最大张角定理,米勒定理

2024年4月8日发(作者：检查低年级数学试卷汇总)

最大张角定理,米勒定理

最大张角定理：

最大张角定理是指，在任何一个凸多边形中，最大的内角所对的边是凸多边形的

一条对角线。

证明：

假设在凸多边形中，最大的内角所对的边不是凸多边形的一条对角线，而是凸多

边形的一条边AB。则将凸多边形沿着边AB分成两个凸多边形，设它们分别为

P1和P2。由于AB是凸多边形P1的一条边，所以P1的所有内角都小于凸多

边形的最大内角。同理，由于AB是凸多边形P2的一条边，所以P2的所有内

角也都小于凸多边形的最大内角。但是，由于P1和P2的内角之和等于凸多边

形的内角之和，所以P1和P2的最大内角之一必须大于凸多边形的最大内角，

这与假设矛盾。因此，最大的内角所对的边一定是凸多边形的一条对角线。

米勒定理：

米勒定理是指，在一个互质的正整数a和n中，存在一个正整数k，使得a^φ(n)+k

×n是a模n的一个原根。

证明：

设g是模n的一个原根，则g^φ(n)≡1(mod n)。因为a和n互质，所以a^φ

(n)也与n互质。设a^φ(n)≡g^k(mod n)，则a^φ(n)+k×n≡g^k(mod n)。因

为g是模n的一个原根，所以g^k模n的值为1~n-1中的每一个数，即g^k

是模n的一个原根。因此，a^φ(n)+k×n是a模n的一个原根。

另一方面，因为a和n互质，所以φ(n)是n的欧拉函数，即φ(n)表示小于n且

与n互质的正整数的个数。因此，a^φ(n)表示小于n且与n互质的正整数a的

φ(n)次方的乘积。根据欧拉定理，a^φ(n)≡1(mod n)。因此，a^φ(n)+k×n≡

k(mod φ(n))。因为a和n互质，所以φ(n)与n互质。因此，k模φ(n)的值为

1~φ(n)-1中的每一个数，即k是模φ(n)的一个原根。