初中数学二次函数做题技巧

2024年1月18日发(作者：翼城2018年小考数学试卷)

学习好资料 欢迎下载

初中数学二次函数做题技巧

I.定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P（h，k）] 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)

[仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a

x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a

III.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

2.抛物线有一个顶点P，坐标为 P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于（0，c）

6.抛物线与x轴交点个数 Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ=

b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 Δ= b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。

V.二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2;+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax^2;+bx+c=0

此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

画抛物线y＝ax2时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。

二次函数解析式的几种形式

(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0).

(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0).

(3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.

说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax^

学习好资料 欢迎下载

2；如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax^2+k 定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax^2+bx+c （a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。）则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 x是自变量，y是x的函数

二次函数的三种表达式

①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)

②顶点式[抛物线的顶点 P(h，k) ]：y=a(x-h)^2+k

③交点式[仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2)

以上3种形式可进行如下转化：

①一般式和顶点式的关系对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b^2)/4a

②一般式和交点式的关系 x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)

学习好资料 欢迎下载

2012中考数学精选例题解析：一次函数（1）

知识考点：

掌握二次函数的图像和性质以及抛物线的平移规律；会确定抛物线的顶点坐标、对称轴及最值等。

精典例题：

2【例1】二次函数yaxbxc的图像如图所示，那么abc、b4ac、2ab、24a2bc这四个代数式中，值为正的有（ ）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

解析：∵xyb＜1

2a-1O1∴2ab＞0

答案：A

评注：由抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴的位置判

例1图

x定b的符号，由抛物线与y轴交点位置判定c的符号。由抛物线与x轴的交点个数判定b24ac的符号，若x轴标出了1和－1，则结合函数值可判定2ab、abc、abc的符号。

【例2】已知abc0，a≠0，把抛物线yaxbxc向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（－2，0），求原抛物线的解析式。

分析：①由abc0可知：原抛物线的图像经过点（1，0）；②新抛物线向右平移5个单位，再向上平移1个单位即得原抛物线。

解：可设新抛物线的解析式为ya(x2)，则原抛物线的解析式为22ya(x25)21，又易知原抛物线过点（1，0）

∴0a(125)1，解得a∴原抛物线的解析式为：y21

41(x3)21

4评注：解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系，以及所对应的解析式间的联系，并注意逆向思维的应用。

另外，还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动，常见的几种变动方式有：①开口反向（或旋转1800），此时顶点坐标不变，只是a反号；②两抛物线关于x轴对称，此时顶点关于x轴对称，a反号；③两抛物线关于y轴对称，此时顶点关于y轴对称；

探索与创新：

【问题】已知，抛物线ya(xt1)t（a、t是常数且不等于零）的顶点是A，22如图所示，抛物线yx2x1的顶点是B。

（1）判断点A是否在抛物线yx2x1上，为什么？

22

学习好资料 欢迎下载

（2）如果抛物线ya(xt1)t经过点B，①求a的值；②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？若能，求出它的值；若不能，请说明理由。

2解析：（1）抛物线ya(xt1)t的顶点A（t1，t），2而xt1当时，yx2x1(x1)(x11)＝t，2222222y所以点A在抛物线yx2x1上。

（2）①顶点B（1，0），a(1t1)t0，∵t0，∴222

OBx问题图

，C（2t1，a1；②设抛物线ya(xt1)2t2与x轴的另一交点为C，∴B（1，0）0），由抛物线的对称性可知，△ABC为等腰直角三角形，过A作AD⊥x轴于D，则AD＝BD。当点C在点B的左边时，t1(t1)，解得t1或t0（舍）；当点C在点B的右边时，t(t1)1，解得t1或t0（舍）。故t1。

评注：若抛物线的顶点与x轴两交点构成的三角形是直角三角形时，它必是等腰直角三角形，常用其“斜边上的中线（高）等于斜边的一半”这一关系求解有关问题。

跟踪训练：

一、选择题：

1、二次函数yaxbxc的图像如图所示，OA＝OC，则下列结论：

①abc＜0；

②4acb；

③acb1；

④2ab0；

A-2O1CB2222yxc⑤OAOB；

a⑥4a2bc0。其中正确的有（ ）

2第1题图

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

2、二次函数yxbxc的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到函数图像的解析式为yx2x1，则b与c分别等于（ ）

A、6、4 B、－8、14

C、4、6 D、－8、－14

3、如图，已知△ABC中，BC＝8，BC边上的高h4，D为B上一点，EF∥BC交AB于E，交AC于F（EF不过A、B），到BC的距离为x，△DEF的面积为y，那么y关于x的函图像大致是（ ）

E2AFDC第3题图

BC设E数

学习好资料 欢迎下载

y42O2442y42y4224yxO24xOxO24x

A B C D

3题图

24、若抛物线yax与四条直线x1，x2，y1，y2围成的正方形有公共点，则a的取值范围是（ ）

1111 A、≤a≤1 B、≤a≤2 C、≤a≤1 D、≤a≤2

42245、如图，一次函数ykxb与二次函数yaxbxc的大致图像是（ ）

2yOyyOyxOxxOx

3

题图 A

3

题图

B C

3

题图

D

二、填空题：

1、若抛物线y(m1)x2mx3m2的最低点在x轴上，则m的值为。

2、二次函数y4xmx5，当x2时，y随x的增大而减小；当x2时，y随x的增大而增大。则当x1时，y的值是。

3、已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是y轴，向下平移1个单位后与x轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为。

4、已知抛物线y(m2)x4mxn的对称轴是x2，且它的最高点在直线2222y1x1上，则它的顶点为，n＝。

22三、解答题：

1、已知函数yx(m2)xm的图像过点（－1，15），设其图像与x轴交于点A、B，点C在图像上，且SABC1，求点C的坐标。

2、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程。下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S（万元）与销售时间。根据图象提供的信息，解t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和S与t之间的关系）答下列问题：

（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；

（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；

学习好资料 欢迎下载

（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？

4

32

1

O

-1

-2

-3

S（万元）yCD1

2 3456

t（月）

月

2

BAOxO123、抛物线yx，yx和直线xa（a＞0）分别交于A、B两点，已知∠2AOB＝900。

（1）求过原点O，把△AOB面积两等分的直线解析式；

（2）为使直线y第2题图

第4题图

O2xb与线段AB相交，那么b值应是怎样的范围才适合？

24、如图，抛物线yax4axt与x轴的一个交点为A（－1，0）。

（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；

（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；

（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5∶2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧。问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

参考答案

一、选择题：BCDDC

二、填空题：

1、2；2、－7；3、y三、解答题：

1、C（32、（1）S1（2，2），n2；

(x2)21；4、2

2，1）或（32，1）、（3，－1）

12（2）10月；（3）5.5万元

t2t；22x；（2）－3≤b≤0

4223、（1）y4、（1）B（－3，0）；（2）yx4x3或yx4x3；

（3）在抛物线的对称轴上存在点P（－2，

1），使△APE的周长最小。

2

学习好资料 欢迎下载

2012中考数学精选例题解析

函数与一元二次方程

知识考点：

1、理解二次函数与一元二次方程之间的关系；

2、会结合方程根的性质、一元二次方程根的判别式，判定抛物线与x轴的交点情况；

3、会利用韦达定理解决有关二次函数的问题。

精典例题：

【例1】已抛物线y(m1)x(m2)x1（m为实数）。

（1）m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？

（2）如果抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，且△ABC的面积为2，求该抛物线的解析式。

分析：抛物线与x轴有两个交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根m应满足的条件。

2m10略解：（1）由已知有，解得m0且m1

2m0 （2）由x0得C（0，－1）

又∵ABm

am111mABOC12

22m1∴SABC∴m44或m

35122126∴yxx1或yxx1

3355【例2】已知抛物线yx(m8)x2(m6)。

（1）求证：不论m为任何实数，抛物线与x轴有两个不同的交点，且这两个点都在x轴的正半轴上；

（2）设抛物线与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，当△ABC的面积为48平方单位时，求m的值。

（3）在（2）的条件下，以BC为直径作⊙M，问⊙M是否经过抛物线的顶点P？

解析：（1）(m4)0，由x1x2m80，x1x22(m6)0可得证。

（2）BCx1x2＝m4

22222222(x1x2)24x1x2(m28)28(m26)

学习好资料 欢迎下载

OA2(m26)

又∵SABC48

∴1(m24)2(m26)48

222 解得m2或m12（舍去）

∴m2

（3）yx10x16，顶点（5，－9），BC6

∵96

∴⊙M不经过抛物线的顶点P。

评注：二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，因此，善于促成二次函数问题与二次方程问题的相互转化，是解相关问题的常用技巧。

探索与创新：

2c2【问题】如图，抛物线yx(ab)x，其中a、b、c分别是△ABC的∠A、42∠B、∠C的对边。

（1）求证：该抛物线与x轴必有两个交点；

（2）设有直线yaxbc与抛物线交于点E、F，与y轴交于点M，抛物线与y轴交于点N，若抛物线的对称轴为xa，△MNE与△MNF的面积之比为5∶1，求证：△ABC是等边三角形；

（2）当SABC3时，设抛物线与x轴交于点P、Q，问是说明理由。

解析：（1）(ab)c(abc)(abc)

∵abc0，abc0

∴0

（2）由22yENOPFMQ

x问题图

否存在过P、Q两点且与y轴相切的圆？若存在这样的圆，求出圆心的坐标；若不存在，请aba得ab

2c22c2yx(ab)xac0 由4得：x3ax4yaxbcc2ac 设E（x1，y1），F（x2，y2），那么：x1x23a，x1x24

学习好资料 欢迎下载

由SMNE∶SMNF＝5∶1得：x15x2

∴x15x2或x15x2

由x1x20知x15x2应舍去。

NyEOPFMQ

xx1x23aa 由解得x2

2x15x2问题图

c2a∴5ac，即5a24acc20

42∴ac或5ac0（舍去）

∴abc

∴△ABC是等边三角形。

（3）SABC3，即232a3

4∴a2或a2（舍去）

∴abc2，此时抛物线yx4x1的对称轴是x2，与x轴的两交点坐标为P（23，0），Q（223，0）

2设过P、Q两点的圆与y轴的切点坐标为（0，t），由切割线定理有：tOPOQ

∴t1

故所求圆的圆心坐标为（2，－1）或（2，1）

评注：本题（1）（2）问与函数图像无关，而第（3）问需要用前两问的结论，解题时千万要认真分析前因后果。同时，如果后一问的解答需要前一问的结论时，尽管前一问没有解答出来，倘能会用前一题的结论来解答后一问题，也是得分的一种策略。

跟踪训练：

一、选择题：

1、已知抛物线y5x(m1)xm与x轴两交点在y轴同侧，它们的距离的平方等于249，则m的值为（ ）

25 A、－2 B、12 C、24 D、－2或24

2、已知二次函数y1axbxc（a≠0）与一次函数y2kxm（k≠0）的图像交于点A（－2，4），B（8，2），如图所示，则能使y1y2成立的x的取值范围是（ ）

A、x2 B、x8 C、2x8 D、x2或x8

2

学习好资料 欢迎下载

yAB

Oyy

AOEB

xAOBxx

第2题图

2第3题图

第4题图

3、如图，抛物线yaxbxc与两坐标轴的交点分别是A、B、E，且△ABE是等腰直角三角形，AE＝BE，则下列关系：①ac0；②b0；③ac1；④SABEc其中正确的有（ ）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

4、设函数yx2(m1)xm1的图像如图所示，它与x轴交于A、B两点，线段OA与OB的比为1∶3，则m的值为（ ）

A、2211或2 B、 C、1 D、2

332二、填空题：

1、已知抛物线yx(k1)x3k2与x轴交于两点A（，0），B（，0），且2217，则k＝。

2、抛物线yx(2m1)x2m与x轴的两交点坐标分别是A（x1，0），B（x2，0），且2x11，则m的值为。

x212xmxm1交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且∠ACB＝900，223、若抛物线y则m＝。

4、已知二次函数ykx(2k1)x1与x轴交点的横坐标为x1、x2(x1x2)，则对于下列结论：①当x2时，y1；②当xx2时，y0；③方程kx(2k1)x1＝214k20有两个不相等的实数根x1、x2；④x11，x21；⑤x2x1，其中k所有正确的结论是（只填写顺号）。

三、解答题：

1、已知二次函数yaxbxc（a≠0）的图像过点E（2，3），对称轴为x1，它的图像与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0），且x1x2，x1x210。

222

学习好资料 欢迎下载

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）在（1）中抛物线上是否存在点P，使△POA的面积等于△EOB的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

2、已知抛物线yx(m4)x2m4与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且x1x2，x12x20，若点A关于y轴的对称点是点D。

（1）求过点C、B、D的抛物线解析式；

（2）若P是（1）中所求抛物线的顶点，H是这条抛物线上异于点C的另一点，且△HBD与△CBD的面积相等，求直线PH的解析式；

3、已知抛物线y2123，B（x2，0）两点，交yxmx2m交x轴于点A（x1，0）222轴于点C，且x10x2，(AOBO)12CO1。

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴的下方是否存在着抛物线上的点，使∠APB为锐角、钝角，若存在，求出P点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由。

参考答案

一、选择题：CDBD

二、填空题：

1、2；2、三、解答题：

21、（1）yx2x3；（2）存在，P（113，－9）或（113，－9）

21；3、3；4、①③④

22、（1）yx6x8；（2）y3x10

3、（1）y123（2）当0xP3时∠APB为锐角，当1xP0或xx2；223xP4时∠APB为钝角。