工程数学(线性代数)练习一

2024年1月8日发(作者：高三二卷文科数学试卷分析)

工程数学(线性代数)练习一

一、单选题

1.已知矩阵A=1101，B=1011，则AB-BA=（ ）

A.1021 B.1101

C.1001 D.0000

2.设A，B为同阶可逆方阵，则下列等式中错误．．的是( )

A.|AB|=|A||B| B.（AB）-1=B-1A-1

C.（A+B）-1=A-1+B-1 D.（AB）T=BTAT

3.设A为n阶可逆方阵，下式恒正确的是（ ）

A.(2A)-1=2A-1 B.(2A)T=2AT

C.[(A-1)-1]T=[(AT)-1]T D.[(AT)T]-1=[(A-1)-1]T

4.设A、B均为n阶可逆矩阵，且AB=BA，则下列结论中，不正确．．．的是（-1=B-1A B.B-1A=A-1B

C.A-1B-1=B-1A-1 D.A-1B=BA-1

5.设3阶方阵A的秩为2，则与A等价的矩阵为（ ）

111111A.000 B.

011

000000111C.111222D.



222000

3336.设A、B为n阶方阵，满足A2=B2，则必有（ ）

A.A=B B.A=-B

C.|A|=|B| D.|A|2=|B|2

7.设A为3阶方阵，且13A13，则|A|=（ ）

A.-9 B.-3

C.-1 D.9

8.设A为三阶方阵且|A|=-2，则|3ATA|=（ ）

A.-108 B.-12

C.12 D.108

）

9.设A为三阶矩阵，且|A|=2，则|(A*)-1|=( )

1A. B.1

4C.2

1210.设A=34,则|A*|=（ ）

D.4

A.-4

C.2

a11a12a22a32a13a33B.-2

D.4

a11a315a112a125a212a225a312a32a13a23，则D1的值为（ ）

a3311.设行列式D=a21a31A.-15

C.6

a23=3，D1=a21B.-6

D.15

12.设3阶方阵A=[α1,α2,α3]，其中αi

(i=1, 2, 3)为A的列向量，且|A|=2，则

|B|=|[α1+3α2,α2,α3]|=( )

A.-2

C.2

B.0

D.6

13.已知向量组A：α1，α2，α3，α4中α2，α3，α4线性相关，那么( )

A.α1，α2，α3，α4线性无关

C.α1可由α2，α3，α4线性表示

B.α1，α2，α3，α4线性相关

D.α3，α4线性无关

14.向量组α1，α2，…αs的秩为r，且r＜s，则( )

A.α1，α2，…αs线性无关

B.α1，α2，…αs中任意r个向量线性无关

C.α1，α2，…αs中任意r+1个向量线性相关

D.α1，α2，…αs中任意r-1个向量线性无关

15.向量组α1，α2…，αS（s>2）线性无关的充分必要条件是（ ）

A. α1，α2，…，αS均不为零向量

B. α1，α2，…，αS中任意两个向量不成比例

C. α1，α2，…，αS中任意s-1个向量线性无关

D. α1，α2，…，αS中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示

16.设向量α1=（a1, b1, c1），α2=（a2, b2, c2），β1=（a1, b1, c1, d1）,β2=（a2, b2, c2, d2），下列命题中正确的是（ ）

A.若α1，α2线性相关，则必有β1，β2线性相关

B.若α1，α2线性无关，则必有β1，β2线性无关

C.若β1，β2线性相关，则必有α1，α2线性无关

D.若β1，β2线性无关，则必有α1，α2线性相关

3x1kx2x3017.如果方程4x2x30有非零解，则k=（ ）

4xkx023A.-2

C.1

B.-1

D.2

1218.已知2,3是齐次线性方程组Ax=0的两个解，则矩阵A可为（ ）

11A.（5，-3，-1）

531B.211

123C.217

121D.122

53119.设A为mn矩阵，方程Ax=0仅有零解的充分必要条件是（ ）

A.A的行向量组线性无关 B.A的行向量组线性相关

C.A的列向量组线性无关 D.A的列向量组线性相关

20.设m×n矩阵A的秩R(A）= n-3（n>3），α,β,γ是齐次线性方程组Ax=0的三个线性无关的解向量，则方程组Ax=0的基础解系为（ ）

A.α,β,α+β

C.α-β,β-γγ-α

B.β,γ，γ -β

D.α,α+β,α+β+γ

21.设3元线性方程组Ax=b，A的秩为2，η1，η2，η3为方程组的解，η1+η2=(2,0,4)T，η1+η3=（1,-2,1）T，则对任意常数k，方程组Ax=b的通解为（ ）

A.(1,0,2)T+k(1,-2,1)T

C.(2,0,4)T+k(1,-2,1)T

22.下列矩阵为正交矩阵的是( )

11A.

12B.(1,-2,1)T+k(2,0,4)T

D.(1,0,2)T+k(1,2,3)T

1001

010B.3001D.321212

32131C.313131313131

313二、填空题

201042T1.设矩阵A=，则AB=__________.

,B113357200-1

2.设A=010,则A=___________.

0223.设A满足3E+A-A2=0，则A-1=________.

1204.设A=030，则A*=________.

0021025.设A是4×3矩阵，R(A)=2，若B=020，则R(AB)=__________.

003a1b1a1b2a2b2a3b2a2a1b3a2b3=__________.

a3b316.行列式a2b1a3b17.已知行列式230=0，则数a=__________.

1118.已知α=（1，2，3），则|αTα|=________.

1020119.已知向量组α的秩为2，则数t=__________.

1,α2,α305t220410.设有向量α1=（1，0，-2），α2=（3，0，7），α3=（2，0，6）.则α1，α2，α3的秩是________.

11.设向量组α1=（1，2，3），α2=（4，5，6），α3=（3，3，3）与向量组β1，β2，β3等价，则向量组β1，β2，β3的秩为__________.

12.已知向量α=（1，-2，3，4）与β=（3，a，5，-7）正交，则数a=__________.

13.已知向量α=(2，1，0，3)T，β=(1,-2,1,k)T, α与β的内积为2，则数k=________.

11T,)为单位向量，则数b=________. 14.设向量α=(b,22x2x2015.设方程组1有非零解，则数k=__________.

2xkx02116.设A为4×5的矩阵，且秩(A)=2，则齐次方程Ax=0的基础解系所含向量的个数是________.

17.设A为33矩阵, 且方程组A x=0的基础解系含有两个解向量, 则秩(A)= ___________.

18.方程x1-x2+x3=0的结构解是________.

三、计算题

10221 1．设矩阵A124，B13，求(2EAT)B．

3110312 2. 设4阶矩阵A34111222，求A100．

3334441001005类似的题目：已知APPB，其中B000，P210，求A及A．

0012110121 3．设矩阵A =114，求逆矩阵A．

21052类似的题目：设4阶矩阵A0001001，求A的逆矩阵A．

012011206310212，计算(AB)-1． 4．设矩阵 A =，B =1204111012 5．解矩阵方程

2XAXB，其中A121，B30．

1000310126. 设3阶方阵A和B满足ABEAB，其中，A020，求B

10131125134 (2)2341

7. 计算下列行列式

(1)D20113412153341231234

8.已知向量组1(1,0,2,1)T，2(3,1,0,1)T，3(1,1,4,3)T，4(3,0,10,3)T，

求此向量组的一个极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组线性表示.

9.设1(1,1,1)，2(0,1,2)，3(2,0,3)是R

3中的向量组，用施密特正交化方法把它们化为标准正交向量组.

10．求下列线性方程组的一般解：

2x3x40x1x1x23x32x40

2xx5x3x02341112213类似的题目：已知向量1，2，3，试求与1,2,3都正交121121的全部向量.

2x15x22x33 11．求下列线性方程组的一般解：x12x2x33

2x14x6x12123类似的题目：已知三维线性空间的一组基为α11，1，0，α21，0，1，α30，1，1，求向量β2，0，0在上述基下的坐标．

x1x2x3112．当取何值时，线性方程组2x1x24x3 有解？并求一般解.

x5x311 四、证明题

1．试证：设A，B，AB均为n阶对称矩阵，则AB =BA．

2．试证：设A是n阶矩阵，若A= O，则(EA)1EAA2．

3．已知矩阵

A31(BE)，且A2A，试证B是可逆矩阵，并求B1.

2T4. 设n阶矩阵A满足A2E，AAE，证明A是对称矩阵.

5. 已知A是任一n阶方阵，试证：若有n维向量x使Ax0但Ann－1x0，则向量组x,Ax,Ax,,A2n1x必线性无关.

6.. 设非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系为ξ1，ξ2，…，ξn-r，且η*为Ax=b的一个特解，试证ξ1，ξ2，…，ξn-r，η*线性无关.

工程数学(线性代数)答案一

一、单选题

1~5 ACBBB 6~10 DADAB 11~15 CCBCD 16~20 BBACD 21~22 DD

二、填空题

12333 2.

01.3570110 3.

(AE) 4.

0640020 5. 2 6. 0 7. 3

91119113003028. 0 9. 3 10. 2 11. 2 12. -5 13. 2/3 14. 0 15. 4 16. 3

18.k11k1120

01三、计算题

100102T2001131．解 因为

2IAT=

2010124=0200010213110022411131132115=001 所以

(2EAT)B=00113=013242410301111112.解 由于A22221233331111，

444434111所以，A100211112111121111

333444100个A1111

21111211112111121111

3433344499组1

17.

1112221009999由于111110，所以

A10111110333444111222

333444401001210011 3．解 因为 (A, E ) =114010012100210001038021

102110100211010421012100002321002321121112100 所以 A-1=4

01042121001321123211263102214．解 因为AB =12=41

12041 (AB I ) =21102110

410101211221-12 所以 (AB)=

1201110

01012112212

1115．解 由2XAXB，得(2EA)XB.因|2EA|10130，故矩200121122101(2EA)*1B=3213033 阵2EA可逆，X(2EA)B|2EA|301103116. 解 由方程ABEAB得

(AE)BAE(AE)(AE)

220011又AE010，其行列式|AE|10，故AE可逆，用(AE)左乘上式101

201两边，即得BAE030

1021312131213121534

0846

0211 7. (1) 解D

0211084602115133016270162710

00131312213122110211

021140

0020810002550001001015001015(2)将行列式第2、3、4列加到第1列上，得

24123131=123=1000101034=160

422=100401113131011008.解A20410011330020110

001000故向量组的最大线性无关组为1，2，4，且2212。

9.解 易验证1,2,3线性无关，从而可施行施密特标准正交化.

令

11(1,1,1)，

22[2,1]31(0,1,2)(1,1,1)(1,0,1),

[1,1]3[3,2][,]15231(1,0,1)(1,1,1)

1(2,0,3)[2,2][1,1]23

3310．解 因为系数矩阵

211010211021

A113201110111

021530111000 所以一般解为x12x3x4 （其中x3，x4是自由未知量）

x2x3x4

310252312101094%1213911．解

A82146120181800191491

001xx1193故一般解为

 （其中x3是自由未知量）

4xx123911111111105112．解 因为A21401620162

62105100001所以当=0时，线性方程组有无穷多解，且一般解为：x15x31

(x3是自由未知量〕x6x232四、证明题

1．证 因为AT = A，BT = B，(AB)T = AB ，所以 AB = (AB)T = BT AT = BA

2．证 因为

(EA)(EAA2)=EAA2AA2A3 =EA3=

E

所以

(EA)1EAA2

3. 证 因为A211(BE)2(B22BE)，且A2A，即

44121(B2BE)(BE)，得B2E，所以B是可逆矩阵，且B1B.

42T4. 证 因为

AAE=AAATEAT=A 所以A是对称矩阵.

5.提示：用定义设1x*2Ax*nAn1x*0，两边左乘An1，可得1An1x*0，则10，两边左乘An2，可得2An1x*0，则20，以此类推可得i0,(i1,2,,n)，故x*,Ax*,,An1x*线性无关.

6.

证 设有n-r+1个常数，k0，k1，k2，…，kn-r使得k1ξ1+ k2ξ2+…+ kn-rξn-r+ k0η*=0 （1）

因为Aξi=0(i=1,2,…,n-r)，Aη*=b，所以在（1）的两边同时左乘A，便得

k1Aξ1+ k2Aξ2+…+ kn-Arξn-r+ k0Aη*=0 即 k0Aη*= k0b=0

得k0=0，于是（1）变成 k1ξ1+ k2ξ2+…+ kn-rξn-r=0

由于ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关，所以k1= k2=…= kn-r=0。故ξ1，ξ2，…，ξn-r，η*线性无关.