2024年1月6日发(作者：涟水考试题型小学数学试卷)
2021年第2期中学数学教学参考（上旬） ^「‘三新”背景下数学运算核心素养的提升以解析几何的习题课教学为例王飞燕（广东省深圳市第二实验学校）摘要：本文以一节解析几何的习题课为例，阐述提升学生的数学运算核心素养的措施。
关键词：核心素养；数学运算；思想方法；解析几何；运算能力
文章编号：1002-2171 (2021)2-0044-041概述到化难为易、化繁为简的解题效果。例1 如图1，F,，F2是椭《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出：数
学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则
圆G: t+y = 1与双曲线c2解决数学问题的素养1]]。主要包括：理解运算对象，
的公共焦点，A，B分别是C,，C2
掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运
在第二、四象限的公共点。若四
算程序，求得运算结果等。在数学运算核心素养的形
边形为矩形，求C2的 图1成过程中，学生能够进一步发展数学运算能力；能有
离心率。效借助运算方法解决实际问题；能够通过数学运算促
设计意图：椭圆和双曲线的离心率问题是圆锥曲
进数学思维发展，养成程序化思考问题的习惯；形成
线部分考查的重点之一，而学生的思维方式不同，切
一丝不苟、严谨求实的科学精神。人点不一样，解题的方法亦不相同。有的学生想到利
解析几何是高中数学重要的研究内容，亦是高考
用坐标法，设点A的坐标为（_!•〇，>)。首先，点A在热点，它是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的
椭圆c]:f+y = i上，满足楠圆方程，所以有警+观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题
的优越性，是考查数学运算能力的重要载体。然而解
W = 1。又因为四边形为矩形，得到向量
析几何问题一般综合性强，涉及的变量多，运算量大，
的数量积为0,从而得到点A的坐标为（I。，
或者需要繁杂的讨论，这些都会影响学生的解题速
%)。再继续求AF,，AF2的长度.得到双曲线的实轴
度，甚至会中止解题过程，使学生“望题兴叹”。特别
长，求得焦距，便可得到双曲线(：2的离心率。但是这
是高考，要在规定的时间内，保质保量完成解题任务，
种运算思路既要解方程组，又要用到两点间的距离公
计算能力是一个非常重要的要求。为此，本文以一节
式，计算量比较大，能否简化运算呢？数学定义是构
解析几何习题课为例，谈课堂教学中如何提升学生的
成定理、法则、公式的基础，是形成基本知识、基本技
能和关键能力形成与发展的“源”，圆锥曲线的定义是
运算素养。描述动点满足的本质特征，实际是动态中的定值，因
2教学片段为A，B既是椭圆上的点，又是双曲线上的点，用椭圆
和双曲线的定义，再加上矩形的条件就可以建立相应
2.1回归定义，合理选择运算思路的关系式，即可求出双曲线的实半轴长的值。回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概
解：由已知得F, (_7^,〇)，&(7^，〇),设双曲线
念解决问题，这是一种朴素而又重要的策略和思想方
C2的实半轴长为a.由椭圆及双曲线的定义与已知可
法。圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发
■|AF,| + |AF2|=4,点，又是新知识、新思维的生长点。对于圆锥曲线问
得^/^2丨一|八厂1|=2^，解得《2 = 2，故^=在。所
题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达.|AF, |2 + |AF2|2 = 12,
wvvw zhongshucan com2021年第2期中学数学教学参考（上旬）以切曲线C2的离心率V2
2本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立IAF,丨，
关系，从而快速解决问题。2.3巧设参数，选择优化的运算方法换元设参是一种重要的数学方法，特别是解析几
何中的最值问题、不等式问题等。利用换元设参能使
|AF2|的等量关系，快速求出双曲线实半轴长的值，
从而顺利求出双曲线的离心率。选择合理的方法，大
大减少了运算量。2.2设而不求，合理选择运算路径设而不求是解决解析几何问题的基本手段，也是
一种比较特殊的思想方法，其实质是整体结构意义上
的变式和整体思想的应用。例2已知椭圆£:a4
+ #b=l(a>6>0)的右焦
点为F(3,0),过点F的直线交£：于A，B两点。若
的中点坐标为（1，一
1)，求£的标准方程。解法1:由已知可求出直线AB的方程为^ =音•联立椭圆方程得整理得(5a2 — 36):r2 —6a2x + 45a2—4a4 =0,利用根与系数
的关系，可得36 =
2,解得a2 = 18。所以椭圆的方程为fj +苦=1。解法2:设出两点的坐标，代人椭圆的方程，
再将两个式子作差后可以转化为表示AB的斜率。设
ACjn，:y!)，_B(x2，：y2)，则
a +x2 =2,3^ +：y2 =〇〇=1,①一
2，且-〇〇卜=1,62②0 (Xl +x2)(xi
—x2),1
(^1+3,2>(3,i
\'―力）一na21
b2b^_
X] +x2 _
b2
所以a2
y
--yz
a2又0 +
1+»所以^:又 9 =
c2=a2—62，解得 62=9，a2 = 18。所以椭圆£的方程为fj +
f =
1。设计意图：这是圆锥曲线中的中点弦问题，以上
是求解这类中点问题最常规的两种方法，显然，设而
不求的解法比根与系数的关系法的运算量少很多。
解法2用点差法设而不求地表达出直线AB的斜率，
通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的一些看似无关的条件产生联系，激活解题方法，达到
化难为易，事半功倍的解题效果。常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直
线的倾斜角等。在换元过程中，要注意代换的等价
性，防止扩大或缩小原始变量的取值范围或改变原题
的条件。例3设橢圆$ +多=
l(a>6>0)的左、右顶点分别为A，B，点P在楠圆上且异于A,B两点，O为坐
标原点。若丨AP | = |
OA |，证明直线（)P的斜率々满足⑷〉W。解法1:依题意，直线〇尸的方程为y =
h•.设
点P的坐标为U。，％)。由条件得4w
t 消去y。并整理，得4 =Z+F=1’a2b2k2a2+b2°③由 |
AP| =丨
OA |，A(—a，0)，：y〇= 々:c。，得（a：。+
a)2 +
A2:c§ =
a2，整理得（1 +
A2 )
x? +
2<2x〇 =
0。而
x。#0，所以
i。= ^+以-。—9n将々=代人③式，整理得（1 +
p
)2 =
4是2(含)2+4。又
a>6>0,故（1 + 々2)2>4々2+4，即走2 + 1>4,因此P>3,所以U|>W。解法2:依题意得直线OP的方程为y =
61。可
设点P的坐标为（xQ，々:c。）。由点P在椭圆上，可得
xl .
k2xl_卞~^■— °因为a>6>0，/b:。关0,所以a4
更多推荐
运算,学生,问题,数学,素养,椭圆,方法
发布评论