高中数学联赛数论专题

2024年3月14日发(作者：用wps编制数学试卷录入技巧)

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第一章 数论专题

我们把未知数的个数多于方程的个数,且其解受到某种限制的方程,叫做不定方程.通常主要研

究不定方程的正整数解、整数解、有理数解等.

不定方程问题的常见类型是：

（1）求不定方程的解；

（2）判定不定方程是否有解；

（3）确定不定方程解的数量（有限还是无限）.

不定方程问题的常用解法是：

（1）代数分析与恒等变形法，如因式分解、配方、换元等；

（2）估计范围法，利用不等式放缩等方法,确定出方程中某些变量的取值范围,进而求整解；

（3）同余法，即恰当选取模m,对方程两边做同余分析,以缩小变量的范围或发现性质,从而

得出整解或判定无解；

（4）构造法，构造出符合要求的特解,或构造一个求解的递推式,证明方程有无穷多解；

（5）无穷递降法，无穷递降法是一种用反证法表现的特殊形式的归纳法,由Fermat创立并

运用它证明了方程x

4

+y

4

=z

4

没有非零整解.从此,无穷递降作为一种重要的数学思想方法广为流传

应用,并在平面几何、图论及组合中经常用到它.

引例：求所有正整数对（x,y）满足x

y

=y

x-y

.

1.二元一次不定方程

定义1 形如ax+by=c（a,b,c∈Z, a,b不同时为0）的方程，称为二元一次不定方程.

定理1 不定方程ax+by=c有整数解的充要条件是（a,b）|c.

定理2 设（x

0

,y

0

）是不定方程ax+by=c的一组整解,则此方程的一切整数解为（x,y）=

（）,其中t∈Z.当（a,b）=1时, （x,y）=（x

0

+bt,y

0

-at）.

例1求不定方程3

x

+2

y

+8

z

=40的正整数解。

例2足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。那么，一个球

队打14场球积分19分的情况共有多少种.

例3公元五世纪末，我国数学家张丘建在他的名著《算经》里提出一个世界数学史上著名的

“百鸡问题”：“鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁、

母、雏各几何？”。

例4时钟的刻度盘（写有数字1,2,…,12的圆盘），以其中心为轴，固定在教室的黑板上，刻

度盘可以绕轴转过30° 的整数倍的任意角度。起初，在黑板上靠近刻度盘上的数字旁边的地方写

上“0”，然后转动刻度盘若干次，每次转动停止后，都将刻度盘上的数加到靠近它旁边的黑板

上所写的数字，这样是否可以做到：

（1）黑板上所写的数都是1984？

（2）黑板上所写的数除了一个之外，其余所写的数都是1984？

（3）黑板上所写的数除了两个之外，其余所写的数都是1984？

2.勾股数定理

定义2 形如x

2

+y

2

=z

2

的方程叫做勾股数方程,并称满足（x,y）=1的解为方程的基本解.

引理 给定正整数n,且n≥2,则不定方程uv=w

n

①,适合w>0,u>0,v>0,（u,v）=1的一切正

整数解为:u=a

n

,v=b

n

,w=ab,其中a>0,b>0,（a,b）=1 ②.

例1求最小的正整数n（n≥2）,使得为整数.

定理 方程x

2

+y

2

=z

2

③适合 条件x>0,y>0,（x,y）=1,且2|x ④的一切正整数

为:x=2ab,y=a

2

-b

2

,z=a

2

+b

2

,其中a>b>0,（a,b）=1,且a,b一奇一偶 ⑤.

推论 单位圆上一切有理点为

零,“±”号可任取.

及,其中a,b不全为

例2已知x

n

+y

n

=z

n

无正整数解.求证:方程x

2n

+y

2n

=z

2

也无正整数解.

例3求方程2

x

+3

y

=

z

2

的所有整数解（

x

,

y

,

z

）.

3.沛尔（pell）方程

定义3 通常pell方程指以下四个不定方程：x

2

-dy

2

=±1，±4，其中x，y∈Z， d∈N

*

，且

d不是平方数。

如果pell方程的正整数解（x，y）中，使得x+

y

1

）为方程的最小解。

y最小的正整数解为（x

1

，y

1

），则称（x

1

，

定理1设d∈N

*

，d不是平方数，方程x

2

-dy

2

=1的最小解为（x

1

，y

1

），则

x

n

=，

y

n

=，n=1，2，…。

给出方程x

2

-dy

2

=1的全部正整数解.称x

1

+y

1

为方程x

2

-dy

2

=1的基本解。

定理2设方程x

2

-dy

2

=-1的正整数解（x，y）中，使得x+y最小的解为（x

1

，y

1

），则

x

n

=，

y

n

=，n=1，2，…。

给出方程x

2

-dy

2

=-1的全部正整数解。

例1 设正整数d无平方因子，x

0

+

y），使得x的所有素因子整除x

0

。

y

0

为方程x

2

-dy

2

=1的基本解.求该方程的正整数解（x，

定理3（1）当a为非零整数时，方程x

2

-a

2

y

2

=1只有平凡解（±1，0）；方程x

2

-a

2

y

2

=-1

仅当a=±1时有整数解（0，±1）。

（2）存在无穷多个非平方数d>0，使方程x

2

-dy

2

=-1无整解。

4.费尔马大定理

不定方程x

n

+y

n

=z

n

（正整数n≥3）无正整数解.

费尔马大定理，是困扰人们近四百年的著名世界难题，已于1994年被普林斯顿大学教授

攻克。

例2 证明：存在无数个正整数

n

，使得[

n

]为完全平方数。

例3 试找出最大的

c∈R

+

，使得对任意正整数

n

，都有{

n

}≥.（{

x

}=

x

-[

x

]，其中[

x

]表示不超

过

x

的最大整数）

不定方程的解法

1.因式分解法

将方程的一端化为常数，做因数分解，另一端含未知数的代数式因式分解，再由各因式的取

值分解为若干方程组进行求解。

例1 求方程2x

2

+5y

2

=11（xy-11）的正整数解。

例2 求方程x

3

-y

3

=z

2

的正整数解。其中y为素数，且3和y都不是z的约数。

例3 求方程x

2

-5xy+6y

2

-3x+5y-25=0整数解。

2.配方法

将方程一边变形为平方和的形式，另一边是常数。从而缩小解的存在范围，达到求解或判定

无解之目的。

例1 求方程x

2

-12x+y

2

+2=0的整数解。

例2 证明方程x

2

+y

2

+z

2

+3（x+y+z）+5=0无有理数解。

例3 求方程x

2

（y-1）+y

2

（x-1）=1的整数解。

3.估计范围法

从方程的形式入手，依据不等式及其性质等确定方程解的存在范围，进而求解方程。

例1 求方程3x

2

+7xy-2x-5y-35=0的正整数解。

例2 求所有整数组（a，b，c，x，y，z）满足：

（ⅰ），（ⅱ）a≥b≥c≥1，x≥y≥z≥1.

例3 求x

2

+x=y

4

+y

3

+y

2

+y的整解。

例4 求方程的整数解。

4.同余法

若某不定方程有整解，则等式两边对模m同余（m为任意正整数），这是原方程有解的一个

必要条件，据此可以缩小解的范围，或判定方程无解。

例1 求|12

x

-5

y

|=7的全部正整数解（x，y）。

例2.求8

x

+15

y

=17

z

的全部正整数解（x,y,z）。

例3.证明方程组没有整数解。

5.无穷递降法

运用无穷递降法主要是证明方程无正整数解。其一般步骤是：

先假定存在一组适合条件的正整数解，再设法构造出其它正整数解,要求必须是递降的，由于

上述过程可无限进行下去，再由严格递减的正整数数列只有有限项，从而导致矛盾。还可从假设

方程的一组“最小解”，而递降得到更小解引出矛盾。

例1.设p≡-1（mod4）,证明：对任意正整数n，方程x

2

+y

2

=p

n

无正整数解。

例2.证明方程x

2

+y

2

-19xy-19=0无整数解。

例3.证明方程x

4

+y

4

=z

2

没有正整数解。

6.构造法

即通过构造恒等式或一些特定方程,来证明不定方程有解或者有无穷多解.

例1.证明方程x

3

+y

3

+z

3

+t

3

=1999有无穷多组整解。

例2.是否存在正整数m，使得方程有无穷多组正整数解（a,b,c）。

例3.证明：有无穷多个正整数n，使得n的整数部分[n]为完全平方数。

【不定方程练习题】

1.是否存在正整数m,n满足5m

2

-6mn+7n

2

=2006？请说明理由。

2.求出所有正整数x,y使得x

2

+615=2

y

。

3.求出所有正整数对（n,k）使得（n+1）

k

-1=n!。

4.证明方程3y

2

=x

4

+x没有正整数解。

5.找出所有的正整数对（m,n）,使得6

m

+2

n

+2是一个完全平方数。

6.求所有正整数x,y,满足1!+2!+3!+…+x!=y

2

。

7.设x

1

，x

2

是方程x

2

-6x+1=0的两个根.证明:对于一切正整数n,a

n

=x

1

n

+x

2

n

都是整数且不

整除a

n

。

8.若n个边长为正整数的正方体体积之和为2002

2005

。求n的最小值。

【知识点概要】

1、带余除法定理:设（a, b）是两个给定整数，a≠0. 那么，一定存在唯一的一对整数（q, r），

使得b=qa +r,0≤r <|a|.此外，a|b当且仅当r=0.（带余除法是初等数论中最重要、最基本、最直

接的工具。）

2、公因数、最大公因数、互素的定义和性质:

用（a

1

,a

2

,...,a

n

）记a

1

,a

2

,…,a

n

的最大公约数[a

1

,a

2

,...,a

n

]记为a

1

,a

2

,...,a

n

的最小公倍数。特别

的，若（a,b）=1则称a,b互素。

最大公因数的基本性质：（以下关于最大公约数的性质都不需要用到算术基本定理）

（1）（交换律）（a,b）=（b,a）

（2）（结合律）（（a,b）,c）=（a,（b,c））

（3）若a

1

|a

i

,i =2,3,…,n，则（a

1

,a

2

,…,a

n

）=a

1

（4）若p是素数，则

（5）若b=qa +r，则（a,b） =（a,r）.

3、辗转相除法:任给整数m,n（n≠0）,则有如下带余除法链：

m=nq

1

+r

1

, 1≤r

1

n=r

1

q

2

+r

2

, 1≤r

2

1

r

1

=r

2

q

3

+r

3

, 1≤r

3

2

… …

R

k-1

=r

k

q

k+1

+r

k+1

, r

k+1

=0

裴蜀定理：一次不定方程ax+by =c有整数解当且仅当（a,b）|c.

【例题讲解】

1.{F

n

}是Fibonacci数列：F

0

=0,F

1

=1,F

n

=F

n－1

+F

n－2

（n≥ 2），对于1≤i≤200,记g

i

=

（Fi,F

2007

）.求g

i

的所有可能取值.

2.（1）求证：（2

m

-1,2

n

-1）=2

（m,n）

-1；

（2）求（2

m

+1,2

n

+1）；

（3）求（3

m

+1,3

n

+1）。

3.（1）（Fermat型质数））求证：若1+2

n

是质数，则n一定形如2

k

（其中k是非负整数）；

（2）求证：若1+2

n

+4

n

是质数，则n=3

k

（其中k是非负整数）。

4.给定正整数m,n,求最小的正整数k,使得（10

m

-1）·（10

n

-1）∣（10

k

-1）。

5.由某些正整数组成的集合X称为好集若：a,b∈X,a+b与|a-b|恰有一个属于X（a,b可以

相同）. （1）求包含2008的不同好集的个数；（2）求包含2010的不同好集的个数。

6.称正整数d为好数,如果对一切正整数x,y都有d|（（x+y）

5

-x

5

-y

5

）当且仅当d|（（x+y）

7

-x

7

-y

7

）.（1）29是不是好数?（2）2009、2010是不是好数?

7.求所有不等正整数对（a，b），使得（a

2

+ab+4）|（b

2

+ab+4）.

8.黑板上开始时写着正整数组（m，n，m，n）.每步对当时的数组（x，y，u，v）进行广义

的欧氏运算：若x >y，变为（x-y，y，u+v，v）；而若x

时结束（此时它们等于最大公因数（m，n））.

求证，结束时后两数的算术平均值等于最小公倍数[m，n]。

9.给定奇数n >1，正整数a（1≤a≤n-1）称为好数，若a及a+1都与n互素。求证：所有

好数的乘积除以n的余数等于1（空集的乘积约定为1）.

10.求所有的正整数三元组（a，b，c）满足：a

3

+b

3

+c

3

能同时被a

2

b，b

2

c，c

2

a整除。

【知识点概要】

1、Fermat小定理：给定素数

p

，设整数

a

与

p

互素，则

a

p-

1

≡1（mod

p

）。

2、Euler定理：给定整数

m

>1.设整数

a

与

m

互素，则

a

φ

（

m

）

≡1（mod

m

）

。

其中 ={modm的互不同余且都与m互素的代表元}，是对乘、除法封闭的集合，|

|是集合的元素个数。

3、阶的定义：使得

a

k

≡ 1（mod

m

）

, a ∈ M

﹡成立的最小正整数

k

称为

a

对于（mod

m

）

的阶，记作

δ

m

（

a

）。

满足

δ

m

（

a

） =

φ

（

m

）的

a

（如果存在）,称为（

modm

）的原根。

4、欧拉函数

φ

（

m

）的计算

（1）若（

m，n

）=1，则

φ

（

mn

）=

φ

（

m

）

φ

（

n

）；

（2）当

m

=

p

e

（其中

p

为质数）时，

φ

（

m

）=

p

e-1

（

p-

1）；

（3）若

m

的质因数分解式为

m

=

5、阶的主要性质：

（1）模数列

a

k

（mod

m

）的最小正周期为

δ

n

（

a

）,其中

n

是

m

的与

a

互素的最大因数；

【例题讲解】

1.设三角形的三边长分别是整数l >m>n。已知

不超过x的最大整数。求种三角形周长的最小值。

其中{x}=x-[x]而[x]表示

2.十进制正整数

n

的各位数字都由0或1构成，并且是585的倍数，求满足条件的最小正

整数

n

。

10.n是合数，求证：（其中为Euler函数）。

11.求方程

n

=

φ

（

n

） + 402的正整数解（其中

φ

为Euler函数）。

3.为纯循环小数，循环节长为6=7-1，而且一个循环节内有142+857=999。

求证：分数 （n为正整数）满足类似性质：（1）循环节长度为2n；（2）在一个循环节

内前n项与后n项之和为10

n

-1的充要条件为：（i）2n+1=p为奇质数，（ii）10是modp的原

根，即10

p-1

≡1（modp）且p-1是满足10

k

≡1（modp）的正整数里最小的一个，并据此条件

再找出两个这样的分数。

5.设

p

为奇素数，

（1）

a ≥

2，求证：

a

p

-

1的素因子要么整除

a -

1,要么必形如2

pk

+1 （

k ∈

Z）；

（2）求证：2

pk

+ 1型素数有无穷多个；

（3）若素数

q|

（

a

p

+ 1）,则或者

q|

（

a

+ 1）,或者

q

= 2

pk

+ 1（

k

为整数）。

6.（1）F

n

=2

2n

+1记求证：

F

n

的每个素因子都形如2

n+1

k

+1；（2）设

数有无穷多个。

2

l

k

+1型素 ，则

8.求证：任意2

n-

1个整数中必可找到

n

个，其和是

n

的倍数。

9.序列

a

0

，a

1

，a

2

，···

定义如下：a

0

=2,……，a

k+1

=2a

2

k

-1（k≥0）.]。若奇素数

p

是

a

n

的

因子，求证：

p

2

=

1含因子2

n

+3

。

4.（Carmichael数）（1）求证

n

=561满足如下性质：对任意与561互质的整数

a

都有

a

560

≡1

（mod561）；

（2）若

n

为合数且对与

n

互素的每个整数

a

都有

a

n-1

≡1（mod

n

）,称

n

为Carmichael

数.

求证：

n

为Carmichael数的充要条件是

n

=

p

1

p

2

· · · p

k

,其中

k ≥

3

, p

i

（1

≤ i ≤ k

）为不

同的奇素数,且对每个

i

都满足（

p

i

-

1）

|

（

n-

1）.

7.

p,q

是质数且满足

q

=2

p

+1.（1）求证：存在一个

q

的倍数

n

,其十进制数码和不超过3；

（2）3是使得（1）中命题成立的最小者。

9.序列

a

0

, a

1

, a

2

,……

定义如下：a

0

=2，……，a

k+1

=2a

k

2

-1（ k≥0），若奇素数

p

是

a

n

的

因子,求证：

p

2

-

1含因子2

n

+3

.

2.求证：对任意正整数n， 不是素数。

3.求所有整数m >1，使得存在正整数k

k

+ a

1

x

k－1

+ …+

a

k－1

x + a

k

满足：对每个整数x，f（x）都被m整除。

1.黑板上开始时写着数1，2，3，…，n.每步可擦去两个数，代之以它们之和的最小素因子。

求所有的正整数n，使得经过合适的操作，最后剩下97在黑板上。