高一数学讲义幂函数

2024年3月19日发(作者：数学试卷编排软件有哪些)

幂函数

知能点全解：

一、定义：一般地，我们把形如

yx

a



aR



的函数叫做幂函数，其中

a

为常数。

二、性质：

1、所有的幂函数在



0,



都有定义，并且图像都通过点



1,1



；

2、如果

a0

，则幂函数的图像经过原点，并且在区间



0,



上为增函数；如果

a0

，则幂函

数的图像不经过原点，并且在区间



0,



上为增函数

3、幂函数的图像及其奇偶性：

q

令

a



（p、q互质）

p

p、q是奇数

a



0

0



a



1

a



1

yx

（p、

p是奇数、q是偶数

q互质）

p是偶数、q是奇数

yx

q

p

yx

0

三、如右图

a,b,c,d,e,f

的大小关系为：

abcdef

1

典型题型全解

题型一：幂函数的基本概念和性质的辨析

及时演练：

1、下列函数中，定义域和值域不同的是（ ）

A、

yx

B、

yx

C、

yx

D、

yx

2、下列命题中正确的是（ ）

A、当

n0

时，函数

yx

n

的图像是一条直线 B、幂函数的图像都经过点



0,0



,



1,1



C、幂函数的图像不可能出现在第四象限

D、若幂函数

yx

n

是奇函数，则

yx

n

在其定义域上一定是增函数

3、下列函数中，不是幂函数的是（ ）

A、

yx

B、

yx

3

C、

y2

x

D、

yx

1

4、下列函数中，定义域为

R

的是（ ）

A、

yx

B、

yx

3

C、

y2

x

D、

yx

1

5、若



x1





2

1

3

1

2

5

3

2

3

3

2

1

3

有意义，则

x

。

的定义域为 。

1x

2

3

6、

f



x



x

m

1

2x

m1

7、值域是



0,



的函数是（ ）



1



A、

y5

B、

y





3



题型二 ：幂函数的图像

C、

y12

D、

yx

x

例 1：

右图中是幂函数

yx

n

在第一象限的图像，已知

n

取

2,

1

四个值，则相应于曲线

2

C

1

,C

2

,C

3

,C

4

的

n

依次为（ ）

1111

A、

2,,,2

B、

2,,,2

2222

1111

C、

,2,2,

D、

2,,2,

2222

及时演练：

1、将

yx,yx,yx,yx,yx,yx,yx

2

,yx

1

填入对应图像下面。

2

1

2

32



1

2

1

3

2、

yx

（

m

为不为零的偶数，

n

为奇数，且

mn0

），那么它的大致图像是（ ）

（A） （B） （C） （D）

1

3、在同一坐标系内，函数

yx

a

（

a0

）和

yax

的图像应是（ ）

a

（A） （B） （C） （D）

4、函数

yx

（A）

m

n



1

n

n

m

（ ）



nN,n2



的图像大致形状是：

（B） （C） （D）

5、幂函数

yx

（

m

、

n

为互质的正整数）图像如图，则

m

、

n

之间的关系为（ ）

m

m

A、

m

、

n

为奇数，

01

B、

n

为奇数，

m

为偶数，

1

n

n

mm

C、

n

为奇数，

m

为偶数，

01

D、

n

为偶数，

m

为奇数，

01

nn

6、函数

yx

与

yx

的图像关于 对称。

7、使

x

2

x

3

成立的

x

的取值范围为 。

8、如果幂函数

yx

a

的图像，当

0x1

时，在直线

yx

上方，那么

a

的取值范围为 。

9、幂函数

yx

p

与

yx

q

的图像都经过定点 ，若它们在第一象限部分关于直线

yx

对称，

则

p,q

应满足的条件是 。

题型三 ：函数值的大小比较

例 2 ：比较下列各组数的大小

3





1



2







53

（1）

3

和

3.1

；（2）

8

和





；（3）







和







； （4）

4.1,3.8

和



1.9



5



9



3



6



3



2

3



2

7



8

7

8



2

3



2

3

3

1

3

22

解：（1）函数

yx

在



0,



上为减函数，又

33.1

，所以

3

（2）

8

7

8

7



8

7

8



3

2



3

2



3.1

。

7

8

7

8



3

2

11



1



1



1







，函数

yx

在



0,



上为增函数，又



，则







，所以

89



8



8



9



7

8

7

8



1



1











。



8



9



3



2



（3）









3





2

3



2









3





2

3



3











,









2



6







2

3

2

3



2

3













6







2

3



6







，函数

yx

3

在



0,



上为增函数，









2

3

2

3

2

又

36



3



6



2





，则







，所以







2





2







3



2

5

2

5



2

3

2

3















。



6



2

5



2

3

（4）

4.111,

3.81



2

3

1

，



1.9



0

；所以

4.13.8

3

5





1.9



。

3

5

及时演练：

1、比较下列各组数的大小

（1）



a1



a

（

a0

）； （2）

0.2

0.3

； （3）

0.3

0.4

0.4

0.3

1.5

1.5



2

3



2

3

2、

a



1.2



,b1.1,c0.9

，则它们的大小关系为 。



3



3



3



3、

a



,b



,c



，则它们的大小关系为 。



4



4



2





1

3



1

4



1

4

2

3

2

3

3

4

4、已知

0a1

，则

a

a



a

a



。

a

题型四 ：综合运用

及时演练：



1



1、已知幂函数的图像经过

P



8,



，求这个函数的解析式，并判断其奇偶性。



4



2、已知幂函数

f



x



x

m

2

2m3



mZ



为偶函数且在区间



0,



上是减函数。

b

xf



x



的奇偶性。 （1）求

f



x



的解析式； （2）讨论





x



af



x





4