2024年3月9日发(作者：79年高考文科数学试卷)

注意到：结果中又有原积分式出现，此时移项解方程，即可求得原积分：

分部积分的关键是首先明确适应于分部积分的被积函数类型、U的选择及凑成dv，常见的分

部积分类型共有五种：

知识点小结与学习指南：

1.掌握不定积分分部积分法；

2.能判断分部积分的题型类型；

3.能熟练利用分部积分进行简单积分运算。

一元函数积分学——定积分

知识点归纳

1.定积分的定义、性质

2.变上限定积分

3.牛顿—莱布尼茨公式

4.定积分的求法

5.反常积分

考试要求

1.理解定积分的概念及其几何意义。

2.掌握定积分的基本性质。

3.理解变上限定积分，掌握对变上限定积分求导数的方法。

4.掌握牛顿－莱布尼兹公式。

5.掌握定积分的换元法与分部积分法。

6.了解无穷区间广义积分的概念，并会进行计算。

求曲边梯形的面积

曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图形叫做

曲边梯形。

曲边梯形的特点

①只有一边是曲线

②其他三边是特殊直线

引例1曲边梯形的面积

定积分的概念与性质

定积分的概念与性质

1、定积分的概念

按定积分定义，引例1可以表述如下：

（1）曲边梯形的面积是曲边方程├y=f(x)在区间[a,b]上的定积分。即

若函数├y=f(x)在[a,b]上定积分存在称为函数├y=f(x)在[a,b]上可积，否则称函数

y=f(x)在[a,b]上不可积。

定理1f(x)在[a,b]上连续，f(x)在[a,b]上可积。初等函数在其定义域中的任何有限区间

上连续，因而是可积的。

定理2f(x)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

2、定积分的几何意义

如果规定曲线y=f(x)，直线x=a，x=b(a

下方部分面积为负。于是，定积分的几何意义为：y=f(x)在[a,b]上的定积分为曲线y=f(x)，

直线x=a，x=b(a

利用定积分的几何意义，可知：

3、定积分的基本性质

性质1常数因子可以提到积分号前，即

性质2函数的和（或差）的积分等于它们的定积分的和（或差），即

这个性质可以推广到任意有限多个函数的代数和的情况。

性质5（估值定理）如果函数├f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值分别为M与m，则

几何意义如图6-14：

例题

知识点小结与学习指导：

1、了解定积分的概念，定积分的几何意义；

2、熟悉定积分的性质；

3、能利用定积分的性质进行相关问题的讨论。

微积分基本定理

1.变上限的定积分

2.牛顿－莱布尼兹公式

1、变上限的积分函数及其导数

（1）

例题

例题

方法熟练以后，上述过程可以简化如下：

应当注意的是，利用牛顿－莱布尼兹公式计算定积分时，要求被积函数在积分区间上连续，

否则会产生错误，例如

知识点小结与学习指导：

1.了解变上限积分的定义；

2.熟练掌握变上限积分的导数运算方法；

3.熟悉牛顿-莱布尼茨公式；

4.理解定积分与不定积分的关系；

5.能熟练进行定积分简单运算。

定积分的换元积分法

这里利用了奇偶函数在对称区间的积分性质。

重要结论：设函数f(x)在区间[−a,a]上连续。

注意：积分区间必须以坐标原点对称。

例题

答案：0

这类题只需观察被积函数的奇偶性基本上就能说出结果。

知识点小结：

1.能判断用换元法积分的积分类型

2.能用定积分换元积分法求定积分

定积分的分部积分法


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