、标准差，并与同伴交流。

提示：与求数据代表类似，总得先进入统计状态，依次输入数据，只是最后选择的

统计量不一样了；另外，多数计算器没有方差键，可以先算出标准差，然后再平方。

运用•巩固

2.用计算器求三个工厂鸡腿的极差、方差、标准差，并与原来的计算结果进行对比。

活动4：自主反馈

1.在某旅游景区上山的一条小路上，有一些高低不平的台阶。如图是其中的甲、

乙两段台阶的示意图。请你用所学过的有关统计知识回答下列问题：

（1）两段台阶有哪些相同点和不同点？

15

14

14

16

16

15

11

18

17

10

19

必要的时候，查看说

明书。

（2）哪段台阶路走起来更舒服？为什么？

15

（3）为方便游客行走，需要重新整修上山的小路，对于这两段台阶路，在台阶数不变

的情况下，请你提出合理的整修建议。

学习链接2

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2.一次科技知识竞赛，两组学生成绩统计如由表。

分数

（1）估计甲、乙两组这的平均成绩。

（2）甲组的最高分是多少？最低分又是多少？它

们相差多少？乙厂呢？

（3）请你根据所学过的统计知识，进一步判断这

两个小组在这次竞赛中成绩谁更优秀？并说明理

由。

5678

1

9

1

10

6

12

0 0 0 0 0 0

0 3 4

2 1

2 6

甲组人2 5 1

数

数

乙组人4 4 1

3.为了解市场上甲、乙两种手表日走时误差的情况，从这两种手表中各随机抽取10块

进行测试，两种手表日走时误差的数据如下（单位：秒）：

你认为甲、乙两种手表中哪种手表日走时稳定性好？说说你的理由。

【学习链接】

1.实际生活中，除了关心数据的“平均水平”外，人们往往还关注数据的离散程度，

即它们相对于“平均水平”的偏离情况。极差、方差、标准差都是刻画数据离散程度

的统计量。

极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差。

方差是各个数据与平均数差的平方的平均数，即

1

S

2

[(x

1

x)

2

(x

2

x)

2

(x

n

x)

2

]

x

是

x

1

,x

2

,

,x

n

的平均数，

S

2

是方差。

n

其中，

标准差就是方差的算术平方根。

一般而言，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定。

2.解：（1）相同点是：都有6级台阶，平均高度均为15；不同点是：第一段台阶的标

准差是0.894427，第二段台阶的标准差是3.741657；

（2）第一段台阶走起来更舒服。因为它台阶高度的标准差比第二段台阶高度的

标准差小，走起来更平稳。

（3）将这两段台阶的高度都尽可能修成15。

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