2024年1月16日发(作者：数学试卷不及格五百字反思)
第五章 线性规划在管理中的应用
5.1 某企业停止了生产一些已经不再获利的产品，这样就产生了一部分剩余生产力。管理层考虑将这些剩余生产力用于新产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的生产。可用的机器设备是限制新产品产量的主要因素，具体数据如下表：
机器设备类型 每周可用机器台时数
铣床
车床
磨床
每生产一件各种新产品需要的机器台时数如下表：
机器设备类型 新产品Ⅰ 新产品Ⅱ 新产品Ⅲ
铣床
车床
磨床
8
4
3
4
3
0
6
0
1
500
350
150
三种新产品的单位利润分别为0.5元、0.2元、0.25元。目标是要确定每种新产品的产量，使得公司的利润最大化。
1、判别问题的线性规划数学模型类型。
2、描述该问题要作出决策的目标、决策的限制条件以及决策的总绩效测度。
3、建立该问题的线性规划数学模型。
4、用线性规划求解模型进行求解。
5、对求得的结果进行灵敏度分析（分别对最优解、最优值、相差值、松驰/剩余量、对偶价格、目标函数变量系数和常数项的变化范围进行详细分析）。
6、若销售部门表示，新产品Ⅰ、Ⅱ生产多少就能销售多少，而产品Ⅲ最少销售18件，请重新完成本题的1-5。
解：首先将上述问题编制成如下关系表格：
机器设备类型 新产品Ⅰ 新产品Ⅱ 新产品Ⅲ 每周可用机器台时数
铣床
车床
磨床
单位产品利润
8
4
3
0.5
4
3
0
0.2
6
0
1
0.25
500
350
150
1、本问题的约束条件都是机器设备，所以是资源分配型的线性规划数学模型。
2、该问题的决策目标是公司总的利润最大化，
分别设 x1、 x2、 x3为 新产品Ⅰ、新产品Ⅱ、新产品Ⅲ的产量，
则总利润为：
0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3
决策的限制条件：
8x1+ 4x2+ 6x3≤500 铣床限制条件
4x1+ 3x2 ≤350 车床限制条件
3x1 + x3≤150 磨床限制条件
即总绩效测试（目标函数）为：
max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3
3、本问题的线性规划数学模型
max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3
S．T． 8x1+ 4x2+ 6x3≤500
4x1+ 3x2 ≤350
3x1 + x3≤150
x1≥0、x2≥0、x3≥0
4、用Excel线性规划求解模板求解
即：最优解（50，25，0），最优值：30元。
5、
可变单元格
约束
单元格 名字 终值 递减成本 目标式系数 允许的增量 允许的减量
$C$34 x1
$D$34 x2
$E$34 x3
50
25
0
0
0.5
0.2
0.25
1E+30
0.05
0.1
0.1
0 -0.083333333
0.083333333 1E+30
单元格 名字 终值 阴影价格 约束限制值 允许的增量 允许的减量
$R$11 实际值 500
$R$12 实际值 275
0.05
0
500
350
150
100
1E+30
37.5
100
75
112.5 $R$13 实际值 150 0.033333333
目标函数最优值为 : 30
变量 最优解 相差值
x1 50 0
x2 25 0
x3 0 .083
约束 松弛/剩余变量 对偶价格
1 0 .05
2 75 0
3 0 .033
目标函数系数范围 :
变量 下限 当前值 上限
x1 .4 .5 无上限
x2 .1 .2 .25
x3 无下限 .25 .333
常数项数范围 :
约束 下限 当前值 上限
1 400 500 600
2 275 350 无上限
3 37.5 150 187.5
（1） 最优生产方案：
新产品Ⅰ生产50件、新产品Ⅱ生产25件、新产品Ⅲ不安排。最大利润值为30元。
（2）x3 的相差值是0.083意味着，目前新产品Ⅲ不安排生产，是因为新产品Ⅲ的利润太低，若要使新产品Ⅲ值得生产，需要将当前新产品Ⅲ利润0.25元/件，提高到0.333元/件。
（3）三个约束的松弛/剩余变量0，75，0，表明铣床和磨床的可用工时已经用完，而车床的可用工时还剩余75个工时；
三个对偶价格0.05，0，0.033表明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总利润额。
（4）目标函数系数范围
表明新产品Ⅰ的利润在0.4元/件以上，新产品Ⅱ的利润在0.1到0.25之间，新产品Ⅲ的利润在0.333以下，上述的最佳方案不变。
（5）常数项范围
表明铣床的可用条件在400到600工时之间、车铣床的可用条件在275工时以上、磨铣床的可用条件在37.5到187.5工时之间。各自每增加一个工时对总利润的贡献0.05元，0元，0.033元不变。
6、若产品Ⅲ最少销售18件，原数学模型就要修改，即增加一个约束条件：
x3≥18
因此问题的数学模型就是：
max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3
S．T． 8x1+ 4x2+ 6x3≤500
4x1+ 3x2 ≤350
3x1 + x3≤150
x3≥18
x1≥0、x2≥0、x3≥0
这是一个混合型的线性规划问题。
代入求解模板得结果如下：
即：最优解（44，10，18），最优值：28.5元。
灵敏度报告：
可变单元格
终值
44
10
18
终值
递减成本
0
0
0
阴影价格
0.05
0
0.033333333
0
-0.083333333
单元格
$C$34
$D$34
$E$34
约束
单元格
名字
x1
x2
x3
名字
目标式系数 允许的增量 允许的减量
0.5
0.2
0.25
1E+30
0.05
0.083333333
0.1
0.1
1E+30
约束限制值 允许的增量 允许的减量
500
350
150
0
18
192
1E+30
15
1E+30
12
40
144
132
0
18
$R$11 实际值 500
$R$12 实际值 206
$R$13 实际值 150
$R$30 实际值
$R$14 实际值
0
18
即：目标函数最优值为 : 28.5
变量 最优解 相差值
x1 44 0
x2 10 0
x3 18 0
约束 松弛/剩余变量 对偶价格
1 0 .05
2 144 0
3 0 .033
4 0 -.083
目标函数系数范围 :
变量 下限 当前值 上限
x1 .4 .5 无上限
x2 .1 .2 .25
x3 无下限 .25 .333
常数项数范围 :
约束 下限 当前值 上限
1 460 500 692
2 206 350 无上限
3 18 150 165
4 0 18 30
（1） 最优生产方案：
新产品Ⅰ生产44件、新产品Ⅱ生产10件、新产品Ⅲ生产18件。最大利润值为28.5元。
（2）因为最优解的三个变量都不为0，所以三个相关值都为0。
（3）四个约束的松弛/剩余变量0，144，0，0，表明铣床和磨床的可用工时已经用完，新产品Ⅲ的产量也刚好达到最低限制18件，而车床的可用工时还剩余144个工时；
四个对偶价格0.05，0，0.033，-0.083表明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总利润额，第四个对偶价格-0.083表明新产品Ⅲ的产量最低限再多规定一件，总的利润将减少0.083元。
（4）目标函数系数范围
表明新产品Ⅰ的利润在0.4元/件以上，新产品Ⅱ的利润在0.1到0.25之间，新产品Ⅲ的利润在0.333以下，上述的最佳方案不变。
（5）常数项范围
表明铣床的可用条件在460到692工时之间、车铣床的可用条件在206工时以上、磨铣床的可用条件在18到165工时之间、新产品Ⅲ产量限制在30件以内。各自每增加一个工
时对总利润的贡献0.05元，0元，0.033元，-.083元不变。
5.2 某铜厂轧制的薄铜板每卷宽度为100cm，现在要在宽度上进行切割以完成以下订货任务：32cm的75卷，28cm的50卷，22cm的110卷，其长度都是一样的。问应如何切割可使所用的原铜板为最少？
解：本问题是一个套材下料问题，先用穷举法找到所有可能切割的方式：
32cm
28cm
22cm
用料
剩余料
1
3
0
0
96
4
2
2
1
0
92
8
3
2
0
1
86
14
4
1
2
0
88
12
5
1
0
3
98
2
6
1
1
1
82
18
7
0
3
0
84
16
8
0
2
2
100
0
9
0
1
3
94
6
10
0
0
4
88
12
1、确定决策变量：
表中列出了所有可能的10种切割方法
设上述每种切割方法数量为xi（i=1，2…..10）卷
2、确定目标函数
本问题的目标是使所用的原铜板为最少，而所用原铜板数量为：
x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10
因此，目标函数为：
min f=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10
3、确定约束条件
3x1+2x2+2x3+x4+x5+x6+x7≥75 32cm 规格的薄铜板数量要求
x2+2x4+x6+3x7+2x8+x9≥50 28cm 规格的薄铜板数量要求
x3+3x5+x6+2x8+3x9+4x10 ≥110 22cm 规格的薄铜板数量要求
所以本问题的线性规划数学模型为：
min f=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10
S.T. 3x1+2x2+2x3+x4+x5+x6≥75
x2+2x4+x6+3x7+2x8+x9≥50
x3+3x5+x6+2x8+3x9+4x10 ≥110
xi≥0 （i=1，2…..10）
用Excel线性规划求解模型板求解：
即最优解：（18.33 ,0,0,0,20,0,0.25,0,0,0），最优值：63.3333
因为铜板切割时必须整卷切割所以需要做整数近似。即其结果为：
即最优解：（19 ,0,0,0,20,0,0.25,0,0,0），最优值：64
灵敏度分析报告：
可变单元格
单元格
$C$34
$D$34
$E$34
$F$34
$G$34
$H$34
$I$34
$J$34
$K$34
$L$34
名字
最优解
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
终值
18.33333333
递减成本
0
1 0.071428571
1
1
1
允许的减量
0.25
目标式系数 允许的增量
0 0.055555556
0 0.111111111
0 0.111111111
20 0
1E+30 0.055555556
1E+30 0.111111111
1E+30 0.111111111
1 0.083333333 0.166666667
1
1
1E+30 0.166666667
1E+30 0.166666667
0 0.166666667
0 0.166666667
25 0 1 0.111111111 0.555555556
1
1
1E+30 0.055555556
1E+30 0.111111111
0 0.055555556
0 0.111111111
约束
单元格
$R$11
$R$12
$R$13
名字
实际值
实际值
实际值
终值
阴影价格
75 0.333333333
50 0.277777778
110 0.222222222
允许的减量
55
50
60
约束限制值 允许的增量
75
50
110
1E+30
60
165
即：
目标函数最优值为 : 63.333
变量 最优解 相差值
x1 18.333 0
x2 0 .056
x3 0 .111
x4 0 .111
x5 20 0
x6 0 .167
x7 0 .167
x8 25 0
x9 0 .056
x10 0 .111
约束 松弛/剩余变量 对偶价格
1 0 -.333
2 0 -.278
3 0 -.222
目标函数系数范围 :
变量 下限 当前值 上限
x1 .75 1 1.071
x2 .944 1 无上限
x3 .889 1 无上限
x4 .889 1 无上限
x5 .833 1 1.083
x6 .833 1 无上限
x7 .833 1 无上限
x8 .444 1 1.111
x9 .944 1 无上限
x10 .889 1 无上限
常数项数范围 :
约束 下限 当前值 上限
1 20 75 无上限
2 0 50 110
3 50 110 275
这是一个统计型的线性规划问题，所以分析价值系数的取值范围和相差都没有意义。
松弛/剩余变量都为0，表示最优方案已达到三种规格薄铜板数量的最低限。
三个约束条件的对偶价格-.333、-.278、-.222分别表示三种规格薄铜板数量的最低限再增加一个，将增加原铜板.333cm、.278cm、.222cm。这个数字实际跟薄铜板长度规格相一致。
常数项数范围表示三种规格薄铜板数量的最低限在这些范围内，每增一个限额所原原铜板.333cm、.278cm、.222cm不变。这里需要特别指出的是，第一种规格的薄铜板32cm宽，已使三块组合就能比较恰当地用完原铜板，所以这种规格的薄铜板无论增加多少，都不改变用原铜板的比例。
5.3 某医院对医生工作的安排为4小时一个工作班次，每人要连续工作二个班次。各班次需要医生人数如下表：
班次
1
2
3
4
5
6
时间
0:00-4:00
4:00-8:00
8:00-12:00
12:00-16:00
16:00-20:00
20:00-24:00
人数
4
7
9
12
8
6
其中，第6班报到的医生要连续上班到第二天的第1班。问在各班开始时应该分别有几位医生报到。若参加1、2、6班的医生需要支付夜班津贴，为了使支付总的夜班津贴为最少，应如何安排各班开始时医生的报到人数。
解：第一步：不考虑夜班津贴。
1、 确定决策变量
设每个班次开始时安排人数为xi（i=1，2，3，4，5，6）
2、 确定目标函数
本问题的目标是每天安排的总人数为最少，而每天安排的总人数为
x1+x2+x3+x4+x5+x6
所以目标函数为： min f=x1+x2+x3+x4+x5+x6
3、 确定约束条件
x6+x1≥4 第一班的人数要求
x1+x2≥7 第二班的人数要求
x2+x3≥9 第三班的人数要求
x3+x4≥12 第四班的人数要求
x4+x5≥8 第五班的人数要求
x5+x6≥6 第六班的人数要求
所以本问题的线性规划数学模型为：
min f=x1+x2+x3+x4+x5+x6
S.T. x6+x1≥4
x1+x2≥7
x2+x3≥9
x3+x4≥12
x4+x5≥8
x5+x6≥6
xi≥0（i=1，2，3，4，5，6）
用Excel线性规划求解模板求解得：
即：第一班安排7人，第三班安排10人，第四班安排2人，第五班安排6人，第二、第六班不安排人。总人数为25人。
灵敏度分析报告：
可变单元格
单元格
$C$34
$D$34
$E$34
名字
最优解
x2
x3
终值 递减成本 目标式系数 允许的增量 允许的减量
7
0
10
0
0
0
1
1
1
0
1E+30
0
1
0
1
$F$34
$G$34
$H$34
约束
单元格
$R$11
$R$12
$R$13
$R$14
$R$15
$R$16
x4
x5
x6
名字
实际值
实际值
实际值
实际值
实际值
实际值
2
6
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1E+30
0
1
0
终值 阴影价格 约束限制值 允许的增量 允许的减量
7
7
10
12
8
6
0
1
0
1
0
1
4
7
9
12
8
6
3
1E+30
1
1E+30
1
2
1E+30
3
1E+30
1
2
1
目标函数最优值为 : 25
变量 最优解 相差值
x1 7 0
x2 0 0
x3 10 0
x4 2 0
x5 6 0
x6 0 0
约束 松弛/剩余变量 对偶价格
1 3 .0
2 0 -1
3 1 .0
4 0 --1
5 0 . 0
6 0 --1
目标函数系数范围 :
变量 下限 当前值 上限
x1 0 .1 1
x2 1 1 无上限.
x3 0 . 1 1
x4 1 . 1 2
x5 0 1 1
x6 1 1 无上限
常数项数范围 :
约束 下限 当前值 上限
1 无下限 4 7
2 4 7 无上限
3 无下限 9 10
4 11 12 无上限
5 6 8 9
6 5 6 8
这是一统计型线性规划规划问题，所以相差值的价值系数的变化范围没有必要分析。
班次
1
2
3
4
时间
0:00-4:00
4:00-8:00
8:00-12:00
12:00-16:00
所需人数 本段安排人数 上段安排人数 本段实际人数 多余人数
4
7
9
12
7
0
10
2
0
7
0
10
7
7
10
12
3
0
1
0
5
6
16:00-20:00
20:00-24:00
合计
8
6
46
6
0
25
2
6
8
6
50
0
0
4
松弛/剩余变量一栏就是上表的“多余人数”一列是各时间段安排所剩余的人数。
“对偶价格”一栏。
第一个常数项由4增加到5，因为还剩下2人，所以不会改变最优值；
第二个常数项由7增加到8，因为再没有剩余的人，所以本班必须再多安排一个人最优值解也必须增加1，因为是求最小化问题，所以对偶价格为－1；
第三个常数项由9增加到10，刚好将原来剩余的人用上，所以不会改变最优值；
第四个、第六个常数项与第二个常数项一样；
第五个常数项由2增加到3，因为再没有剩余的人，所以本班必须再多安排一个人，但下个班就可以再少安排一个人，所以不会改变最优值；
本题的这种情况是每一个变量都会影响到两个时段的结果，所以在进行灵敏度分析时也必定要考虑这个因素，这里第一个时段是特殊情况（有资源剩余），其余的时段分析时相邻两个是相互影响的。因此，第2时段为-1，第3时段为0，后面的依次相反。若第2时段为0，则第3时段就为-1。
第二步：考虑夜班津贴。
因为1、2、6班为夜班，与这三班安排人员有x1、x2、x3、x5、x6
所以 目标函数为：
min f=x1+x2+x3+x5+x6
约束条件不变
所以其线性规划数学模型为：
min f=x1+x2+x3+x5+x6
S.T. x6+x1≥4
x1+x2≥7
x2+x3≥9
x3+x4≥12
x4+x5≥8
x5+x6≥6
xi≥0（i=1，2，3，4，5，6）
用Excel线性规划求解模板求解得：
即：总人数还是25人，但每班安排人数有所调整：
第一班不安排人，第二班安排7人，第三班安排2人，第四班安排10人，第五班安排0人，第六班安排6人。
灵敏度分析报告：
可变单元格
单元格
$C$34
$D$34
$E$34
$F$34
$G$34
$H$34
约束
单元格
$R$11
$R$12
$R$13
$R$14
$R$15
$R$16
名字
终值 递减成本 目标式系数 允许的增量 允许的减量
x1
x2
x3
x4
x5
x6
名字
实际值
实际值
实际值
实际值
实际值
实际值
0
7
2
10
0
6
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1E+30
1
0
1
1E+30
0
1
0
1
0
0
1
终值 阴影价格 约束限制值 允许的增量 允许的减量
6
7
9
12
10
6
0
0
1
0
0
1
4
7
9
12
8
6
2
2
2
1E+30
2
1E+30
1E+30
2
2
2
1E+30
2
目标函数最优值为 : 15
变量 最优解 相差值
x1 0 1
x2 7 0
x3 2 0
x4 10 0
x5 0 0
x6 6 0
约束 松弛/剩余变量 对偶价格
1 2 0
2 0 0
3 0 -1
4 0 0
5 2 0
6 0 -1
目标函数系数范围 :
变量 下限 当前值 上限
x1 0 1 无上限
x2 1 1 2
x3 0 1 1
x4 0 0 1
x5 1 1 无上限
x6 0 1 1
常数项数范围 :
约束 下限 当前值 上限
1 无下限 4 6
2 5 7 9
3 7 9 11
4 10 12 无上限
5 无下限 8 10
6 4 6 无上限
这是一统计型线性规划规划问题，所以相差值的价值系数的变化范围没有必要分析。
班次
1
2
3
4
5
6
时间
0:00-4:00
4:00-8:00
8:00-12:00
12:00-16:00
16:00-20:00
20:00-24:00
合计
所需人数 本段安排人数 上段安排人数 本段实际人数 多余人数
4
7
9
12
8
6
46
0
7
2
10
0
6
25
6
0
7
2
10
0
6
7
9
12
10
6
50
2
0
0
0
2
0
4
“对偶价格”一栏。
第一个常数项由4增加到5，因为还剩下2人，所以不会改变最优值；
第二个常数项由7增加到8，由于上段时间已增一个人，这个人本班还上班，所以本也不需要增加人。
第三个常数项由9增加到10，前面安排的人都已下班，本班刚好只朋9人，若需求再增加一人，就需要新安排一人所以对偶价格-1；
第四个、第五个、第六个常数项与前三个常数项一样；
5.4 某塑料厂要用四种化学配料生产一种塑料产品，这四种配料分别由A、B、C三种化学原料配制，三种化学原料的配方及原料价格如下表：
配料
1 2 3 4
价格（元/公斤）
11
13
12
含原料A（%）
30 40 20 15
含原料B（%）
20 30 60 40
含原料C（%）
40 25 15 30
要配制的塑料产品中，要求含有20%的原料A，不少于30%的材料B和不少于20%的原料C。由于技术原因，配料1的用量不能超过30%，配料2的用量不能少于40%。第一次配制
的塑料产品不能少于5公斤。请设计一套配料方案，使总的成本为最低。
解：设配料用量xi（i=1，2，3，4）
总成本=11×（0.3x1+0.4x2+0.2x3+0.15x4）+13×（0.2x1+0.3x2+0.6x3+0.4x4）+12×（0.4x1+0.25x2+0.15x3+0.3x4）
=10.7x1+11.3x2+11.8x3+9.45x4
约束条件：
0.3x1+0.4x2+0.2x3+0.15x4=0.2(x1+x2+x3+x4) 原料A含量
0.2x1+0.3x2+0.6x3+0.4x4≥0.3(x1+x2+x3+x4) 原料B含量
0.4x1+0.25x2+0.15x3+0.3x4≥0.2(x1+x2+x3+x4) 原料C含量
x1≥0.3(x1+x2+x3+x4) 配料1含量
x2≤0.4(x1+x2+x3+x4) 配料2含量
x1+x2+x3+x4≥5 产量要求
xi≥0（i=1，2，3，4，）
可得线性规划数学模型：
min f =10.7x1+11.3x2+11.8x3+9.45x4
S.T. 0.1x1+0.2x2 -0.05x4=0
-0.1x1
+0.3x3+0.1x4≥0
0.2x1+0.05x2-0.05x3+0.1x4≥0
0.7x1-0.3x2-0.3x3-0.3x4≥0
-0.4x1+0.6x2-0.4x3-0.4x4≤0
x1+x2+x3+x4≥5
xi≥0（i=1，2，3，4，）
将模型代入到线性规划求解模板，得结果：
即：用配料1，1.5公斤；用配料2，0.1公斤；用配料3，0公斤；用配料4，3.4公斤；
花费总的最低成本49.31元。
灵敏度分析报告：
可变单元格
目标式 单元格 名字 终值 递减成本 允许的增量 允许的减量
系数
$C$34
$D$34
$E$34
$F$34
约束
x1
x2
x3
x4
1.5
0.1
0
3.4
0
0
1.98
0
10.7
11.3
11.8
9.45
1.47623E+11
0.233333333
1E+30
0.35
0.14
493.1000001
1.98
14.50294118
终值
0
0.19
0.645
0
-1.9
5
阴影价格
7.4
0
0
0.14
0
9.862
单元格 名字
$R$11
$R$12
$R$13
$R$15
$R$14
$R$16
实际值
实际值
实际值
实际值
实际值
实际值
约束限制值
0
0
0
0
0
5
允许的增量 允许的减量
0.475
0.19
0.645
0.166666667
1E+30
1E+30
0.025
1E+30
1E+30
1.5
1.9
5
目标函数最优值为 : 49.31
变量 最优解 相差值
x1 1.5 0
x2 .1 0
x3 0 1.98
x4 3.4 0
约束 松弛/剩余变量 对偶价格
1 0 -7.4
2 .19 0
3 .645 0
4 0 -.14
5 1.9 0
6 0 -9.862
目标函数系数范围 :
变量 下限 当前值 上限
x1 10.56 10.7 无上限
x2 -481.8 11.3 11.533
x3 9.82 11.8 无上限
x4 -5.053 9.45 9.8
常数项数范围 :
约束 下限 当前值 上限
1 -.025 0 .475
2 无下限 0 .19
3 无下限 0 .645
4 -1.5 0 .167
5 -1.9 0 无上限
6 0 5 无上限
本问题的相差值栏，x3的相差值为1.98，表示目前配料3的成本11.8太高，无法选用，若该配料的成本再降低1.98元就可以选取用。
松弛/剩余变量栏：前五个给条件都表示的是配料或原料的配比关系。松弛/剩余变量为0 关系表示已完全按要求配比，不为0 的表示没有达到配比要求。第五个约束是总产品的产量最低限，松弛/剩余变量为0 表示已达到产量要求。
关五个约束的对偶价格表示配料或者说原料不匹配时，对总费用的影响。不为0的对偶价格表示配比每差一个单位都会使总费用的增加量。第五个对偶价格是每增加一公斤的产品，需要增加的费用值。
在学数项取值范围栏：前五个约束在常数项在这个范围内，保持上述的对偶价格，而此时的上限都不高，说明这个最优方案中的匹配关系失衡并不严重，若比例失衡将会导致费用的增加比例更大。对五个对偶价格实际上说明了该产品的绝对成本，在这个方案下，生产多少的产品都是这个成本构成。
5.5 某工厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四种产品，产品Ⅰ需经过A、B两种机器加工，产品Ⅱ需经过A、C两种机器加工，产品Ⅲ需经过B、C两种机器加工，产品Ⅳ需经过A、B两种机器加工。有关数据见下表所示：
产品
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
每周可用机时数
机器生产率（件/小时） 原料成本（元/件） 产品价格（元/件）
A
10
20
20
150
B
20
10
10
150
120
C
10
15
225
70
16
25
12
18
65
80
50
70
机器成本（元/小时）
200
请为该厂制定一个最优生产计划。
解：分别设四种产品的产品为x1，x2，x3，x4，设备使用情况如下表：
产品
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
每周可用机时数
机器生产率（件/小时） 原料成本（元/件） 产品价格（元/件）
A
x1
x2
x4
150
B
x1
x3
x4
150
120
C
x2
x3
225
70
16
25
12
18
65
80
50
70
机器成本（元/小时）
200
利润=产品价格-原料成本-机器成本
=（65-16）×x1+（80-25）×x2+（50-12）×x3+（70-18）×x4
-200×（x1/10+x2/20+x4/20）-150×（x1/20+x3/10+x4/10）-225×（x2/10+x3/15）=(65-16-20-150/20) × x1+（80-25-10-225/10）×x2+（50-12-15-225/15）×x3+（70-18-10-15）×x4
=21.5 x1+22.5 x2+8 x3+27 x4
约束条件：x1/10+x2/20+x4/20≤150 提供可使用的机时数限制
x1/20+x3/10+x4/10≤120
x2/10+x3/15≤70
因此可得线性规划数学模型：
max Z=21.5 x1+22.5 x2+8 x3+27 x4
S.T. 2x1+x2+x4≤3000
x1+2x3+2x4≤2400
3x2+2x3≤2100
xi≥0（i=1，2,......4）
用Excel线性规划求解模板求解得：
即：最优生产方案：产品Ⅰ生产733.3件；
产品Ⅱ生产700件；
产品Ⅲ不安排生产；
产品Ⅳ生产833.3件。
可获得的最高利润：54016.7元。
灵敏度分析报告：
可变单元格
单元格
$C$34
名字
最优解
终值
733.3333333
700
递减成本
0
0
目标式系数 允许的增量 允许的减量
21.5
22.5
22.6 8
$D$34 x2
$E$34
$F$34
约束
单元格
$R$11
$R$12
$R$13
x3
名字
实际值
实际值
实际值
1E+30 17.16666667
1E+30 0 -25.11111111
833.3333333
终值
阴影价格
0
8 25.11111111
27
16 16.14285714
约束限制值 允许的增量 允许的减量
3000
2400
2100
2500
2200
3300
1100
1250
2100
3000 5.333333333
2400 10.83333333
2100 5.722222222
即：目标函数最优值为 : 54016.6505
变量 最优解 相差值
------- -------- --------
x1 733.333 0
x2 700 0
x3 0 25.111
x4 833.333 0
约束 松弛/剩余变量 对偶价格
------- ------------- --------
1 0 5.333
2 0 10.833
3 0 5.722
目标函数系数范围 :
变量 下限 当前值 上限
------- -------- -------- --------
x1 13.5 21.5 44.1
x2 5.333 22.5 无上限
x3 无下限 8 33.111
x4 10.857 27 43
常数项数范围 :
约束 下限 当前值 上限
------- -------- -------- --------
1 1900 3000 5500
2 1150 2400 4600
3 0 2100 5400
此模型的最优解中，四个变量有三个变量不为0，即需要安排生产，另一个为0 的变量表示产品Ⅲ由于成本高或价格低，使所获的利润太低，不值得生产。从相差值栏可见，该产品的单位利润需要再增加25.111元才值得生产。
松弛/剩余变量栏中三个数据都为0，表示该决策中所提供三种设备的机时都已全部利用，没有剩余；从对偶价格栏还可以看到三种设备的机时虽然都已用尽，但此时对三种设备增加机时，则设备B所带来的总利润为最多。因此设备B是瓶径。从约束条件的取值范围也可以看到这一点，因为设备B的机时取值范围最小，因此该设备是关键。
5.6 某企业生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，市场两种产品的需求量为：产品Ⅰ在1-4月份每月需1万件，5-9月份每月需3万件，10-12月份每月需10万件；产品Ⅱ在3-9月份每月需1.5万件，其他月份每月需5万件。该企业生产这两种产品的成本为：产品Ⅰ在1-5月份生产时每件5元，6-12月份生产时每件4.5元；产品Ⅱ在1-5月份生产时每件8元，6-12月份生产时每件7元；该企业每月生产两种产品的能力总和不超过12万件。产品Ⅰ容积为每件0.2立方米，产品Ⅱ容积为每件0.4立方米。该企业仓库容积为1.5万立方米。要求：
1、问该企业应如何安排生产，使总的生产加工储存费用为最少，建立线性规划数学模型并求解，若无解请说明原因。
2、若该企业的仓库容积不足时，可从外厂租借。若占用本企业的仓库每月每立方米需1万元的储存费，而租用外厂仓库时其储存费用为每月每立方米1.5万元，试问在满足市场需求情况下，该企业又应如何安排生产，使总的生产加储存费用为最少。
解：
1、
（1）确定决策变量
我们先将问题的关系整理如下表：
月份 1 2
10
5
x2
3
10
5
x3
4
10
5
x4
5
30
5
x5
6
30
4.5
x6
7
30
4.5
x7
8
30
4.5
x8
9
30
4.5
x9
10
100
4.5
x10
11
100
4.5
x11
12
100
4.5
x12
15000（m3）
1元/m3
仓容
销售量（千件） 10
成本（元、件） 5
产 产量（件）
Ⅰ
库存数
x1
3品
总容积（千m） 0.2x1 0.2x2 0.2x3 0.2x4 0.2x5 0.2x6 0.2x7 0.2x8 0.2x9 0.2x10 0.2x11 0.2x12
x25=
x26= x27= x28= x29= x30= x31= x32= x33=
x2+ x3+ x4+ x5+ x6+ x7+ x8+ x9+
x34=
x10+
x35=
x11+
x36=
x12+
x1-10
x25-10 x26-10 x27-10 x28-30 x29-30 x30-30 x31-30 x32-30 x33-100 x34-100 x35-100
50
8
x14
15
8
x15
15
8
x16
15
8
x17
15
7
x18
15
7
x19
15
7
x20
15
7
x21
50
7
x22
50
7
x23
50
7
x24
销售量（千件） 50
产
品 成本（元、件） 8
Ⅱ
产量（件） x13
总容积千（千m） 0.4x13 0.4x14 0.4x15 0.4x16 0.4x17 0.4x18 0.4x19 0.4x20 0.4x21 0.4x22 0.4x23 0.4x24
x37=
x38= x39= x40= x41= x42= x43= x44= x45= x46= x47= x48=
3库存数 x14+ x15+ x16+ x17+ x18+ x19+ x20+ x21+ x22+ x23+ x24+
x13-50
x37-50 x38-15 x39-15 x40-15 x41-15 x42-15 x43-15 x44-15 x45-50 x46-50 x47-50
x49 x50 x51 x52 x53 x54 x55 x56 x57 x58 x59 x60
仓
容
产
品
总和
千m
3（千件） 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120
（2）确定目标函数
本问题的目标是全年总的生产加工储存费用为最少，而加工和存储总费用为：
费用=5×（x1+ x2+ x3+ x4+ x5）+4.5×（x6+ x7+x8+ x9+ x10+ x11+ x12）+8×（x13+ x14+ x15+
x16+ x17）+7×（x18+ x19+x20+ x21+ x22+ x23+ x24）+（x49+ x50+x51+ x52+ x53+ x54+ x55+
x56+ x57+ x58+ x59+ x60）
所以，目标函数为：
Min f=5×（x1+ x2+ x3+ x4+ x5）+4.5×（x6+ x7+x8+ x9+ x10+ x11+ x12）+8×（x13+ x14+
x15+ x16+ x17）+7×（x18+ x19+x20+ x21+ x22+ x23+ x24）+（x49+ x50+x51+ x52+ x53+ x54+
x55+ x56+ x57+ x58+ x59+ x60）
（3）确定约束条件
（3.1）产量关系（以件为单位）：
x1+ x13≤120000
x2+ x14≤120000
x3+ x15≤120000
x4+ x16≤120000
x5+ x17≤120000
x6+ x18≤120000
x7+ x19≤120000
x8+ x20≤120000
x9+ x21≤120000
x10+ x22≤120000
x11+ x23≤120000
x12+ x24≤120000
（3.2）月末剩余数关系（以件为单位）：
x25=x1-10000
x26= x2+ x25-10000
x27= x3+ x26-10000
x28= x4+ x27-10000
x29= x5+ x28-30000
x30= x6+ x29-30000
x31= x7+ x30-30000
x32= x8+ x31-30000
x33= x9+ x32-30000
x34= x10+ x33-100000
x35= x11+ x34-100000
x36= x12+ x35-100000
x37= x13-50000
x38= x14+ x37-50000
x39= x15+ x38-15000
x40= x16+ x39-15000
x41= x17+ x40-15000
x42= x18+ x41-15000
x43= x19+ x42-15000
x44= x20+ x43-15000
x45= x21+ x44-15000
x46= x22+ x45-50000
x47= x23+ x45-50000
x48= x24+ x47-50000
（3.3）自有仓容限制（m）：
3x49≤15000
x50≤15000
x51≤15000
x52≤15000
x53≤15000
x54≤15000
x55≤15000
x56≤15000
x57≤15000
x58≤15000
x59≤15000
x60≤15000
（3.4）仓容与库存量关系（m）：
30.2 x25+0.4 x37= x49
0.2 x26+0.4 x38= x50
0.2 x27+0.4 x39= x51
0.2 x28+0.4 x40= x52
0.2 x29+0.4 x41= x53
0.2 x30+0.4 x42= x54
0.2 x31+0.4 x43= x55
0.2 x32+0.4 x44= x56
0.2 x33+0.4 x45= x57
0.2 x34+0.4 x46= x58
0.2 x35+0.4 x47= x59
0.2 x36+0.4 x48= x60
因此得本问题的纯属规划数学模型：
Min
f=5×（x1+ x2+ x3+ x4+ x5）+4.5×（x6+ x7+x8+ x9+ x10+ x11+ x12）+8×（x13+
x14+ x15+ x16+ x17）+7×（x18+ x19+x20+ x21+ x22+ x23+ x24）+（x49+ x50+x51+ x52+
x53+ x54+ x55+ x56+ x57+ x58+ x59+ x60）
S.T. x1+ x13≤120000
x2+ x14≤120000
x3+ x15≤120000
x4+ x16≤120000
x5+ x17≤120000
x6+ x18≤120000
x7+ x19≤120000
x8+ x20≤120000
x9+ x21≤120000
x10+ x22≤120000
x11+ x23≤120000
x12+ x24≤120000
x1-x25=10000
x2+ x25－x26=10000
x3+ x26－x27=10000
x4+ x27－x28=10000
x5+ x28－x29=30000
x6+ x29－x30=30000
x7+ x30－x31=30000
x8+ x31－x32=30000
x9+ x32－x33=30000
x10+ x33－x34=100000
x11+ x34－x35=100000
x12+ x35－x36=100000
x13- x37=50000
x14+ x37－x38=50000
x15+ x38－x39=15000
x16+ x39－x40=15000
x17+ x40－x41=15000
x18+ x41－x42=15000
x19+ x42－x43=15000
x20+ x43－x44=15000
x21+ x44－x45=15000
x22+ x45－x46=50000
x23+ x46－x47=50000
x24+ x47－x48=50000
x49≤15000
x50≤15000
x51≤15000
x52≤15000
x53≤15000
x54≤15000
x55≤15000
x56≤15000
x57≤15000
x58≤15000
x59≤15000
x60≤15000
0.2 x25+0.4 x37- x49=0
0.2 x26+0.4 x38- x50=0
0.2 x27+0.4 x39- x51=0
0.2 x28+0.4 x40- x52=0
0.2 x29+0.4 x41- x53=0
0.2 x30+0.4 x42- x54=0
0.2 x31+0.4 x43- x55=0
0.2 x32+0.4 x44- x56=0
0.2 x33+0.4 x45- x57=0
0.2 x34+0.4 x46- x58=0
0.2 x35+0.4 x47- x59=0
0.2 x36+0.4 x48- x60=0
x i≥0 i=1-60
（这是一个60个变量，60个约束条件的纯属规划数学模型，求解时需要扩充求解模板）。
见《第五章习题》求解结果是“找不到有用的解”。其原因是后三个月每月都需要两种产品总和150千件，而每月两种产品的总产量只有120千件，所以必须要有90千件产品要有9月份前做好储备，而90件的最小体积为18000m3，而库房只15000m3，所以该问题就无法安排了，所以系统就找不到有用的解了。
2、为了后几个月每月较大的需求量，就需要向外厂租借仓库，以补本厂库容不足的要求。这样就需要对外借仓库容量与本厂仓库容量和需求一同考虑。
（1）确定决策变量
我们将考虑外借仓库后，问题的关系整理如下表：
月份 1 2
10
5
x2
3
10
5
x3
4
10
5
x4
5
30
5
x5
6
30
4.5
x6
7
30
4.5
x7
8
30
4.5
x8
9
30
4.5
x9
10
100
4.5
x10
11
100
4.5
x11
12
100
4.5
x12
仓容 外存
销售量（千件） 10
成本（元、件） 5
产 产量（件）
Ⅰ
库存数
x1
3品
总容积（千m） 0.2x1 0.2x2 0.2x3 0.2x4 0.2x5 0.2x6 0.2x7 0.2x8 0.2x9 0.2x10 0.2x11 0.2x12
x2+ x3+ x4+ x5+ x6+ x7+ x8+ x9+ x10+ x11+ x12+
x1-10
x25-10 x26-10 x27-10 x28-30 x29-30 x30-30 x31-30 x32-30 x33-100 x34-100 x35-100
1500050
8
x14
15
8
x15
15
8
x16
15
8
x17
15
7
x18
15
7
x19
15
7
x20
15
7
x21
50
7
x22
50
7
x23
50 （m3）
7
3x24
1元/m
x25=
x26= x27= x28= x29= x30= x31= x32= x33= x34= x35= x36=
容量
不限
1.5元/m3
销售量（千件） 50
成本（元、件） 8
产 产量（件）
3x13
品
总容积（千m） 0.4x13 0.4x14 0.4x15 0.4x16 0.4x17 0.4x18 0.4x19 0.4x20 0.4x21 0.4x22 0.4x23 0.4x24
Ⅱ
库存数
x37=
x38= x39= x40= x41= x42= x43= x44= x45= x46= x47= x48=
x14+ x15+ x16+ x17+ x18+ x19+ x20+ x21+ x22+ x23+ x24+
x13-50
x37-50 x38-15 x39-15 x40-15 x41-15 x42-15 x43-15 x44-15 x45-50 x46-50 x47-50
x50 x51 x52 x53 x54 x55 x56 x57 x58 x59 x60
仓
容
本厂（千m） x49
3
外借（千m） x61
产
品
总和
（千件） 120
3x62 x63 x64 x65 x66 x67 x68 x69 x70 x71 x72
120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120
（2） 确定目标函数
由于考虑了外借仓库，所以要在目标函数中加外借仓库的存储费用。
费用=5×（x1+ x2+ x3+ x4+ x5）+4.5×（x6+ x7+x8+ x9+ x10+ x11+ x12）+8×（x13+ x14+ x15+
x16+ x17）+7×（x18+ x19+x20+ x21+ x22+ x23+ x24）+（x49+ x50+x51+ x52+ x53+ x54+ x55+
x56+ x57+ x58+ x59+ x60）+1.5×（x61+ x62+x63+ x64+ x65+ x66+ x67+ x68+ x69+ x70+ x71+
x72）
所以目标函数为：
min f=5×（x1+ x2+ x3+ x4+ x5）+4.5×（x6+ x7+x8+ x9+ x10+ x11+ x12）+8×（x13+ x14+
x15+ x16+ x17）+7×（x18+ x19+x20+ x21+ x22+ x23+ x24）+（x49+ x50+x51+ x52+ x53+ x54+
x55+ x56+ x57+ x58+ x59+ x60）+1.5×（x61+ x62+x63+ x64+ x65+ x66+ x67+ x68+ x69+ x70+
x71+ x72）
（3）确定约束条件
考虑了外借仓库后，其约束条件就只对仓容与库存量关系加上外借仓容部分。
仓容与库存量关系（m3）：
0.2 x25+0.4 x37= x49+ x61
0.2 x26+0.4 x38= x50+ x62
0.2 x27+0.4 x39= x51+ x63
0.2 x28+0.4 x40= x52+ x64
0.2 x29+0.4 x41= x53+ x65
0.2 x30+0.4 x42= x54+ x66
0.2 x31+0.4 x43= x55+ x67
0.2 x32+0.4 x44= x56+ x68
0.2 x33+0.4 x45= x57+ x69
0.2 x34+0.4 x46= x58+ x70
0.2 x35+0.4 x47= x59+ x71
0.2 x36+0.4 x48= x60+ x72
其它部分都与前面的完全相同。
因此可得本问题的线性规划数学模型：
Min f=5×（x1+ x2+ x3+ x4+ x5）+4.5×（x6+ x7+x8+ x9+ x10+ x11+ x12）+8×（x13+ x14+
x15+ x16+ x17）+7×（x18+ x19+x20+ x21+ x22+ x23+ x24）+（x49+ x50+x51+ x52+ x53+ x54+
x55+ x56+ x57+ x58+ x59+ x60）+1.5×（x61+ x62+x63+ x64+ x65+ x66+ x67+ x68+ x69+ x70+
x71+ x72）
S.T. x1+ x13≤120000
x2+ x14≤120000
x3+ x15≤120000
x4+ x16≤120000
x5+ x17≤120000
x6+ x18≤120000
x7+ x19≤120000
x8+ x20≤120000
x9+ x21≤120000
x10+ x22≤120000
x11+ x23≤120000
x12+ x24≤120000
x1-x25=10000
x2+ x25－x26=10000
x3+ x26－x27=10000
x4+ x27－x28=10000
x5+ x28－x29=30000
x6+ x29－x30=30000
x7+ x30－x31=30000
x8+ x31－x32=30000
x9+ x32－x33=30000
x10+ x33－x34=100000
x11+ x34－x35=100000
x12+ x35－x36=100000
x13- x37=50000
x14+ x37－x38=50000
x15+ x38－x39=15000
x16+ x39－x40=15000
x17+ x40－x41=15000
x18+ x41－x42=15000
x19+ x42－x43=15000
x20+ x43－x44=15000
x21+ x44－x45=15000
x22+ x45－x46=50000
x23+ x46－x47=50000
x24+ x47－x48=50000
x49≤15000
x50≤15000
x51≤15000
x52≤15000
x53≤15000
x54≤15000
x55≤15000
x56≤15000
x57≤15000
x58≤15000
x59≤15000
x60≤15000
0.2 x25+0.4 x37- x49- x61=0
0.2 x26+0.4 x38- x50- x62=0
0.2 x27+0.4 x39- x51- x63=0
0.2 x28+0.4 x40- x52- x64=0
0.2 x29+0.4 x41- x53- x65=0
0.2 x30+0.4 x42- x54- x66=0
0.2 x31+0.4 x43- x55- x67=0
0.2 x32+0.4 x44- x56- x68=0
0.2 x33+0.4 x45- x57- x69=0
0.2 x34+0.4 x46- x58- x70=0
0.2 x35+0.4 x47- x59- x71=0
0.2 x36+0.4 x48- x60- x72=0
x i≥0 i=1-72
（这是一个72个变量，60个约束条件的纯属规划数学模型，求解时需要扩充求解模板）。
见《第五章习题》求解结果如下表：
月份 1 2
10
5
3
10
5
4
10
5
5
30
5
6
30
4.5
7
30
4.5
8
30
4.5
9
30
4.5
10
100
4.5
11
100
4.5
12
100
4.5
仓容 外存
销售量（千件） 10
成本（元、件） 5
产
品 产量（件） x1=10 x2=10 x3=10 x4=10 x5=30 x6=30 x7=30 x8=45 x9=105 x10=70 x11=70 x12=70
3Ⅰ
总容积（千m） 0.2x1 0.2x2 0.2x3 0.2x4 0.2x5 0.2x6 0.2x7 0.2x8 0.2x9 0.2x10 0.2x11 0.2x12
库存数 x25=0 x26=0 x27=0 x28=0 x29=0 x30=0 x31=0 x32=15 x33=90 x34=60 x35=30 x36=0
50
8
15
8
15
8
15
8
15
7
15
7
15
7
15
7
50
7
50
7
50
7
15000容量
销售量（千件） 50
成本（元、件） 8
产
不限
品 产量（件） x13=50 x14=50 x15=15 x16=15 x17=15 x18=15 x19=15 x20=15 x21=15 x22=50 x23=50 x24=50
3（m）
3
Ⅱ
总容积（千m） 0.4x13 0.4x14 0.4x15 0.4x16 0.4x17 0.4x18 0.4x19 0.4x20 0.4x21 0.4x22 0.4x23 0.4x24
1.5元库存数 x37=0 x38=0 x39=0 x40=0 x41=0 x42=0 x43=0 x44=0 x45=0 x46=0 x47=0 x48=0
1元/m3
/m3
仓
3本厂（千m） x49=0 x50=0 x51=0 x52=0 x53=0 x54=0 x55=0 x56=3 x57=15 x58=12 x59=6 x60=0
容
外借（千m） x61=0 x62=0 x63=0 x64=0 x65=0 x66=0 x67=0 x68=0 x69=3 x70=0 x71=0 x72=0
产
品
总和
（千件） 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120
3总的生产加储存最少费用为4910500元
外借的库房，在9月份用了3千平方米的容量。
灵敏度分析报告：
可变单元格
单元格 名字
$C$5
$D$5
$E$5
$F$5
$G$5
$H$5
x1
x2
x3
x4
x5
x6
终值
10000
10000
10000
10000
30000
30000
递减成本 目标式系数 允许的增量 允许的减量
0
0
0
0
0
0
5
5
5
5
5
4.5
0
0.2
0
0.2
0.2
0
0.2
0
0.2
0.2
0
0.2
$I$5
$J$5
$K$5
$L$5
$M$5
$N$5
$O$5
$P$5
$Q$5
$R$5
$S$5
$T$5
$U$5
$V$5
$W$5
$X$5
$Y$5
$Z$5
$AA$5
$AB$5
$AC$5
$AD$5
$AE$5
$AF$5
$AG$5
$AH$5
$AI$5
$AJ$5
$AK$5
$AL$5
$AM$5
$AN$5
$AO$5
$AP$5
$AQ$5
$AR$5
$AS$5
$AT$5
$AU$5
$AV$5
$AW$5
$AX$5
$AY$5
x7
x8
x9
x10
x11
x12
x13
x14
x15
x16
x17
x18
x19
x20
x21
x22
x23
x24
x25
x26
x27
x28
x29
x30
x31
x32
x33
x34
x35
x36
x37
x38
x39
x40
x41
x42
x43
x44
x45
x46
x47
x48
x49
30000
45000
105000
70000
70000
70000
50000
50000
15000
15000
15000
15000
15000
15000
15000
50000
50000
50000
5.29243E-11
0
0
0
0
3.95003E-10
0
15000
90000
60000
30000
0
0
-4.98357E-12
0
0
1.12299E-10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.2
0.2
0
0
0.2
0
0
0
0
1.45
0
0
0.4
0.4
0
0
0.4
0.2
0.3
0.2
0.2
0
1
4.5
4.5
4.5
4.5
4.5
4.5
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.9
0
0.2
0.2
0.3
0.2
0.2
0
0.4
0
0.4
1.4
0
0.4
0.2
0.3
0.2
0.2
8.3
0.2
0
0.2
0.2
0
0.2
0.2
0.2
0.5
0.7
0.9
1.45
0
0.4
0.4
0.4
1.4
0
0.4
0.2
0.3
0.2
0.2
8.3
1
8 9.0072E+14
8
8
8
8
7
7
7
7
7
7
7
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0.4
0.4
0
1.4
0
0.4
0.2
0.3
0.2
0.2
0
1E+30
1E+30
1E+30
1E+30
0
1E+30
0.2
0.3
0.2
0.2
1E+30
1E+30
0
1E+30
1E+30
0
1E+30
1E+30
1E+30
1E+30
1E+30
1E+30
2.9
1E+30
$AZ$5
$BA$5
$BB$5
$BC$5
$BD$5
$BE$5
$BF$5
$BG$5
$BH$5
$BI$5
$BJ$5
$BK$5
$BL$5
$BM$5
$BN$5
$BO$5
$BP$5
$BQ$5
$BR$5
$BS$5
$BT$5
$BU$5
$BV$5
约束
x50
x51
x52
x53
x54
x55
x56
x57
x58
x59
x60
x61
x6
x63
x64
x65
x66
x67
x68
x69
x70
x71
x72
终值
0
-7.12896E-12
-4.00324E-12
0
0
1.45519E-11
3000
15000
12000
6000
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3000
0
0
0
1
0
0
3.5
1
0
0
0
0
0
20.75
1.5
1.5
0.5
0.5
4
1.5
0.5
0.5
0
0.5
0.5
21.25
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1.5
1E+30
0.5
0.5
1E+30
1E+30
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
1E+30
1E+30
1E+30
1E+30
1E+30
1E+30
1E+30
1E+30
1E+30
1E+30
1E+30
1E+30
1E+30
1
1
1
3.5
1
1
1
1E+30
1
1
20.75
1.5
1.5
0.5
0.5
4
1.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
21.25
单元格 名字
$BW$11
$BW$12
$BW$13
$BW$14
$BW$15
$BW$16
$BW$17
$BW$18
$BW$19
$BW$20
$BW$21
$BW$22
$BW$23
$BW$24
$BW$25
$BW$26
$BW$27
$BW$28
阴影价格 约束限制值 允许的增量 允许的减量
0
0
0
0
0
0
0
0
-0.2
-0.5
-0.7
-0.9
5
5
5
5
5
4.5
120000
120000
120000
120000
120000
120000
120000
120000
120000
120000
120000
120000
10000
10000
10000
10000
30000
30000
1E+30
1E+30
1E+30
1E+30
1E+30
1E+30
1E+30
1E+30
15000
15000
15000
15000
60000
60000
95000
95000
75000
75000
60000
60000
95000
95000
75000
75000
75000
60000
60000
60000
15000
15000
10000
10000
10000
10000
30000
30000
60000
60000
25000
25000
45000
45000
45000
60000
120000
120000
120000
120000
10000
10000
10000
10000
30000
30000
$BW$29
$BW$30
$BW$31
$BW$32
$BW$33
$BW$34
$BW$35
$BW$36
$BW$37
$BW$38
$BW$39
$BW$40
$BW$41
$BW$42
$BW$43
$BW$44
$BW$45
$BW$46
$BW$47
$BW$48
$BW$49
$BW$50
$BW$51
$BW$52
$BW$53
$BW$54
$BW$55
$BW$56
$BW$57
$BW$58
$BW$59
$BW$60
$BW$61
$BW$62
$BW$63
$BW$64
$BW$65
$BW$66
$BW$67
$BW$68
$BW$69
$BW$70
30000
30000
30000
100000
100000
100000
50000
50000
15000
15000
15000
15000
15000
15000
15000
50000
50000
50000
0
0
-7.12896E-12
-4.00324E-12
0
0
1.45519E-11
3000
15000
12000
6000
0
1.05849E-11
-1.99343E-12
7.12896E-12
4.00324E-12
4.49196E-11
7.90006E-11
-1.45519E-11
-2.31921E-11
-2.81943E-11
0
1.45519E-11
0
4.5
4.5
4.7
5
5.2
5.4
8
8
8
8
8
7
7
7
7.2
7.5
7.7
7.9
0
0
0
0
0
0
0
0
-0.5
0
0
0
0
0
-1
-1
2.5
0
-1
-1
-1.5
-1
-1
19.75
30000
30000
30000
100000
100000
100000
50000
50000
15000
15000
15000
15000
15000
15000
15000
50000
50000
50000
15000
15000
15000
15000
15000
15000
15000
15000
15000
15000
15000
15000
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
75000
60000
60000
60000
15000
15000
60000
60000
95000
95000
75000
75000
75000
60000
60000
60000
15000
15000
1E+30
1E+30
1E+30
1E+30
1E+30
1E+30
1E+30
1E+30
3000
1E+30
1E+30
1E+30
2000
6000
0
0
6000
6000
0
3000
3000
12000
6000
6000
30000
45000
15000
15000
15000
15000
50000
50000
15000
15000
15000
15000
15000
15000
15000
15000
15000
15000
15000
15000
15000
15000
15000
15000
15000
12000
15000
3000
9000
15000
0
0
15000
15000
0
0
15000
12000
1E+30
3000
9000
0
本问题灵敏度详细分析太麻烦，从略。
5.7 某快餐店坐落在一个远离市区的旅游点中，平时游客不多，而在除冬季外每个双休日游客都比较多。该快餐店有两名正式职工，正式职工每天工作8小时，且每个时间段都至少要有一个正式职工在上班，其余工作由临时工来承担，临时工每班工作4小时。在双休日每天上午10时开始营业到下午10时关门。根据游客就餐情况，在双休日每个营业时间段所需职工数（包括正式工和临时工）如下表：
时间段
10:00-11:00
11:00-12:00
12:00-13:00
13:00-14:00
14:00-15:00
15:00-16:00
16:00-17:00
17:00-18:00
18:00-19:00
19:00-20:00
20:00-21:00
21:00-22:00
所需职工数
9
10
10
9
3
3
3
6
12
12
7
7
已知一名正式职工10点开始上班，工作4小时后休息1小时，而后再工作4小时；另一名正式职工13点开始上班，工作4小时后休息1小时，而后再工作4小时。临时工每小时的工资为4元。
1、在满足对职工需求的条件下，如何安排临时工的班次，使得使用临时工的成本为最小？
2、这时付给临时工的工资总额为多少？一共需要安排多少个班次的临时工？请用剩余量来说明如果安排一些每班工作3小时的临时工班次，可使得总成本更小。
3、如果临时工每班工作时间可以是3小时，也可以是4小时，那么应如何安排临时工的班次，使得使用临时工的总成本为最小？这样比第1问的结果能节省多少费用？这时要安排多少临时工的班次？
解：1、从上午10 时到下午10 时分成12 个班次，设xi 表示第i 班次安排的临时工的人数，则快餐店需要支付的最少工资关系：
min f＝16（x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9）+12x10+8x11+4x12
每班能安排人数和所需人数的关系：
s．t． x1 ＋1 ≥ 9
x1＋x2
＋1 ≥ 10
x1＋x2＋x3
＋1 ≥ 10
x1＋x2＋x3＋x4 ＋2 ≥ 9
x2＋x3＋x4＋x5 ＋1 ≥ 3
x3＋x4＋x5＋x6 ＋2 ≥ 3
x4＋x5＋x6＋x7 ＋2 ≥ 3
x5＋x6＋x7＋x8 ＋1 ≥ 6
x6＋x7＋x8＋x9 ＋2 ≥ 12
x7＋x8＋x9＋x10 ＋1 ≥ 12
x8＋x9＋x10＋x11＋1 ≥ 7
x9＋x10＋x11＋x12＋1 ≥ 7
x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12≥ 0
因此本问题的线性规划数学模型：
min f＝16x1+16x2+16x3+16x4+16x5+16x6+16x7+16x8+16x9+12x10+8x11+4x12
s．t． x1 ≥8
x1＋x2
≥9
x1＋x2＋x3
≥9
x1＋x2＋x3＋x4 ≥7
x2＋x3＋x4＋x5 ≥2
x3＋x4＋x5＋x6 ≥ 1
x4＋x5＋x6＋x7 ≥ 1
x5＋x6＋x7＋x8 ≥ 5
x6＋x7＋x8＋x9 ≥10
x7＋x8＋x9＋x10 ≥ 11
x8＋x9＋x10＋x11 ≥ 6
x9＋x10＋x11＋x12 ≥ 6
x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12≥ 0
将该模型代入到线性规划求解模板得结果：
其解为：x1＝8，x2＝1，x3＝1，x4＝0，x5＝0，x6＝0，x7＝1，x8＝4，x9＝5，x10＝1，x11＝0，x12＝0 最优值为332。
在满足对职工需求的条件下，
在10 时新安排临时工8个 ；
11 时新安排临时工1个；
12 时新安排临时工1个；
16 时新安排临时工1个；
17 时新安排临时工4个；
18 时新安排临时工5个；
19 时新安排临时工1个。
全天共安排21个临时工，其中18时以前安排的20人是连续上四小时班，19时安排的一人上3小时班。可使临时工的总成本最小为332元。
如下表所示：
时间段
10:00-11:00
11:00-12:00
12:00-13:00
13:00-14:00
14:00-15:00
15:00-16:00
16:00-17:00
17:00-18:00
18:00-19:00
19:00-20:00
20:00-21:00
21:00-22:00
合计
灵敏度分析报告：
可变单元格
单元格
$C$34
$D$34
$E$34
$F$34
$G$34
$H$34
$I$34
$J$34
$K$34
$L$34
$M$34
$N$34
约束
单元格
$R$11
$R$12
$R$13
$R$14
$R$15
$R$16
$R$17
名字
最优解
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
x11
x12
名字
实际值
实际值
实际值
实际值
实际值
实际值
实际值
终值 递减成本 目标式系数 允许的增量 允许的减量
8
1
0
1
0
0
5
0
5
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
8
4
16
16
16
16
16
16
16
16
16
12
8
4
1E+30
4
12
0
4
4
0
0
4
4
1E+30
1E+30
4
12
0
4
0
12
8
0
0
12
8
4
所需临时工 安排上班人数 实际上班人数 剩余人数
8
9
9
7
2
1
1
5
10
11
6
6
75
8
1
1
0
0
0
1
4
5
1
0
0
21
8
9
10
10
2
1
1
5
10
11
10
6
83
8-8=0
9-9=0
10-9=1
10-7=3
2-2=0
1-1=0
1-1=0
5-5=0
10-10=0
11-11=0
10-6=4
6-6=0
8
终值 阴影价格 约束限制值 允许的增量 允许的减量
8
9
9
10
2
1
6
4
12
0
0
4
12
0
8
9
9
7
2
1
1
0
0
1
3
0
0
5
0
0
0
1E+30
0
0
1E+30
$R$18
$R$19
$R$20
$R$21
$R$22
实际值
实际值
实际值
实际值
实际值
5
10
11
6
6
0
4
12
0
0
5
10
11
6
6
1
1
0
5
0
0
5
1
0
0
2、这时付给临时工的工资总额为332 元，一共需要安排83个临时工的班次。
根据剩余变量的数字分析可知，可以让10 时安排的8 个人中留3人工作3 小时，就可以将13-14时多余的3个工时省下来；同时17 时安排的4个人工作3 小时，也可将20时的4个工时省下来使得总成本更小。这时只有12-13时间段剩余1人，其它时间段都没有剩余的人员，所以总的班次只用76个，总费用将是76×4=304元。
3、设在10：00-11：00 这段时间内有x1 个班是3 小时，x2个班是4 小时；
设在11：00-12：00 这段时间内有x3个班是3 小时，x4个班是4 小时；
其他时段也类似。即：
3小时 4小时
10点 x1 x2
11点 x3 x4
12点 x5 x6
13点 x7 x8
14点 x9 x10
15点 x11 x12
16点 x13 x14
17点 x15 x16
18点 x17 x18
19点 x19 x20
20点 x21 x22
21点 x23 x22
则：快餐店需要支付的最少工资关系：：
min z =12（x1+x3+x5+x7+x9+x11+x13+x15+x17+x19）+8x21+4x23 +
16（x2+x4+x6+x8+x10+x12+x14+x16+x18）+12x20+8x22+4x24
每班能安排人数和所需人数的关系：
S．T x1＋x2 ＋1 ≥ 9
x1＋x2
＋x3＋x4 ＋1 ≥ 10
x1＋x2＋x3
＋x4＋x5＋x6 ＋1 ≥ 10
x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8 ＋2 ≥ 9
x4＋x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10 ＋1 ≥ 3
x6＋x7＋x8＋x9＋x10＋x11＋x12 ＋2 ≥ 3
x8＋x9＋x10＋x11＋x12＋x13＋x14 ＋2 ≥ 3
x10＋x11＋x12＋x13＋x14＋x15＋x16 ＋1 ≥ 6
x12＋x13＋x14＋x15＋x16＋x17＋x18 ＋2 ≥ 12
x14＋x15＋x16＋x17＋x18＋x19＋x20 ＋1 ≥ 12
x16＋x17＋x18＋x19＋x20＋x21＋x22
＋1 ≥ 7
x18＋x19＋x20＋x21＋x22＋x23＋x24
＋1 ≥ 7
xi ≥0 i=1,2,…,24
即可得线性规划数学模型：
min z =12x1+12x3+12x5+12x7+12x9+12x11+12x13+12x15+12x17+12x19+8x21+4x23 +
16x2+16x4+16x6+16x8+16x10+16x12+16x14+16x16+16x18+12x20+8x22+4x24
S．T x1＋x2 ≥ 8
x1＋x2
＋x3＋x4 ≥ 9
x1＋x2＋x3
＋x4＋x5＋x6 ≥ 9
x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8 ≥7
x4＋x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10 ≥ 2
x6＋x7＋x8＋x9＋x10＋x11＋x12 ≥ 1
x8＋x9＋x10＋x11＋x12＋x13＋x14 ≥ 1
x10＋x11＋x12＋x13＋x14＋x15＋x16 ≥ 5
x12＋x13＋x14＋x15＋x16＋x17＋x18 ≥ 10
x14＋x15＋x16＋x17＋x18＋x19＋x20 ≥11
x16＋x17＋x18＋x19＋x20＋x21＋x22
≥6
x18＋x19＋x20＋x21＋x22＋x23＋x24
≥ 6
xi ≥0 i=1,2,…,24
将该模型代入到线性规划求解模板得结果：
其解为：在满足对职工需求的条件下，
10 时安排8 个临时工，其中3个3小时的，5个4小时的；
11 时新安排1个4小时的临时工；
13 时新安排1个3小时的临时工；
16 时新安排1个4小时的临时工；
17 时新安排4个3小时的临时工；
18 时新安排5个4小时的临时工；
19 时新安排1个3小时临时工。
全天共安排21个临时工，可使临时工的总成本最小为300元。
如下表所示：
时间段
10:00-11:00
11:00-12:00
12:00-13:00
所需临时工 4小时班人数 3小时班人数 实际上班人数 剩余人数
8
9
9
5
1
0
3
0
0
8
9
9
0
0
0
13:00-14:00
14:00-15:00
15:00-16:00
16:00-17:00
17:00-18:00
18:00-19:00
19:00-20:00
20:00-21:00
21:00-22:00
合计
7
2
1
1
5
10
11
6
6
75
0
0
0
1
0
5
0
0
0
12
1
0
0
0
4
0
1
0
0
9
7
2
1
1
5
10
11
6
6
75
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
这样能比第一种方案节省：332-300=32 元。
灵敏度分析报告：
可变单元格
单元格
$C$34
$D$34
$E$34
$F$34
$G$34
$H$34
$I$34
$J$34
$K$34
$L$34
$M$34
$N$34
$O$34
$P$34
$Q$34
$R$34
$S$34
$T$34
$U$34
$V$34
$W$34
$X$34
$Y$34
$Z$34
约束
单元格
名字
最优解
x2
x4
x6
x8
x10
x12
x14
x16
x18
x19
x20
x21
x22
x23
名字
终值 递减成本 目标式系数 允许的增量 允许的减量
3
5
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
4
0
0
5
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
12
16
12
16
12
16
12
16
12
16
12
16
12
16
12
16
12
16
12
12
8
8
4
4
0
0
0
0
1E+30
0
0
1E+30
1E+30
0
1E+30
1E+30
1E+30
0
0
0
1E+30
0
0
1E+30
1E+30
1E+30
1E+30
1E+30
0
0
0
0
0
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
0
0
0
0
0
0
终值 阴影价格 约束限制值 允许的增量 允许的减量
8
9
4
4
8
9
0
0
5
0
$AA$11 实际值
$AA$12 实际值
$AA$13 实际值
$AA$14 实际值
$AA$15 实际值
$AA$16 实际值
$AA$17 实际值
$AA$18 实际值
$AA$19 实际值
$AA$20 实际值
$AA$21 实际值
$AA$22 实际值
9
7
2
1
1
5
10
11
6
6
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
9
7
2
1
1
5
10
11
6
6
1
3
0
1
4
1
1
0
4
0
0
5
1
0
1
0
5
1
0
0
5.8 某咨询公司受厂商的委托对新上市的产品进行消费反映调查。被调查对象分为上班族和休闲族，而调查时间在周一至周五与双休日得到的结果大不相同。委托厂商与该公司签订的业务合同规定：
（1）必须调查3000个消费对象；
（2）周一至周五与双休日被调查的总人数相等；
（3）至少要调查1200个上班族对象；
（4）至少要调查800个休闲族对象。
调查每个对象所需费用如下表：
调查对象 周一至周五调查 双休日调查
上班族
休闲族
35
25
40
28
1、请建立该问题的线性规划数学模型，以确定在不同时间调查各种对象的人数，使得总的调查费用为最少。
2、求解该模型，并对结果进行灵敏度分析。
解：1、（1）确定决策变量
设x1为上班族周一至周五调查人数；
x2为上班族双休日调查人数；
x3为休闲族周一至周五调查人数；
x4为休闲族双休日调查人数。
（2）确定函数
本问题的目标是总的调查费用为最少，而总的调查费用为：
35x1+40x2+25x3+28x4
所以目标函数为：
min 35x1+40x2+25x3+28x4
（3）确定约束条件
x1+x2+x3+x4≥3000 必须调查3000个消费对象;
x1-x2+x3-x4=0 周一至周五与双休日被调查的总人数相等；
x1+x2≥1200 至少要调查1200个上班族对象；
x3+x4≥800 至少要调查800个休闲族对象。
所得线性规划数学模型：
min 35x1+40x2+25x3+28x4
S.T. x1+x2+x3+x4≥3000
x1-x2+x3-x4=0
x1+x2≥1200
x3+x4≥800
x1，x2，x3，x4≥0
代入线性规划求解模板得结果：
其调查方案如下表：
调查对象 周一至周五调查 双休日调查
上班族
休闲族
1200
300
0
1500
按此方案的调查费用为最少：91500元。
灵敏度分析报告：
可变单元格
单元格
$C$34
$D$34
$E$34
$F$34
约束
单元格
名字
x1
x2
x3
x4
名字
终值 递减成本 目标式系数 允许的增量 允许的减量
1200
0
300
1500
0
2
0
0
35
40
25
28
2
1E+30
10
2
10
2
2
53
终值 阴影价格 约束限制值 允许的增量 允许的减量
26.5
-1.5
10
0
3000
0
1200
800
1E+30
3000
300
1000
600
600
1200
1E+30
$R$11 实际值 3000
$R$12 实际值 0
$R$13 实际值 1200
$R$14 实际值 1800
即：
目标函数最优值为 : 91500
变量 最优解 相差值
x1 1200 0
x2 0 2
x3 300 0
x4 1500 0
约束 松弛/剩余变量 对偶价格
1 0 -26.5
2 0 1.5
3 0 -10
4 1000 0
目标函数系数范围 :
变量 下限 当前值 上限
x1 25 35 37
x2 38 40 无上限
x3 23 25 35
x4 -25 28 30
常数项数范围 :
约束 下限 当前值 上限
1 2400 3000 无上限
2 -600 0 3000
3 0 1200 1500
4 无下限 800 1800
5.9 西兰物业公司承担了正大食品在全市92个零售点的肉类、蛋品和蔬菜的运送业务。运送业务要求每天4点钟开始从总部发货，送完货时间必须在7：30前结束（不考虑空车返回时间）。这92个零售点每天需要运送货物0.5吨，其分布情况为：5公里以内为A区，有36个点，从总部到该区的时间为20分钟；10公里以内5公里以上的为B区，有26个点，从总部到该区的时间为40分钟；10公里以上的为C区，有30个点，从总部到该区的时间为60分钟；A区各点间运送时间5分钟；B区各点间运送时间10分钟；C区各点间运送时间20分钟；各区之间运送时间20分钟。每点卸货、验收时间为30分钟。本公司准备购买规格为2吨的运送车辆，每车购价5万元。
请用线性规划方法确定每天的运送方案，使投入的购买车辆总费用为最少。
解：由于每天运送货物的总时间为210分钟，因此每种车辆的可能路线是有限的，我们先用穷举法将它们都找出来。（因为载满一车货可以运送几个点，而各点间的运送时间短，所以只考虑一个车每天只运送一趟）
对于2吨车的可能路线：
路线
A
B
C
1
4
0
0
2
3
1
0
3
3
0
1
4
2
2
0
5
2
1
1
6
2
0
2
7
1
2
1
8
1
1
2
9
1
3
0
10
0
4
0
11
0
3
1
12
0
2
2
运送时间
155 170 170 175 185 185 190 200 180 190 200 210
1、 确定决策变量
设各种可能的运输方案运输次数为xi，i=1,2…….12.
2、 确定目标函数
本问题的目标是使投入的购买车辆总费用为最少，而实际上总的运输时间为最少时，也就确定了最少的车辆数量，本问题最少的运输时间为：
155x1+170x2+170x3+175x4+185x5+185x6+190x7+200x8+180x9+190x10+200x11+210x12
3、 确定约束条件
根据上表所述，可以得以下三个约束关系：
4x1+3x2+3x3+2x4+2x5+2x6+x7+x8+x9+0x10+0x11+0x12≥36 A区运量
0x1+1x2+0x3+2x4+1x5+0x6+2x7+1x8+3x9+4x10+3x11+2x12≥26 B区运量
0x1+0x2+1x3+0x4+1x5+2x6+ x7+2x8+0x9+0x10+ x11+2x12≥30 C区运量
得线性规划数学模型：
min z =155x1+170x2+170x3+175x4+185x5+185x6+190x7+200x8+180x9+190x10+200x11+210x12
S.T. 4x1+3x2+3x3+2x4+2x5+2x6+x7+x8+x9+0x10+0x11+0x12≥36
0x1+1x2+0x3+2x4+1x5+0x6+2x7+1x8+3x9+4x10+3x11+2x12≥26
0x1+0x2+1x3+0x4+1x5+2x6+ x7+2x8+0x9+0x10+ x11+2x12≥30
代入线性规划求解模板得结果：
即整理如下表：
路线
结果
A
B
C
1
0
4
0
0
2
0
3
1
0
3
0
3
0
1
4
0
2
2
0
5
0
2
1
1
6
15
2
0
2
7
0
1
2
1
8
0
1
1
2
9
6
1
3
0
10
2
0
4
0
11
0
0
3
1
12
0
0
2
2
运送时间
155 170 170 175 185 185 190 200 180 190 200 210
最少的运输时间4235小时。需要车辆23台，最小的购车费用23*5=115万元。
灵敏度分析报告：
可变单元格
单元格
$C$34
$D$34
$E$34
$F$34
$G$34
$H$34
$I$34
$J$34
$K$34
$L$34
$M$34
$N$34
约束
单元格
$R$11
名字
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
x11
x12
名字
实际值
终值 递减成本 目标式系数
0
0
0
0
0
15
0
0
6
2
0
0
5
10
2.5
5
7.5
0
2.5
5
0
0
2.5
5
155
170
170
175
185
185
190
200
180
190
200
210
允许的增量
1E+30
1E+30
1E+30
1E+30
1E+30
5
1E+30
1E+30
1.25
1.666666667
1E+30
1E+30
允许的增量
2.666666667
允许的减量
5
10
2.5
5
7.5
110
2.5
5
2.5
1.666666667
2.5
5
允许的减量
6
终值 阴影价格 约束限制值
36 37.5 36
$R$12
$R$13
实际值
实际值
26
30
47.5
55
26
30
1E+30
6
8
2.666666667
即：
目标函数最优值为 : 4235
变量 最优解 相差值
x1 0 5
x2 0 10
x3 0 2.5
x4 0 5
x5 0 7.5
x6 15 0
x7 0 2.5
x8 0 5
x9 6 0
x10 2 0
x11 0 2.5
x12 0 5
约束 松弛/剩余变量 对偶价格
1 0 -37.5
2 0 -47.5
3 0 -55
目标函数系数范围 :
变量 下限 当前值 上限
x1 150 155 无上限
x2 160 170 无上限
x3 167.5 170 无上限
x4 170 175 无上限
x5 177.5 185 无上限
x6 75 185 190
x7 187.5 190 无上限
x8 195 200 无上限
x9 177.5 180 181.25
x10 188.333 190 191.667
x11 197.5 200 无上限
x12 205 210 无上限
常数项数范围 :
约束 下限 当前值 上限
1 30 36 38.667
2 18 26 无上限
3 27.333 30 36
这里从对偶价格可见，A区每增加一个点，需要增加投入37.5分钟；B区每增加一个点，需要增加投入47.5分钟；C区每增加一个点，需要增加投入55分钟。这完全符合实际。
若直接用购车数量最少做为目标可将线性规划数学模型改为：
min z =x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12
S.T. 4x1+3x2+3x3+2x4+2x5+2x6+x7+x8+x9+0x10+0x11+0x12≥36
0x1+1x2+0x3+2x4+1x5+0x6+2x7+1x8+3x9+4x10+3x11+2x12≥26
0x1+0x2+1x3+0x4+1x5+2x6+ x7+2x8+0x9+0x10+ x11+2x12≥30
代入线性规划求解模板得结果：
即整理如下表：
路线
结果
A
B
C
1
1.5
4
0
0
2
0
3
1
0
3
0
3
0
1
4
0
2
2
0
5
0
2
1
1
6
15
2
0
2
7
0
1
2
1
8
0
1
1
2
9
6.5
1
3
0
10
0
0
4
0
11
0
0
3
1
12
0
0
2
2
运送时间
155 170 170 175 185 185 190 200 180 190 200 210
即需要车辆23台，最小的购车费用23*5=115万元。
但车辆台数为非整数，这是不合理的，但要去尾取整或四舍五入也都肯定不合理。所以对这类问题这种方法还是有局限性。好则线性规划有专门处理这类问题的方法------整数规划。若用整数规划得以下结果：
即整理如下表：
路线
结果
A
B
C
1
2
4
0
0
2
0
3
1
0
3
0
3
0
1
4
0
2
2
0
5
0
2
1
1
6
14
2
0
2
7
0
1
2
1
8
0
1
1
2
9
0
1
3
0
10
6
0
4
0
11
0
0
3
1
12
1
0
2
2
运送时间
155 170 170 175 185 185 190 200 180 190 200 210
即需要车辆23台，最小的购车费用23*5=115万元。
5.10 某公司生产A、B、C、D四种规格的电子产品，这四种产品可以分别在五个不同的生产车间单独制造，这五个车间单独制造一件产品所需要时间、各车间可提供的总可制造时间及每件产品的利润如下表：
产品型号
A
B
C
D
所需时间（分钟）
车间1 车间2 车间3 车间4 车间5
5
8
-
5
6
3
6
-
18000
4
-
2
3
16000
2
3
4
4
14000
3
4
-
2
15000
单件利润（元）
20
18
24
30
可提供的总时间
20000
该公司销售人员提供信息：
（1） 产品A的销售数量不会超过1500件；
（2） 产品B的销售数量在500-900件之间；
（3） 产品C销售数量不会超过6000件；
（4） 产品D至少能销售800件，在此基础，生产多少能销售多少。
请制定一个生产方案，使得该公司的总利润为最大。
解：
1、 确定决策变量
分别设产品A、B、C、D的产量为x1、x2、x3、x4。
2、 确定目标函数
本问题的目标是使得该公司的总利润为最大，而总利润为20x1+18x2+24x3+30x4。
所以目标函数为：
Max Z= 20x1+18x2+24x3+30x4
3、 确定约束条件
时间限制：
5x1+8x2+5x4≤20000
6x1+3x2+6x3≤18000
4x1+2x3+3x4≤16000
2x1+3x2+4x3+4x4≤14000
3x1+4x2+2x4≤15000
产量限制：
x1≤1500 产品A的销售数量不会超过1500件
x2≤900
x2≥500 产品B的销售数量在500-900件之间
x3≤6000 产品C销售数量不会超过6000件
x4≥800 产品D至少能销售800件
所以得本问题的线性规划数学模型：
Max Z= 20x1+18x2+24x3+30x4
5x1+8x2+5x4≤20000
6x1+3x2+6x3≤18000
4x1+2x3+3x4≤16000
2x1+3x2+4x3+4x4≤14000
3x1+4x2+2x4≤15000
x1≤1500
x2≤900
x2≥500
x3≤6000
x4≥800
x1、x2、x3、x4 ≥0
用求解模型板求得结果：
即：安排产品A、B、C、D的产量分别为1050、900、1500、800件，使得最多的利润为97200元。
可变单元格
单元格
$C$34
$D$34
$E$34
$F$34
约束
单元格
$R$11
$R$12
$R$13
$R$14
$R$15
$R$16
$R$17
$R$18
$R$19
$R$20
名字
x1
x2
x3
x4
名字
实际值
实际值
实际值
实际值
实际值
实际值
实际值
实际值
实际值
实际值
终值
1050
900
1500
800
终值
16450
递减成本 目标式系数
0
0
0
0
20
18
24
30
允许的增量
4
1E+30
4
1E+30
允许的增量
1E+30
1350
1E+30
2100
1E+30
1E+30
338.0952381
400
1E+30
225
允许的减量
8
4
4
22
允许的减量
3550
3150
7600
900
6650
450
400
1E+30
4500
525
递减成本 目标式系数
0 20000
18000
16000
14000
15000
1500
900
500
6000
800
18000 2.666666667
8400
14000
8350
1050
900
900
1500
800
0
2
0
0
4
0
0
22
即：
目标函数最优值为 : 97200
变量 最优解 相差值
x1 1050 0
x2 900 0
x3 1500 0
x4 800 0
约束 松弛/剩余变量 对偶价格
1 3550 0
2 0 2.667
3 6400 0
4 0 2
5 6650 0
6 450 0
7 0 4
8 400 0
9 4500 0
10 0 22
目标函数系数范围 :
变量 下限 当前值 上限
x1 12 20 24
x2 14 18 无上限
x3 20 24 28
x4 8 30 无上限
常数项数范围 :
约束 下限 当前值 上限
1 16450 20000 无上限
2 14850 18000 19350
3 9600 16000 无上限
4 13100 14000 16100
5 8350 15000 无上限
6 1050 1500 无上限
7 500 900 1238.095
8 无下限 500 900
9 1500 6000 无上限
10 275 800 1025
更多推荐
产品,目标,安排,需要
发布评论