数学小百科

2023年12月31日发(作者：2023绵阳数学试卷压轴)

编者：冯挺 张智洋 薛约楠 陈智展

数学百科书

一. 数学与艺术…………………………1

二. 完全数………………………………2

三. 奇数与偶数…………………………3

四. 哥德巴赫猜想………………………4

五. 几何学与欧几里得…………………5

六. 分数的意义…………………………6

七. 最大公因数与最小公倍数…………7

八. 古人对分数有什么看法……………8

九. 用天平找次品………………………9

十．各类解决问题………….10、11、12

十一. 参考答案………………………..13

艺术家们利用几何学中的平移.对称.旋转变换，设计了许多美丽的镶嵌图案。如下：

1

6的因数有1.2.3.6，这几个因数的关系是：1+2+3=6。像6这样的数，叫作完全数，也叫完美数。

28也是完全数，而8不是，因为1+2+4=7。完全数十分稀少，到2004年才发现40个完全数。

下面我们来做一个小练习：

1.判断下列数字是不是完全数，是的打 。

28（ ） 496（ ）

8128（ ） 3（ ）

2.把上列数字相加是（ ）

2

奇数的意义:1.3.5.7.9……等单数叫

奇数；偶数的意义:2.4.6.8.10……等双数叫偶数。一般习惯上，人们也把1，3，5，7，9…叫单数；把2，4，6，8，10…叫双数。两个偶数的和与差，都是偶数；两个奇数的和与差也都是偶数；一个奇数与一个偶数的和与差，都是奇数；进一步还可以得出：只有奇数个奇数的和或差，才是奇数。

小练习：

例1 傍晚开电灯，小虎淘气，一连拉了7下开关。请你说说这时灯是亮了还是没亮？我们还不妨接着问，拉8下呢？拉9下呢？拉10下呢？甚至拉100下呢？你都能知道灯是亮还是不亮吗？

例2 把11个球分成三组，要求每组球的个数都是奇数，怎样分？

3

哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想的由来

1729年~1764年，哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来。在1742年6月7日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了一个命题。他写道：\"我的问题是这样的：随便取某一个奇数，比如77，可以把它写成素数 (就是质数)之和：77=53+17+7；再任取一个奇数，比如461，461=449+7+5，也是三个素数之和，461还可以写成257+199+5，仍然是三个素数之和。这样，我发现：任何大于5的奇数都是三个素数之和。但这怎样证明呢？虽然做过的每一次试验都得到了上述结果，但是不可能把所有的奇数都拿来检验，需要的是一般的证明，而不是个别的检验。\"欧拉回信说：“这个命题看来是正确的”。但是他也给不出严格的证明。同时欧拉又提出了另一个命题：任何一个大于2的偶数都是两个素数之和，但是这个命题他也没能给予证明。不难看出，哥德巴赫的命题是欧拉命题的推论。事实上，任何一个大于5的奇数都可以写成如下形式：2N+1=3+2(N-1)，其中2(N-1)≥4。若欧拉的命题成立，则偶数2N可以写成两个素数之和，于是奇数2N+1可以写成三个素数之和，从而，对于大于5的奇数，哥德巴赫的猜想成立。

1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被1和它本身整除的数）之和。如6=3+3，12=5+7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从哥德巴赫提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3

+ 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16

= 5 + 11, 18 = 5 + 13, ……等等。有人对3564以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明尚待数学家的努力。

从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可即的\"明珠\"。 人们对哥德巴赫猜想难题的热情，历经两百多年而不衰。世界上许许多多的数学工作者，殚精竭虑，费尽心机，然而至今仍不得其解。哥德巴赫猜想的传奇实际上是科学史上最传奇的历史

4

几何学是数学学科的一个重要分支，它主要研究空间图形的有关图形。古希腊数学家欧几里得的著作《几何原本》在数学发展史上有着深远的影响。该书从17世纪传入我国。

小练习：

1.几何学研究什么？

2.《几何原本》什么时候传入我国？

5

分数的意义

1.分数与分数单位的意义：把单位‘1’平均分成若干份，表示这样一份或几份的数，叫做分数。表示这样一份的数，叫做分数单位。

2.单位‘一’的意义：一个物体，一个计量单位，或由许多物体组成的一个整体，都可以用自然数‘一’来表示，通常我们把它叫做单位‘1’

3.把单位\"1\"平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫做分数。分母表示把一个物体平均分成几份,分子表示取了其中的几份。

小练习：

0.3是（ ）分之（ ），它有（ ）个小数单位，化成小数是（ ）。

1.9 是（ ）分之（ ），它有（ ）个小数单位，化成小数是（ ）。

6

如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做作a的因数．几个自然数公有的因数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数．例如12，16的公约数有1，2，4，其中最大的一个是4，4是12与16的最大公约数，一般记为（12，16）=4．12，15，18的最大公约数是3，记为（12，15，18）=3．几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数．例如4的倍数有4，8，12，16，……，6的倍数有6，12，18，24，4和6的公倍数有12，24，……，其中最小的是12，一般记为[4，6]=12．12，15，18的最小公倍数是180，记为[12，15，18]=180．常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法

最大公因数 最小公倍数

36和9（ ） ( ）

56和8（ ） （ ）

5和6 （ ） （ ）7

在我们古代，《九章算术》对分数四则运算法则就有详细的讲述，里面记载的方法步骤与我们今天的基本相同。但是，古埃及的分数运算是十分繁碎的，这和他们分数的表示法有关（用特殊符号表示分子为1的分数，分数不为1的并表示为几个分子为1的分数）。受古埃及的影响，欧洲人对分数计算的繁碎望而生畏。7世纪时，欧洲有一个数学家解决了一道8个分数相加的计算题，这件事竟被看作一件出色的成果。在德国用一条谚语——掉进分数里来形容一个人所处的困境。

8

用天平找次品时，所测物体数目与测试的次数有以下关系：只含一个次品，已知次品比正品重或轻。

请看如下的表格：

要辨别的物品数目 保证能找出次品的次数

2~~3

4~~9

10~~27

28~~81

82~~243

……

1

2

3

4

5

……

9

1.一个旅游风景点去年全年接待游客约196万人，上半年接待游客数是全年的七分之三。第三季度接待游客数是上半年的四分之三，第三季度接待游客多少人？

2.

一个正方形水池，底面边长为5m，深为2m。（1）这个水池占地面积是多少平方米？（2）挖这样一个水池须挖多少立方米的土？（3）在水池侧面和底面贴瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？（4）这个水池能装水多少升？

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参考答案

二. 1 1.T 2.F 3.T 4.T 2

8655 三. 1 亮，不亮，亮，不亮，不亮 2 5、3、3 五. 1 主要研究空间图形的有关图形 2 17世纪六. 1

十、一、3，3 2. 十、一、19，19 七.

1. 9、36 2. 8、56 3. 1、30、

十、1.上半年=196*3/7=84万人 第三季度=84*3/4=62万人=620000人

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