2023年12月2日发(作者：2022连云港数学试卷)
20一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有2一项是符合题目要求的。
2
（5 分）若 z＝﹣1+ i，则＝（ ）
年全i A．﹣1+ B．﹣1﹣ i C．﹣ + i D．﹣ ﹣ i
国（5 分）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取 10
统位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这 10 位社区居民一在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图：
高
考
数
学
试
卷
（
（甲卷）
则（
）
A.
讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 70%
B.
讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 85%
C.
讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D.
讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
（5 分）设全集 U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合 A＝{﹣1，2}，B＝{x|x2﹣4x+3＝0}，则∁U（A∪B）＝（
A．多面体的体积为（
{1
，）
）
第 1页（共 26页）
3}
A．8 B．12
﹣C．16
，D．20
） （5 分）函数 y＝（3x﹣3x）cosx 在区间[﹣]的图像大致为（
A．
B．
C．
D．
第 2页（共 26页） （5 分）当 x＝1 时，函数 f（x）＝alnx+取得最大值﹣2，则 f′（2）＝（
A．均为 30°，则（
﹣）
）
A．AB＝2AD
1
B．AB 与平面 AB1C1D 所成的角为 30° C．AC＝BCB1
．﹣D．
圆术”．如图，B⊥1是以 O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是 AB 的中点，D 在上，CD
“会圆术”给出 的弧长的近似值 s 的计算公式：s＝AB+．当 OA＝2，∠AOB
D
＝60°时，s＝（ ）
与
平
面
（2π，侧面积分别为 S
5 分）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为
B
甲和 S
乙，体积分别为 V
甲和 V
乙．若 ＝2，则 ＝（ ）
BA
1
C
．1
轴对称．若直线 AP，AQ 的斜率之积为，则 C 的离心率为（ ）
C
B． C． D．
A．
所
成C
．
的
角
为
第 3页（共 26页） （5 分）设函数 f（x）＝sin（ωx+ω的取值范围是（
A．（5[ 分）已知 a＝）
）在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，则
，b＝cos，c＝4sin，则（ ）
D．a＞c＞b A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c
，
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
（5 分）设向量 ， 的夹角的余弦值为，且| |＝1，| |＝3，则（2 + ）• ＝
）
（5B 分）若双曲线 y2﹣＝1（m＞0）的渐近线与圆 x2+y2﹣4y+3＝0 相切，则 m＝
．（5[ 分）从正方体的 8 个顶点中任选 4 个，则这 4 个点在同一个平面的概率为
（5 分）已知△ABC 中，点 D 在边 BC 上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD．当，最小值时，BD＝ ．
．
．
．
取得三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，）每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题： 共 60 分。
（（12 分）记 Sn 为数列{an}的前 n 项和．已知+n＝2an+1．
（1）
证明：{an}是等差数列；
，（2）
若 a4，a7，a9
成等比数列，求 Sn 的最小值．
]12 分）在四棱锥 18．（P﹣ABCD 中，PD⊥底面 ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB
＝2，DP＝．
（，]
（1）
证明：BD⊥PA；
（2）
求 PD 与平面 PAB 所成的角的正弦值．
第 4页（共 26页） （12 分）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得 10 分，负方得 0 分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
（1）
求甲学校获得冠军的概率；
（2）
用 X 表示乙学校的总得分，求 X 的分布列与期望．
（12M，N 两点．当直线 MD 垂直于 x 轴时，|MF|＝3．
C 的方程；
分（1）
求
）（2）
设直线 MD，ND 与 C 的另一个交点分别为 A，B，记直线 MN，AB 的倾斜角分别为设抛α，β．当α﹣β取得最大值时，求直线 AB 的方程．
物线（f（x）＝﹣lnx+x﹣a．
12 分）已知函数
C（1）
若 f（x）≥0，求 a 的取值范围；
：
y（2）
证明：若 f（x）有两个零点 x1，x2，则 x1x2＜1．
2＝（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的2p第一题计分。[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
x
（22（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1
的参数方程为 （t 为参数），曲线
p．
＞
0）C的2焦
的点（1）
写出 C1
的普通方程；
为参（2）
以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C3
的极坐标方程为 2cosθ
数F方程sinθ＝0，求 C3
与 C1
交点的直角坐标，及 C3
与 C2
交点的直角坐标．
，﹣点为[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
第 5页（共 26页）
D（（sp
为，过 F 的直线交 C 于
．
23.
已知 a，b，c 均为正数，且 a2+b2+4c2＝3，证明：
（1）a+b+2c≤3；
（2）若 b＝2c，则 + ≥3．
第 6页（共 26页） 20参考答案与试题解析
2一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有2
一项是符合题目要求的。
年（5 分）若 z＝﹣1+ i，则＝（ ）
全国i A．﹣1+ B．﹣1﹣ i C．﹣ + i D．﹣ ﹣ i
统【分析】由已知求得 ，代入 ，则答案可求．
一高【解答】解：∵z＝﹣1+ i，∴ ＝4，
考则 ＝ ．
数学故选：C．
试
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
卷
（5 分）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取 10
（（甲卷）
位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这 10 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图：
则（
）
A.
讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 70%
B.
讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 85%
第 7页（共 26页） C.
讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D.
讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
【分析】对于 A，求出讲座前问卷答题的正确率的中位数进行判断；对于 B，求出讲座后问卷答题的正确率的平均数进行判断；对于 C，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，进行判断；对于 D，求出讲座后问卷答题的正确率的极差和讲座前正确率的极差，由此判断 D．
【解答】解：对于 A，讲座前问卷答题的正确率从小到大为：
60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，
∴讲座前问卷答题的正确率的中位数为：（70%+75%）/2＝72.5%，故 A 错误；对于
B，讲座后问卷答题的正确率的平均数为：
（80%+85%+85%+85%+85%+90%+90%+95%+100%+100%）＝89.5%＞85%，故 B 正
确；
对于 C，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，
∴讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故 C 错误；
对于 D，讲座后问卷答题的正确率的极差为：100%﹣80%＝20%，
讲座前正确率的极差为：95%﹣60%＝35%，
∴讲座后问卷答题的正确率的极差小于讲座前正确率的极差，故 D 错误． 故选：B．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查散点图、中位数、平均数、标准差、极差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（5 分）设全集 U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合 A＝{﹣1，2}，B＝{x|x2﹣4x+3＝0}，则∁U（A∪B）＝（
A．{1，3}
）
B．{0，3} C．{﹣2，1} D．{﹣2，0}
【分析】求解一元二次方程化简 B，再由并集与补集运算得答案．
【解答】解：∵B＝{x|x2﹣4x+3＝0}＝{1，3}，A＝{﹣1，2}，
∴A∪B＝{﹣1，1，2，3}，
又 U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，
∴∁U（A∪B）＝{﹣2，0}．
第 8页（共 26页） 故选：D．
【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．
（5 分）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为 1，则该多面体的体积为（ ）
A．8
B．12 C．16 D．20
【分析】由多面体的三视图得该多面体是一正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1，四棱柱的底面是直角梯形 ABCD，AB＝4，AD＝2，AA1＝2，AA1⊥平面 ABCD，由此能求出该多面体的体积．
【解答】解：由多面体的三视图得该多面体是一正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1，
四棱柱的底面是直角梯形 ABCD，如图，
AB＝4，AD＝2，AA1＝2，AA1⊥平面 ABCD，
∴该多面体的体积为：
V＝
故选：B．
＝12．
【点评】本题考查多面体的体积的求法，考查多面体的三视图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
（5 分）函数 y＝（3x﹣3x）cosx 在区间[﹣
﹣， ]的图像大致为（ ）
第 9页（共 26页）
A．
B．
C．
D．
【分析】判断函数的奇偶性，结合函数的特殊值判断点的位置，推出选项即可．
【解答】解：f（x）＝（3x﹣3x）cosx，
可当 x＝1 时，f（1）＝（3﹣31）cos1＞0，排除 C． 故知选：A．
﹣﹣【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的图象的判断，是中档题．
f（5 分）当 x＝1 时，函数 f（x）＝alnx+ 取得最大值﹣2，则 f′（2）＝（
（﹣x）
）＝（3第 10页（共 26页） A．﹣1
【B．﹣ C． D．1
分【解答】解：由题意 f（1）＝b＝﹣2，则 f（x）＝alnx﹣，
析 则f′（x）＝ ，
】∵当 x＝1 时函数取得最值，可得 x＝1 也是函数的一个极值点，
由∴f′（1）＝a+2＝0，即 a＝﹣2．
已∴f′（x）＝ ，
知易得函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 故 x求＝1 处，函数取得极大值，也是最大值，
得
则 f′（2）＝
b故选：B．
．
，【点评】本题考查导数的应用，考查导数最值与极值的关系，考查运算求解能力，是中再档题．
由（5 分）在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1
中，已知 B1D 与平面 ABCD 和平面 AA1B1B 所成的角均题为 30°，则（
意A．AB＝2AD
）
可B．AB 与平面 AB1C1D 所成的角为 30° C．AC＝得CB1
．B1D 与平面 BB1C1C 所成的角为 45°
Df【分析】不妨令 AA1＝1，可根据直线与平面所成角的定义，确定长方体的各棱长，即可′求解．
（【解答】解：如图所示，连接 AB1，BD，不妨令 AA1＝1，
1）＝0
求得第 11页（共 26页）
a， 在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1
中，AD⊥面 AA1B1B，BB1⊥面 ABCD，
所以∠B1DB 和∠DB1A 分别为 B1D 与平面 ABCD 和平面 AA1B1B 所成的角，
即∠B1DB＝∠DB1A＝30°，
所以在 Rt△BDB1
中，BB1＝AA1＝1，Rt△ADB1
中，DB1＝2，所以 AB＝， ， ， 故，
， 在
选项 A，C 错误，
由图易知，AB 在平面 AB1C1D 上的射影在 AB1
上，
所以∠B1AB 为 AB 与平面 AB1C1D 所成的角，
在 Rt△ABB1
中， ，
故选项 B 错误，
如图，连接 B1C，
则 B1D 在平面 BB1C1C 上的射影为 B1C，
所以∠DB1C 为 B1D 与平面 BB1C1C 所成的角，
在 Rt△DB1C 中， ＝DC，所以∠DB1C＝45°，
第 12页（共 26页） 所以选项 D 正确，
故选：D．
【点评】本题考查了直线与平面所成角，属于中档题．
（5 分）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，⊥
是以 O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是 AB 的中点，D 在上，CD
＝60°时，s＝（“会圆术”给出
）
的弧长的近似值 s 的计算公式：s＝AB+．当 OA＝2，∠AOB
A． B． C．
得答案．
D．
【分析】由已知求得 AB 与 CD 的值，代入 s＝AB+
【解答】解：∵OA＝OB＝2，∠AOB＝60°，∴AB＝2，
∵C 是 AB 的中点，D 在 上，CD⊥AB，
∴延长 DC 可得 O 在 DC 上，CD＝OD﹣OC＝2﹣∴s＝AB+ ＝2+
． 故选：B．
【点评】本题考查扇形及其应用，考查运算求解能力，是基础题．
，
＝2+ ＝
（5 分）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 2π，侧面积分别为 S
甲和 S
乙，体积分别为 V
甲和 V
乙．若 ＝2，则 ＝（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】设圆的半径（即圆锥母线）为 3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为 r1，r2，高分别为 h1，h2，则可求得 r1＝2，r2＝1，
第 13页（共 26页）
，进而求得体积之比． 【解答】解：如图，
甲，乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆，设圆的半径（即圆锥母线）为 3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为 r1，r2，高分别为 h1，h2，
则 2πr1＝4π，2πr2＝2π，解得 r1＝2，r2＝1，
由勾股定理可得 ，
∴ ．
故选：C．
【点评】本题考查圆锥的侧面积和体积求解，考查运算求解能力，属于中档题．
（5 分）椭圆 C： + ＝1（a＞b＞0）的左顶点为 A，点 P，Q 均在 C 上，且关于 y
轴对称．若直线 AP，AQ 的斜率之积为，则 C 的离心率为（ ）
A． B． C．
【分
析【】
解设kAQ＝ ，
答P】（x解0
，：第 14页（共 26页）
，已则
D． 故 kAP•kAQ＝ • ＝ ＝ ①，
∵ + ＝1，即 ＝ ②，
②代入①整理得： ＝ ，
e＝ ＝ ＝
． 故选：A．
【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，是基础题．
（5 分）设函数 f（x）＝sin（ωx+ω的取值范围是（ ）
）在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，则
A．[【分析】由题意，利用正弦函数的极值点和零点，求得ω的取值范围．
【解答】解：当ω＜0 时，不能满足在区间（0，π）极值点比零点多，所以ω＞0；
，函数 f（x）＝sin（ωx+）在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，
ω）x
∴
+B＜ωπ+ ≤3π，
．求得 ＜ω≤ ，
[∈故选：C．
（
，【点评】本题主要考查正弦函数的极值点和零点，属于中档题．
（5， 分）已知 a＝ω）πA．c＞b＞a
+【（分，
，析]】
构（，]
第 15页（共 26页）
，b＝cos，c＝4sin，则（
B．b＞a＞c
）
D．a＞c＞b C．a＞b＞c
造函数【解故 g（x）在（0，1）单调递增，即 g（x）＞g（0）＝0， 即
答f】′解所以 f（）＞f（0）＝0，可得 cos，故 b＞a，
：（设利用三角函数线可得x ）时，tanx＞x，
x
）f（∴＞tan ＞ ，即
x0上：c＞b＞a，
），∴4sin ，故 c＞b． 综，＝故选：A．
c故【点评】本题考查了三角函数不等式的证明与应用，考查了运算能力，属难题．．二、o
s填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
xf+（5 分）设向量 ， 的夹角的余弦值为，且| |＝1，| |＝3，则（2 + ）• ＝ 11 ．
（0，1）单调递增，
【分析】首先计算
（0【解答】解：由题意可得
＜x则
，故答案为：11．
则
的值，然后结合向量的运算法则可得所给式子的值．
，
．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积的定义，平面向量的运算法则等知识，属于中f等题．
′（x【分析】求出渐近线方程，求出圆心与半径，利用点到直线的距离等于半径求解即可．
）＝【解答】解：双曲线 y2﹣x＝1（m＞0）的渐近线：x＝±my， 圆
（5若
双曲线
y﹣x2+y2﹣4y+3＝0 的圆心（0，2）与半径 1，
s2
﹣i双曲线 y2﹣ ＝1（m＞0）的渐近线与圆 x2+y2﹣4y+3＝0 相切，
nx＝1（m
的渐近线与，设
g（x）＝第 16页（共 26页） ＝1，解得 m＝，m＝﹣ 舍去．
故答案为： ．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的判断，是中档题．
（5 分）从正方体的 8 个顶点中任选 4 个，则这 4 个点在同一个平面的概率为 ．
【分析】根据题意，由组合数公式计算“从正方体的 8 个顶点中任选 4 个”的取法，分析其中“4 个点在同一个平面”的情况，由古典概型公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，从正方体的 8 个顶点中任选 4 个，有 C＝70 种取法，
若这 4 个点在同一个平面，有底面 2 个和侧面 4 个、对角面 6 个，一共有 12 种情况， 则这 4 个点在同一个平面的概率 P＝故答案为： ．
＝ ；
【点评】本题考查古典概型的计算，涉及正方体的几何结构，属于基础题．
（5 分）已知△ABC 中，点 D 在边 BC 上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD．当最小值时，BD＝ ．
＝
取得【分析】首先设出 BD ， CD ， 在两个三角形中分别表示 AC ， BC ， 继而，从而利用均值不等式取等号的条件即可．
【解答】解：设 BD＝x，CD＝2x，
在三角形 ACD 中，b2＝4x2+4﹣2•2x•2•cos60°，可得：b2＝4x2﹣4x+4，
在三角形 ABD 中，c2＝x2+4﹣2•x•2•cos120°，可得：c2＝x2+2x+4，
要使得 最小，即 最小，
，
其中
当且仅当
，此时
时，即
，
时取等号，
第 17页（共 26页） 故答案为：
．
【点评】本题主要考查余弦定理及均值不等式的应用，属于中档题．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题： 共 60 分。
（12 分）记 Sn 为数列{an}的前 n 项和．已知（1）
证明：{an}是等差数列；
（2）
若 a4，a7，a9
成等比数列，求 Sn 的最小值．
+n＝2an+1．
【分析】（1）由已知把 n 换为 n+1 作差可得递推关系从而证明，
（2）由 a4，a7，a9
成等比数列，求出首项，利用等差数列通项公式找出 an 正负分界点计算即可．
【解答②﹣①可得：2an+1＝2（n+1）an+1﹣2nan﹣2n， 整（1）证明：由已知有：理得：an+1＝an+1，
⋯①，把 n 换成 n+1，由等差数列定义有{an}为等差数列；
⋯②，
（所以 an＝﹣12+（n﹣1）×1＝n﹣13，
2故可得：a1＜a2＜a3＜⋯＜a12＜0，a13＝0，a14＞0，
）故Sn 在 n＝12 或者 n＝13 时取最小值，由
Sn 的最小值为﹣78．
已【点评】本题主要考查利用数列递推关系求通项及等差数列前 n 项和的最小值，属于中知档题．
有18．（P﹣ABCD 中，PD⊥底面 ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB
12 分）在四棱锥
＝2，DP＝
， 故
．
，（1）
证明：BD⊥PA；
设（2）
求 PD 与平面 PAB 所成的角的正弦值．
等差数
列
a第 18页（共 26页） 【分析】（1）易知 PD⊥BD，取 AB 中点 E，容易证明四边形 BCDE 为平行四边形，再根据长度关系可得 BD⊥AD，进而得证；
（2）建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，再求出平面 PAB 的法向量，利用向量的夹角公式即可得解．
【解答】解：（1）证明：∵PD⊥底面 ABCD，BD⊂面 ABCD，
∴PD⊥BD，
取 AB 中点 E，连接 DE，
∵AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，
∴∠DAB＝60°，又∵AE＝
∴DE＝1，∴DE＝ ，
AB＝AD＝1，
∴△ABD 为直角三角形，且 AB 为斜边，
∴BD⊥AD，
又 PD∩AD＝D，PD⊂面 PAD，AD⊂面 PAD，
∴BD⊥面 PAD，
又 PA⊂面 PAD，
∴BD⊥PA；
（2）由（1）知，PD，AD，BD 两两互相垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，
，
则
∴
，
，
设平面 PAB 的一个法向量为
， 则 ， 则可取
第 19页（共 26页） ，
设 PD 与平面 PAB 所成的角为θ，则，
∴PD 与平面 PAB 所成的角的正弦值为．
【点评】本题考查线面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角的正弦值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
（12 分）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得 10 分，负方得 0 分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
（1）
求甲学校获得冠军的概率；
（2）
用 X 表示乙学校的总得分，求 X 的分布列与期望．
【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式，可以求出甲学校获胜 2 场或者 3 场的概率， 可以得到甲学校获得冠军的概率；乙学校的总得分 X 的值可取 0，10，20，30，分别求出 X 取上述值时的概率，可得分布列与数学期望．
【解答】解：（1）甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 0.5，0.4，0.8，可以得到两个学校每场比赛获胜的概率如下表：
第一场比赛 第二场比赛 第三场比赛
甲学校获胜概率
乙学校获胜概率
0.5
0.5
0.4
0.6
0.8
0.2
甲学校要获得冠军，需要在 3 场比赛中至少获胜 2 场，
第 20页（共 26页） ①甲学校 3 场全胜，概率为：P1＝0.5×0.4×0.8＝0.16，
②甲学校 3 场获胜 2 场败 1 场，概率为：P2＝0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8
＝0.44，
所以甲学校获得冠军的概率为：P＝P1+P2＝0.6；
（2）乙学校的总得分 X 的可能取值为：0，10，20，30，其概率分别为：
P（X＝0）＝0.5×0.4×0.8＝0.16， P（X＝10）＝0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8＝0.44， P（X＝20）＝0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2＝0.34， P（X＝30）＝0.5×0.6×0.2＝0.06，
则 X 的分布列为：
X
P
0
0.16
10
0.44
20
0.34
30
0.06
X 的期望 EX＝0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06＝13．
【点评】本题考查随机变量的分布列与数学期望的计算，难度不大．
（12
分
）设抛物线
C：
y2M，N 两点．当直线 MD 垂直于 x 轴时，|MF|＝3．
（1）
求 C 的方程；
（2）
设直线 MD，ND 与 C 的另一个交点分别为 A，B，记直线 MN，AB 的倾斜角分别为α，β．当α﹣β取得最大值时，求直线 AB 的方程．
【分析】（1）由已知求得|MD|＝
＝2，则 C 的方程可求；
（2）设 M，N，A，B 的坐标，写出 tanα与 tanβ，再由三点共线可得
，|FD|＝ ，则在 Rt△MFD 中，利用勾股定理得 p
＝
2px（p＞0）的焦点为
F，点
由题意可知，直线 MN 的斜率不为 0，设 lMN：x＝my+1，联立直线方程与抛物线方程， 化为关于 y 的一元二次方程，利用根与系数的关系可得 y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，求得 tanβ
与 tanα，再由两角差的正切及基本不等式判断，从而求得 AB 的方程．
【解＝答 ．
（1）由题意可知，当 x＝p 时，y2＝2p2，得 yM＝p，可知|MD|＝p，|FD|
第 21页（共 26页） 则在 Rt△MFD 中，|FD|2+|DM|2＝|FM|2，得
C 的方程为 y2＝4x；
＝9，解得 p＝2． 则
（2）由设（
1M）（可x又N、D、B 三点共线，则 kND＝kBD，即 ，
1知，
，FN（∴ ，
（1x，2D，（，得y2y4＝﹣8，即 y4＝﹣；
2
A，则 tanα＝kMN＝
（x3同理由 M、D、A 三点共线，得 y3＝﹣．
则
，，Bβ＝ tan＝ ．
（x4由题意可知，直线 MN 的斜率不为 0，设 lMN：x＝my+1，
，，
由 ，得 y2﹣4my﹣4＝0，
，
y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，则 tanα＝，tanβ＝ ，
则
， tan（α﹣β）＝＝
当 m＞0 时，tan（α﹣β）＝
值，
∴当且仅当 2m＝，即 m＝此时 AB 的直线方程为 y﹣y3＝
≤ ＝ ；当 m＜0 时，tan（α﹣β）无最大
时，等号成立，tan（α﹣β）取最大值，
，即 4x﹣（y3+y4）y+y3y4＝0，
第 22页（共 26页） 又∵y3+y4＝﹣ ＝8m＝4 ，y3y4＝ ＝﹣16，
∴AB 的方程为 4x﹣4y﹣16＝0，即 x﹣y﹣4＝0．
【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，属难题．
（12 分）已知函数 f（x）＝
﹣lnx+x﹣a．
（1）
若 f（x）≥0，求 a 的取值范围；
（2）
证明：若 f（x）有两个零点 x1，x2，则 x1x2＜1．
【分析】（1）对函数求导研究其在定义域内单调性，由于函数在（0，+∞）恒大于等于
0，故 f（x）min＝f（1）＝e+1﹣a＞0，解出 a 的范围即可．
（2）首先将原不等式转化为证明
即 转 化 为 证 明
，再利用函数（ fx）在（1，+∞）单调递增 ，
⇔
证明其在（0，1）恒小于 0 即可．
， 继 而 构 造 函 数
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） f （ x ） 的 定 义 域 为 （ 0 ， + ∞ ） ，
，
f令 f′（x）＞0，解得 x＞1，故函数 f（x）在（0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增，故（x）min＝f（1）＝e+1﹣a，要使得 f（x）≥0 恒成立，仅需 e+1﹣a≥0，
故 a≤e+1，故 a 的取值范围是（﹣∞，e+1]；
（2）证明：由已知有函数 f（x）要有两个零点，故 f（1）＝e+1﹣a＜0，即 a＞e+1，
不妨设 0＜x1＜1＜x2，要证明 x1x2＜1，即证明∵0＜x1＜1，∴ ，
，又因为 f（x）在（1，+∞）单调递增， 即 ⇔
，0＜x＜1，
，
，
即证明：
证明：
构造函数
第 23页（共 26页）
＝ ，
构造函数 m（x）＝
，
，因为 0＜x＜1，所以，
故 m′（x）＞0 在（0，1）恒成立，故 m（x）在（0，1）单调递增， 故
m（x）＜m（1）＝0
又因为 x﹣1＜0，故 h′（x）＞0 在（0，1）恒成立，故 h（x）在（0，1）单调递增， 又因为 h（1）＝0，故 h（x）＜h（1）＝0，
故 ，即 x1x2＜1．得证．
【点评】本题主要考查利用导函数研究函数单调性，即构造函数证明不等式恒成立问题， 属于较难题目．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1
的参数方程为 （t 为参数），曲线
C
2
的（1）
写出 C1
的普通方程；
参数（2）
以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C3
的极坐标方程为 2cosθ
方﹣程sinθ＝0，求 C3
与 C1
交点的直角坐标，及 C3
与 C2
交点的直角坐标．
为【分析】（1）消去参数 t，可得 C1
的普通方程；
（（2）消去参数 s，可得 C2
的普通方程，化 C3
的极坐标方程为直角坐标方程，然后联立直s
角坐标方程求解 C3
与 C1、C3
与 C2
交点的直角坐标．
为．
【（解2）答由
（（s
为1，消去参数 s，
第 24页（共 26页） 可得
C联立
2，解得 或 ，
∴
C的∴3C普【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算3通求解能力，是基础题．
与与[选修方 4-5：不等式选讲]（10 分）
C
程23．已知 a，b，c 均为正数，且 a2+b2+4c2＝3，证明：
2C
（为1）a+b+2c≤3；
交1点
（2）若 b＝2c，则+ ≥3．
的
y直【分析】（1）由已知结合柯西不等式证明；
交角2坐（2）由已知结合（1）中的结论，再由权方和不等式证明．
点标＝为的【解答】证明：（1）∵a，b，c 均为正数，且 a2+b2+4c2＝3，
（﹣直∴6角，由x﹣当且仅当a＝b＝2c，即 a＝b＝1，c＝时取等号；
坐柯1﹣）标（b西2）由（1）知，a+b+2c≤3 且
与2为（＝0＜a+4c≤3，则 ，
不2c， 故
（﹣（1等由权方和不等式可知， ，当且仅当
y，式．
2cosθ﹣sinθ＝0，．得 2ρcosθ﹣ρsinθ＝由
时取，知则曲＝0，
等号， 故
线 C3
的直角坐标方程为 2x1，﹣y＝0．
＝ ，即 a＝1，c
）（与a（2第 25页（共 26页） + ≥3．
【点评】本题考查不等式的证明，考查柯西不等式与权方和不等式的应用，是中档题
第 26页（共 26页）
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