高考数学应试技巧之收敛性分析

2024年4月6日发(作者：中考数学试卷加答案)

高考数学应试技巧之收敛性分析

数学是高考中的一门核心科目，在高考数学的学习过程中，学

生需要掌握大量的数学知识和技巧。其中，数列与级数是高考数

学中相对比较难的部分。特别是对于数列的收敛性分析，更是需

要注意。本文将对高考数学中关于数列收敛性的知识进行深入探

究，为广大考生提供一些实用的应试技巧。

1. 数列的概念和定义

数列是指按照一定次序排列的一组数，可以用以下式子表示：

$${a_1},{a_2}, cdots ,{a_n}, cdots $$

其中，每个数$a_n$称为数列的第n项，n称为项数。例如，

$1,2,3, cdots ,n, cdots $就是一个数列。

2. 数列收敛的概念

数列的收敛意味着随着项数的增加，数列中的数可以逐渐靠近

一个确定的数，称为数列的极限。数列的极限可以用以下符号表

示：

$$ limlimits_{n to infty} a_n=L$$

其中，L为数列的极限。表示当n趋近于无穷大时，$a_n$趋近

于L。

3. 数列的收敛和发散

如果数列存在极限L，则称该数列收敛于L。反之，如果数列

不存在极限，则称该数列发散。在高考中，数列的收敛和发散是

一个需要关注的问题。

4. 数列收敛的必要条件

数列收敛的必要条件是存在数L，使得对于任意正数

$varepsilon$，都存在正整数N，当n>N时，$|a_n - L|<

varepsilon$。这种条件被称为数列收敛的$varepsilon$-$N$定义。

5. 数列收敛的判定方法

在高考中，可以通过以下几种方法进行数列收敛的判定：

(1) 夹逼准则

夹逼准则是判定数列收敛的一种重要方法。夹逼准则是建立在

以下定理的基础上的：对于数列${a_n}$、${b_n}$和${c_n}$，如

果$a_nle b_nle c_n$，且$limlimits_{n to

infty}a_n=limlimits_{n to infty}c_n=L$，那么$limlimits_{n to

infty}b_n=L$。夹逼准则可以广泛应用于各种数学问题中，并且

也是高考中比较重要的一种方法。

(2) 单调有界准则

单调有界准则是判定数列收敛的另一种常用方法。如果数列

{a_n}满足$a_1le a_2le cdots le a_n$或$a_1ge a_2ge cdots ge

a_n$，并且数列{a_n}有界，则数列{a_n}收敛。

(3) 柯西准则

柯西准则是判定数列收敛的又一重要方法。数列{a_n}收敛的

充要条件是对于任意正数$varepsilon$，都存在正整数N，当m，

n>N时，有$|a_n-a_m|< varepsilon$。

6. 数列求极限的技巧

在高考数学中，数列求极限是一个非常重要且基础的知识点。

对于求极限，下面整理了几点技巧：

(1) 奇偶性法则

有些数列的项数比较多，使用数学公式求解可能会很困难，此

时可以采用奇偶性法则。当n趋近于无穷大时，奇数项和偶数项

各自趋近于一个确定的数，这样我们就可以直接求得这两个极限。

(2) 折半法则

数列项数较多且不便求解时，我们可以采用折半法则。将数列

折半，然后求出前半部分和后半部分的极限，再取平均值就可以

得到整个数列的极限。

(3) 加减法规则

如果已知数列的两个子数列的极限，我们就可以通过加减法规

则求解该数列的极限。对于求和式和差式，都可以利用此方法求

出极限。

7. 总结

数列与级数是高考数学的重难点之一，而数列收敛性的分析则

是其中比较难的部分。本文介绍了数列的概念、收敛与发散的定

义、必要条件以及判定方法。同时，还针对数列求极限的过程，

提出了奇偶性法则、折半法则和加减法规则等应试技巧。希望广

大考生能够掌握数列收敛性相关的知识和技巧，拿到高分，实现

自己的梦想。