_函数的定义及其性质

第23卷第9期2004年9月大　学　物　理COLLEGE　PHYSICSVol.23No.9Sep.2004δ函数的定义及其性质闵　琦(红河学院教务处,云南蒙自　661100)　　摘要:对δ函数的传统定义及由此引起的奇性展开讨论,说明了在经典意义下δ函数可以被看成是弱收敛函数序列的弱极限以及阶跃函数Heaviside函数的导数;最后,借用泛函分析中广义函数的概念给出了δ函数的严格数学定义,并就其性质进行了讨论.关键词δ:函数;弱极限;Heaviside函数;广义函数中图分类号:O41111　　　文献标识码:A　　　文章编号:100020712(203δ函数的引入及定义1　δ函数首先是由英国物理学家狄拉克(,1902—1984)为了描述量子力学中的某些数量关系而引入的“怪函数”,它在近代物理学中有着广泛的应用[1,2].在经典意义下δ,函数的传统定义是0,x≠0δ(x)=(1)∞,x=0而且+∞分析中广义函数理论的深入研究,才为这一“怪函数”建立了严格的数学理论[6].本文将在第2节中说明δ函数在经典函数理论的框架内可以被看成是弱收敛函数序列的弱极限以及阶跃函数Heaviside函数的导数;在第3节中,借用泛函分析中广义函数的概念给出δ函数的严格数学定义,并就其在泛函分析中所具有的性质进行讨论,以便读者对δ函数有一个全面完整的了解.2　在经典意义下对δ函数的理解211　弱收敛函数序列的弱极限[7]δ(x)dx=1∫-∞(2)(2)两式.20世即δ,函数的定义必须同时满足(1)、纪20年代,物理学家就广泛地使用δ函数来讨论问δ势、δ势阱题.如量子力学中波函数的归一化[3]、考虑脉冲函数sε(x)=ε0,1,|x|≤2ε(3)等[4],以及物理学中的一切点量和瞬时量,如点质量、点电荷、点偶极子、瞬时打击力、瞬时点源等都可用它来描述,不仅方便,而且物理含义清楚.当它被看成普通函数参加运算时,如积分、解方程、傅里叶变换等,所得到的数学结论和物理结果完全吻合[5].尽管如此,按20世纪初以前形成的经典函数概念,人们是无法理解δ函数的正确性的.因为当我们仔细研究式(1)和式(2)时,会发现如果从Lebesgue积分的概念出发去理解,式(1)与式(2)是互相矛盾的.因为从式(1)来看,在整个x轴上δ,函数取非零值时的测度为零,由函数积分的经典理论可知δ,函数在整个x轴上的积分值为零,不可能出现定义式中式(2)的那种情况.如何调和这一已被广泛使用的函数的定义中出现的矛盾,成为了初次接触δ函数的读者关心的问题.直到20世纪50年代,随着泛函　收稿日期:2003-11-07ε|x|>2对应于不同的ε值,sε(x)形成一弱收敛函数序列,而其中的任一个函数都是普通的常义函数.利用积分中值定理及δ函数的定义式,可以很容易地得到δ函数的一条重要的性质,就是对任意的一个连续函数φ(x)有[8]∫φ(x)δ(x)dx=φ(0)-∞+∞(4)在讨论δ函数是脉冲函数sε(x)序列的弱极限之前,我们先给出弱收敛和弱极限的数学定义.函数序列{fn(x)}弱收敛于函数f(x)(或者说f(x)是函数序列{fn(x)}的弱极限),如果存在任一连续函数φ(x)都满足limn→∞a∫bφ(x)fn(x)dx=φ(x)f(x)dx∫ab(5)),男,云南个旧人,红河学院讲师,硕士,主要研究领域为非线性复杂系统动力学.　作者简介:闵琦(1972—© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.

第9期)弱(n→∞　　　　闵　琦δ:函数的定义及其性质　19并记为fn(x)f(x),其中n为自然数.下面来证明sε(x)的弱极限是δ函数.因为,对于任一连续函数φ(x)均有　典函数的概念,到更高一级的数学中去寻找解决的办法.泛函分析作为研究函数理论的工具,为我们重新认识和研究δ函数提供了全新的方法和角度,即在泛函分析中应用广义函数的概念去研究它.广义函数是20世纪20年代末期由Dirac在研究量子力学时首次引进的.20世纪50年代,在Schwartz等人的努力下,广义函数得到了系统的研究,并指出了众多的应用领域,其中包括了对δ函数的严格定义和完整理解[2].出于需要,我们先来介绍泛函分析中的两个基本的概念,即基本空间和广义函数.基本空间一般用D表示,指的是在-∞0(8)H(x)=0,x<0人们把式(8)这样的函数称为阶跃函数或Heaviside函数,记为H(x).在下面的讨论中,我们会发现除了如上面所讨论的那样把δ函数看成是弱收敛函数序列的弱极限外δ,函数还可以被看成是函数H(x)的导数H(x)[9,10].作为常义函数,H(x)在x=0处没有导数,但它是局部可积的.由δ函数的定义式及式(8)可以得到x0,x<0δ(t)dt=(9)H(x)=-∞1,x>0由式(9)不难看出・∫・∫δφ(x)dx=φ(0)-∞+∞(12)H(x)=δ(x)(10)更有意思的是,进一步的讨论我们会发现,函数H(x)的傅里叶变换满足δ(ω)-1(11)H^=πiω从上面的讨论可以看出,Heaviside函数的导数及傅里叶交换都和δ函数有着密切的关系.这里,不难验证δ函数是D上的线性连续泛函.因为对于φ,ψ∈D,我们有δ(αφ+βψ)=(αφ+βψ)(0)=　　　αφ(0)+βψ(0)=αδ(φ)+βδ(ψ)(13)以及当φn即有Dφ时,任意区间上各阶导数一致收敛,δ(φn)→δ(φ)(14)3　在泛函分析中应用广义函数的概念定义δ函数311　广义函数的概念,函数的确是D上的线由式(13)和(14)可以看出δ性连续泛函,即δ函数是广义函数.而且值得注意的δ函数不是通常的局是,从以上的讨论还可以看出,如前面所述,要全面正确地理解δ函数,经典的(2)函数概念已不够用,出现了δ函数的定义式(1)、相互矛盾的困难.为解决这一矛盾,我们只有突破经部Lebesgue可积函数.在此,式(12)是在基本空间和广义函数基础上给出的,它可以作为δ函数的严格数学定义[6,11].同时,它也是上面提到的式(4)的严格化.特别值得一提的是,从式(12)出发去定义δ函数,就完全可以避© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.

　20大　学　物　理　　・第23卷开从经典函数概念出发去定义δ函数而出现的定义(2)相互矛盾的困难.从中我们可以初步体会式(1)、到应用泛函分析中广义函数的概念去讨论问题的优越性.从式(12)出发,n维δ函数可以定义为δ(φ1,φ2,…,φn)=δ(φ1)δ(φ2)…δ(φn)=φ1(0)φ2(0)…φn(0)(15)其中,φ1,φ2,…,φn∈D.由以上讨论不难证明δ,函数的傅里叶变换和拉普拉斯变换分别为:δ^=δ(e-iωx以(F,φ)也是D中的线性连续泛函.因此,可以按式(19)定义二阶以及更高阶的导数.类似地δ,函数的任意n阶导数的定义式可以定义为∫+∞-∞δ(n)fdt=(-1)nf(n)(0)(23))上的任意n阶可微这里,f是定义在(-∞,+∞连续函数.从上式可以看出,基本空间中的函数的优δˇ=δ(e-sx∫)=∫δe)=-∞+∞-∞+∞ωδe-ixdx=1-sx(16)(17)良性质完全可以转移到广义函数上,这从一定程度上再次反映了应用泛函分析中广义函数的概念讨论问题的优越性.dx=1现在,让我们考察一下δ函数的导数.在泛函分析中,对通常的一阶连续可导函数f,如果φ∈D,φ在[a,b]外等于0,则按分部积分法,有(f,φ)=　・参考文献:[1]　谷超豪.数学词典[M].上海:上海辞书出版社,1992.358.[2]　杨乐等.数学百科全书第二卷[M].北京:科学出版