2024年1月18日发(作者：从某市统考的学生数学试卷)

圆与方程知识点1.圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2.特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x2y2r2.2.点与圆的位置关系：(1).设点到圆心的距离为d，圆半径为r：a.点在圆内d＜r；b.点在圆上d=r；c.点在圆外d＞r(2).给定点M(x0,y0)及圆C:(xa)2(yb)2r2.①M在圆C内(x0a)2(y0b)2r2②M在圆C上（x0a)2(y0b)2r2③M在圆C外(x0a)2(y0b)2r2（3）涉及最值：1圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值PBminBNBCrPBmaxBMBCr2圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值PAminANrAC1

PAmaxAMrAC思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC）3.圆的一般方程：x2y2DxEyF(1)当D2E24F0时，方程表示一个圆，其中圆心C,，半径22rD2E2,.22(2)当D2E24F0时，方程表示一个点(3)当D2E24F0时，方程不表示任何图形.注：方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是：B0且AC0且D2E24AF0.4.直线与圆的位置关系：直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2圆心到直线的距离dAaBbCA2B21）dr直线与圆相离无交点；2）dr直线与圆相切只有一个交点；3）dr直线与圆相交有两个交点；弦长|AB|=2r2d2rdd=rrd2

AxByC0还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组2求解，2xyDxEyF0通过解的个数来判断：（1）当0时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交；（2）当0时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；（3）当0时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；5.两圆的位置关系（1）设两圆C221:(xa1)2(yb1)2r1与圆C2:(xa2)2(yb2)2r2，圆心距d(a1a2)2(b1b2)21dr1r2外离4条公切线；2dr1r2外切3条公切线；3r1r2dr1r2相交2条公切线；4dr1r2内切1条公切线；50dr1r2内含无公切线；外离外切相交内切（2）两圆公共弦所在直线方程圆C1：x2y2D1xE1yF10，圆C2：x2y2D2xE2yF20，则D1D2xE1E2yF1F20为两相交圆公共弦方程.补充说明：3

12若C1与C2相切，则表示其中一条公切线方程；若C1与C2相离，则表示连心线的中垂线方程.（3）圆系问题过两圆C1：x2y2D1xE1yF10和C2：x2y2D2xE2yF20交点的圆系方程为x2y2D1xE1yF1x2y2D2xE2yF20（1）补充：123上述圆系不包括C2；2）当1时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）过直线AxByC0与圆x2y2DxEyF0交点的圆系方程为x2y2DxEyFAxByC06.过一点作圆的切线的方程：(1)过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即y1y0k(x1x0)by1k(ax1)RR21求解k，得到切线方程【一定两解】例1.经过点P(1，—2)点作圆(x+1)2+(y—2)2=4的切线，则切线方程为。4

(2)过圆上一点的切线方程：圆(x—a)2+(y—b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0—a)(x—a)+(y0—b)(y—b)=r2特别地，过圆x2y2r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0xy0yr2.例2.经过点P(—4，—8)点作圆(x+7)2+(y+8)2=9的切线，则切线方程为。7．切点弦(1)过⊙C：(xa)2(yb)2r2外一点P(x0,y0)作⊙C的两条切线，切点分别为A、B，则切点弦AB所在直线方程为：(x0a)(xa)(y0b)(yb)r28.切线长：若圆的方程为(xa)2(yb)2=r2，则过圆外一点P(x0,y0)的切线长为d=(x0a)2+(y0b)2r2．9.圆心的三个重要几何性质：123圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在某一条弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。10.两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法例.已知圆C1：x2+y2—2x=0和圆C2：x2+y2+4y=0，试判断圆和位置关系，若相交，则设其交点为A、B，试求出它们的公共弦AB的方程及公共弦长。5


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