数学为什么难以理解

2024年3月14日发(作者：小升初数学试卷能打印)

数学为什么难以理解？——彭加勒问题及其解答

郝宁湘

产生数学困难的主要原因是人的智力因素。下面我们就分别将三种困难的形

成原因作一简单探讨，同时也将阐明人的数学素质或能力具有哪些方面的内容。

首先，我们认为，数学合理性困难的产生是基于人的理解力、逻辑推理能力、想

象力、记忆力和注意力的相对低下，所谓理解力主要是指对概念、性质和关系的

辩认、分类能力，寻找逻辑关系或类比的能力。如果一个人的理解力等不高，那

么在他学习数学的过程中就会遇到种种合理性的困难。他会无法理解许多数学概

念、无法发现命题之间的逻辑关系。面对一个如“蜡烛的长度为１５ｃｍ，烛影

的长度比它长４５ｃｍ，问烛影的长是蜡烛的几倍”这样的问题，他或者是不会

解答，或者是回答“是三倍”。即使给他再三提示，他也不会看出其回答的错误

来。因此，我们认为，数学合理性困难首先是由于理解力相对低下而引起的。另

外，记忆力和注意力相对低下也是引起数学合理性困难的一大原因。尽管具有一

定的理解力，一时理解了的概念、命题和法则，由于记忆力等不够强、随后也会

象彭加勒所说的那样，忘记或混淆了概念、命题和法则的内涵，以及使用它们的

条件和范围。这种误差只要有一点点，结果就会是错的。其次，数学抽象性困难

是由人们长期形成的直观思维定式所造成的。绝大多数人善于形象的直观的思

维，对于抽象的数学符号人们往往驾御不了。如果他们在实践中或现实世界里找

不到数学符号的“原型”，他们就将无法理解这样的数学概念，他们总希望能唤

起一种形象的直观的东西。当这种依赖形象和直观事物的思维形式成为一个人的

思维定式以后，他就会对不断抽象的数学越来越无法理解。具有较好直观性的初

等数学有更多的人可以理解，而具有更高抽象性的高等数学没有太多人可以理

解，就说明了这一情况，最后，数学的选择性困难，我们认为这是由于彭加勒所

说的数学直觉的缺乏而造成的。数学直觉是一个很难定义的概念，本文暂且以彭

加勒的看法为基础对此作个简要的描述，即数学直觉是对数学符号的特定排列次

序的一种突发性的整体的感觉或领悟。由于“它并不是每一个人都具有的”，因

此有些人“不可能理解较高级的数学”，便也不是什么奇怪之事了。

通过以上论述，我们把数学困难的存在，或者数学为什么难以理解的原因，

归结为人们数学素质或能力的相对低下了，于是，剩下的任务便就成了解决这种

素质或能力为什么低下的问题。这里我们无法对数学素质下个确切的定义，但以

为它应该包括以下两个方面的内容：１．抽象思维能力（确切地说应该是驾御形

式符号的能力）；２．数学直觉。注意：这里我们没有把逻辑推理能力、理解力、

想象力、记忆力和注意力等包括在数学素质和能力的范围内，这是因为这些能力

均是一些更基本更一般的能力，它们不仅是理解数学所必须的，也是理解其它各

门科学所必须的，只是具有这些素质和能力还远远不足以理解数学。如律师和法

官具有较强的逻辑分析和推理能力，诗人和画家具有较强的想象力，但他们均可

能理解不了微积分。这不是因为他们不具有基本的素质和能力，而是因为他们不

具有理解数学所特有的素质和能力。我们认为，理解数学特有的能力应该是抽象

思维能力的数学直觉。彭加勒把数学直觉当作了最主要的原因，我们以为这是他

出于数学创造这一更大背景来考虑的，如果单纯从理解数学这一点上来说，那么

抽象思维能力或许是比数学直觉更重要的原因。在我们看来，数学是唯一的符号

科学，这到不是因为其他学科中没有符号，而是因为只有数学符号是没有“内容”

的，物理符号、化学符号都是有所指的，至少指称一种理想物、想象物。因此，

要理解数学必须具有驾御形式符号这一特殊能力。从小学算术到中学代数这个超

越，是一部分学生数学成绩突然下降的关口；而从初等代数到高等代数这个超越，

更是大多数人无法越过的关卡，其根本原因就是抽象性的不断提高。法官们可以

作出逻辑性极强的分析和推理，但他们不会驾御形式符号，艺术家们可以作出令

数学家也赞叹的艺术想象，但他们不会想象形式符号。他们所能驾御和想象的是

直观的形象的具体事物。

下面我们就来看看人的基本素质或能力，尤其是人的数学素质或能力何以会

相对的低下。对于这个问题我们要分两部分来回答。一、就人的基本素质或能力

的相对低下而言，我们认为首先是人的先天遗传因素引起的，神经心理学告诉我

们，任何一种心理活动、认知活动都是以相应的神经生理活动为基础，有没有一

个健全的发达的脑神经机能组织，将决定一个人能不能正常地理解一切事物。脑

发育正常的人，他可以理解日常生活中的各种事物，可以理解一般的科学知识，

甚至可以在某些学科上做出一定的贡献，对于少数脑发育超常的人，则可以在科

学史上作出划时代的杰出贡献（如爱因斯坦）。相反，对于脑发育有不同程度不

良现象的人，他们往往不仅对理解数学是困难的，对理解其它各门学科也是困难

的。当然，除了先天遗传因素外，后天教育，尤其是早期教育也是一个重要的因

素。后天教育不得当，就是先天条件比较好的人，在以后的学习过程中也会受到

不同程度的影响；反之，后天教育很得当，先天条件就是有点弱，也会有所补偿。

但更重要的还是先天条件。二、对于我们更主要的问题还是，为什么那些先天条

件正常。即具备基本素质和能力的人也理解不了较高深的数学。这些人中不乏高

智商的人，他们能够在其各行各业作出出色的成绩，但就是理解不了较高深的数

学，我们认为，造成这一现象的主要原因是一种先天的能力上的个性差异，心理

学告诉我们，人们先天的能力的个性差异是客观存在的，这种差异不仅表现在量

上即发展的水平，大小和早晚上，而且也表现在质上即不同的人具有不同的特殊

能力，以及对完成同一种活动可能采取不同途径和方法的倾向。重要的是，人的

能力的个性差异是有其神经生理基础的，尽管人的能力的个性差异并不是单方面

地由神经生理基础决定，而是由人的神经生理系统和外在环境影响下后获得的暂

时神经联系系统决定的，但一切暂时神经联系系统都是在一个人特有的神经生理

基础上形成的，故这些暂时神经联系系统就都不可避免地要带上一个人的神经生

理类型的独特色彩，使不同人的能力具有个性差异。如有的人善长艺术想象，而

有的人善长形式推理；有的人善长形象记忆，而有的人善长符号记忆。理解数学

所特需的能力；对形式符号的抽象思维，对形式符号排列次序的整体直觉，就是

一类非常特殊而典型的个性化能力。我们认为，就是这种能力的高低，决定了一

些人能够理解高深的数学、甚至是创造高深的数学，而另一些人则无法理解它。

当然，后天对于数学素质或能力的强化培养与训练，在一定程度上是有效的，但

这要以一定的先天素质或能力为基础。先天素质或能力较差，是不可能成功地进

行培养和训练的。

经过以上的论述，我们还得出这么一个基本认识，即数学是一门对人的先天

素质或能力有独特要求的学科。大家知道，体育教练非常重视运动员的先天素质，

一个先天素质优良的运动员，经过刻苦地训练就可以取得优异的成绩，甚至是创

造世界记录。而一个先天体质较差的人，就是再苦练也不会创造出令世人赞扬的

好成绩，即决不是每一个人经过训练就可以创世界记录的。同样，也决不是每一

个人经过学习就可理解高深的现代数学的。同体育一样，数学对人的先天素质有

着极特殊的要求。世界著名的心理学家马斯洛也认为：“伟大的天才不仅多少赖

于性格的优良和健康，而且也有赖于我们对之了解很少的某种东西。例如，有些

证据表明，伟大的音乐天才和数学天才，更多地是通过遗传而来，而不是后天获

得的”（［２］Ｐ２４３）。

以上我们主要是从人的智力因素方面考察了数学为什么难以理解的原因。这

固然是主要的一面，但有些非智力因素也可能是造成某些人不能理解较高深数学

的重要原因。非智力因素很多，这里我们主要想就一个人的兴趣、需要和意志三

方面来谈谈这个问题。兴趣是最好的老师。作为人对客体特殊的认识倾向的兴趣，

无疑在人的认识过程中发挥着重要作用，兴趣这种认识倾向性除了它的持久性和

稳定性特征外，对于主体来说，总是与快乐、喜欢和满意等情感体验相伴随的，

即主体总是带着“唯乐主义”的情感去认识自己感兴趣的对象。因此，对数学感

兴趣的学生，总是能够主动地去克服一时遇到的各种困难，并在克服困难的同时

感到更大的乐趣。他们也能体验到一种数学的美感：数和形的和谐，几何学的雅

致。当数学一再引发起一个人愉快的情感体验时，那么他对数学的兴趣就不仅仅

是一种简单的喜欢了，而是会上升为一种内在的精神需要。这时他就会把对数学

的学习和研究看作是自己生命（精神）的一部分，学习数学是一件十分主动而情

愿的事，就是不学反而感到失落、痛苦的一件事。这种人往往不怕困难，并且通

常是主动地进攻困难。许多中学数学爱好者愿挑难题去作就说明这一点。相反，

一个对于学习数学没有内在需要、甚至毫无兴趣的人，尽管他的素质和能力可能

并不差，但真正遇到困难时他就很难主动地持久地去攻克困难，于是一时的困难

就成了他永久的困难。更主要的是这很快就会造成一种恶性循环，前面的没有弄

懂，后面的就更难明白了。可见，有没有对学习数学的兴趣和需要，是一个人能

不能主动地持久地去克服自己所遇到的数学困难的关键。另外，一个人的意志品

质的好坏也是其能否克服数学困难的一个重要因素。好的意志品质具有自觉性、

坚持性、自制性和果断性，它能够帮助一个人自觉地去完成其学习任务，能够在

遇到困难时坚持学习并克服困难，能够有效地控制和支配自己的行为而不受各种

干扰和影响。相反，一个人的意志品质较差，他就难以坚持其学习，尤其是在遇

到各种困难，或者受到某些因素的干扰和影响时，他就很有可能放松学习、半途

而废。现实中对数学理解有困难的人，往往并不是其素质和能力不行，而是他们

对数学没有兴趣。认为数学是枯燥乏味的，并且其克服困难的意志、毅力也不强，

因而造成了一大批对数学敬而远之的人。我们估计，因非智力因素而无法理解数

学的人并不会比因智力因素而无法理解数学的人少。如果再考虑到非智力因素的

其他方面，情况可能更加如此。

关于彭加勒问题本文已经给出了自己的解答。概括起来可以用如下形式予以

表示：

彭氏问题→数学困难→素质和能力→先天条件和后天教育即我们认为，数学

之所以难以理解，最终原因在于一个人的先天条件对数学学习的不适应和后天教

育的相对落后。另外，非智力因素在其中也起到了重要作用。

参考文献

［１］彭加勒 《科学的价值》光明日报出版社１９８８年５月版。

［２］马斯洛等 《人的潜能和价值》华夏出版社１９８７年２月版。

（作者系青海省社科院哲学所助理研究员）