高中数学必修5知识点总结归纳(人教版最全)

2024年4月8日发(作者：高二文科数学试卷2018)

高中数学学案

高中数学必修五知识点汇总

第一章 解三角形

一、知识点总结

正弦定理:

abc

1．正弦定理:

2R

(

R

为三角形外接圆的半径).

sinAsinBsinC

步骤1.

证明：在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA

ab

得到 同理，在△ABC



sinasinb

cb

中，



sincsinb

步骤2.

abc

证明：

2R

sinAsinBsinC

如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

作直径BD交⊙O于D.

连接DA.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠

DAB=90°

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.

c

所以

sinDsinC

2R

abc

故

2R

sinAsinBsinC

2.正弦定理的一些变式：

c

ab



i



abcsinAsinBsinC

；



ii



sinA,sinB,sinC



；

2R

2R2R

abc

2R

（4）



iii



a2RsinA,b2RsinB,b2RsinC

；

sinAsinBsinC

3．两类正弦定理解三角形的问题：

（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解）

4.在

ABC

中，已知a,b及A时，解得情况：

解法一：利用正弦定理计算

解法二：分析三角形解的情况，可用余弦定理做，已知a,b和角A，则由余弦定理得

即可得出关于c的方程：

c

2

2bcosAcb

2

a

2

0

分析该方程的解的情况即三角形解的情况

①△=0,则三角形有一解

②△>0则三角形有两解

③△<0则三角形无解

余弦定理:

第 1 页

共 24 页

高中数学学案



a

2

b

2

c

2

2bccosA



2

1．余弦定理：



ba

2

c

2

2accosB



c

2

b

2

a

2

2bacosC





b

2

c

2

a

2



cosA

2bc



a

2

c

2

b

2



2.推论：



cosB

.

2ac





b

2

a

2

c

2



cosC

2ab



设

a

、

b

、

c

是

C

的角



、



、

C

的对边，则：

①若

a

2

b

2

c

2

，则

C90

；

②若

a

2

b

2

c

2

，则

C90

；

③若

a

2

b

2

c

2

，则

C90

．

3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.

（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.

面积公式:

已知三角形的三边为a,b,c,

1.

S

1

ah

a



1

absinC

1

r(abc)

（其中

r

为三角形内切圆半径）

222

2.设

p

1

(abc)

,

S

2

p(pa)(pb)(pc)

(海伦公式)

1

例：已知三角形的三边为

a、b、c，

设

p(abc)

，求证：

2

（1）三角形的面积

Sp(pa)(pb)(pc)

；

（2）

r

为三角形的内切圆半径，则

r

(pa)(pb)(pc)

p

2

a

p(pa)(pb)(pc)

（3）把边BC、CA、AB上的高分别记为

h

a

、h

b

、h

c

，

则

h

a



2

p(pa)(pb)(pc)

b

2

h

c

p(pa)(pb)(pc)

c

h

b



a

2

b

2

c

2

证明：（1）根据余弦定理的推论：

cosC

2ab

a

2

b

2

c

2

2

)

由同角三角函数之间的关系，

sinC1cosC1(

2ab

2

第 2 页

共 24 页