2019年江西省中考数学试卷(含解析)完美打印版

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2019年江西省中考数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分每小题只有一个正确选项）

1．（3分）2的相反数是（ ）

A．2

2．（3分）计算÷（﹣A．a

B．﹣2 C． D．

）的结果为（ ）

B．﹣a C． D．

3．（3分）如图是手提水果篮抽象的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图为（ ）

A． B． C． D．

4．（3分）根据《居民家庭亲子阅读消费调查报告》中的相关数据制成扇形统计图，由图可知，下列说法错误的是（ ）

A．扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比

B．每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子超过50%

C．每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占20%

D．每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是108°

5．（3分）已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A（2，4），下列说法正确的是（ ）

A．反比例函数y2的解析式是y2＝﹣ B．两个函数图象的另一交点坐标为（2，﹣4）

C．当x＜﹣2或0＜x＜2时，y1＜y2 D．正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大

6．（3分）如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有（ ）

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A．3种 B．4种 C．5种 D．6种

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7．（3分）因式分解：x2﹣1＝ ．

8．（3分）我国古代数学名著《孙子算经》有估算方法：“方五，邪（通“斜”）七．见方求邪，七之，五而一．”译文为：如果正方形的边长为五，则它的对角线长为七．已知正方形的边长，求对角线长，则先将边长乘以七再除以五．若正方形的边长为1，由勾股定理得对角线长为方法，则它的对角线的长是 ．

9．（3分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则x1+x2+x1x2＝ ．

10．（3分）如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD＝∠ABC＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE＝ °．

，依据《孙子算经》的

11．（3分）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A﹣B﹣C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝6米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB速度的1.2倍，求小明通过AB时的速度．设小明通过AB时的速度是x米/秒，根据题意列方程得： ．

12．（3分）在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（4，0），（4，4），（0，4），点P在x轴上，点D在直线AB上，若DA＝1，CP⊥DP于点P，则点P的坐标为 ．

三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13．（6分）（1）计算：﹣（﹣1）+|﹣2|+（﹣2）0；

（2）如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD．求证：四边形ABCD是矩形．

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14．（6分）解不等式组：并在数轴上表示它的解集．

15．（6分）在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．

（1）在图1中作弦EF，使EF∥BC；

（2）在图2中以BC为边作一个45°的圆周角．

16．（6分）为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．

（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是 ；

（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．

17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣AB为边向上作等边三角形ABC．

（1）求点C的坐标；（2）求线段BC所在直线的解析式．

，0），（，1），连接AB，以

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四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18．（8分）某校为了解七、八年级学生英语听力训练情况（七、八年级学生人数相同），某周从这两个年级学生中分别随机抽查了30名同学，调查了他们周一至周五的听力训练情况，根据调查情况得到如下统计图表：

周一至周五英语听力训练人数统计表

年级 参加英语听力训练人数

周一

七年级

八年级

合计

15

20

35

周二 周三 周四 周五

20

24

44

a

26

51

30

30

60

30

30

60

（1）填空：a＝ ；

（2）根据上述统计图表完成下表中的相关统计量：

年级

七年级

八年级

平均训练时间的中位数

24

参加英语听力训练人数的方差

34

14.4

（3）请你利用上述统计图表对七、八年级英语听力训练情况写出两条合理的评价；

（4）请你结合周一至周五英语听力训练人数统计表，估计该校七、八年级共480名学生中周一至周五平均每天有多少人进行英语听力训练．

19．（8分）如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作CD∥AB交AF于点D，连接BC．

（1）连接DO，若BC∥OD，求证：CD是半圆的切线；

（2）如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论．

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20．（8分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B﹣A﹣O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO＝6.8cm，CD＝8cm，AB＝30cm，BC＝35cm．（结果精确到0.1）．

（1）如图2，∠ABC＝70°，BC∥OE．

①填空：∠BAO＝ °．

②求投影探头的端点D到桌面OE的距离．

（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求∠ABC的大小．

（参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60）

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21．（9分）数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：

如图1，将长为12cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上，一端A固定在桌面上，图2是示意图．

活动一

如图3，将铅笔AB绕端点A顺时针旋转，AB与OF交于点D，当旋转至水平位置时，铅笔AB的中点C与点O重合．

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数学思考

（1）设CD＝xcm，点B到OF的距离GB＝ycm．

①用含x的代数式表示：AD的长是 cm，BD的长是 cm；

②y与x的函数关系式是 ，自变量x的取值范围是 ．

活动二

（2）①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格

x（cm）

y（cm）

6

0

5

0.55

4

1.2

3.5

1.58

3 2.5 2

3

1

4.29

0.5

5.08

0

2.47

②描点：根据表中数值，继续描出①中剩余的两个点（x，y）．

③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．

数学思考

（3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论．

22．（9分）在图1，2，3中，已知▱ABCD，∠ABC＝120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE为边向上作菱形AEFG，且∠EAG＝120°．

（1）如图1，当点E与点B重合时，∠CEF＝ °；

（2）如图2，连接AF．

①填空：∠FAD ∠EAB（填“＞”，“＜“，“＝”）；

②求证：点F在∠ABC的平分线上；

（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求

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的值．

六、（本大题共12分）

23．（12分）特例感知

（1）如图1，对于抛物线y1＝﹣x2﹣x+1，y2＝﹣x2﹣2x+1，y3＝﹣x2﹣3x+1，下列结论正确的序号是 ；

①抛物线y1，y2，y3都经过点C（0，1）；

②抛物线y2，y3的对称轴由抛物线y1的对称轴依次向左平移个单位得到；

③抛物线y1，y2，y3与直线y＝1的交点中，相邻两点之间的距离相等．

形成概念

（2）把满足yn＝﹣x2﹣nx+1（n为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”．

知识应用

在（2）中，如图2．

①“系列平移抛物线”的顶点依次为P1，P2，P3，…，Pn，用含n的代数式表示顶点Pn的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；

②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：C1，C2，C3，…，∁n，其横坐标分别为﹣k﹣1，﹣k﹣2，﹣k﹣3，…，﹣k﹣n（k为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．

③在②中，直线y＝1分别交“系列平移抛物线”于点A1，A2，A3，…，An，连接∁nAn，Cn﹣1An﹣1，判断∁nAn，Cn﹣1An﹣1是否平行？并说明理由．

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参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分每小题只有一个正确选项）

1．（3分）2的相反数是（ ）

A．2 B．﹣2 C． D．

【分析】根据相反数的定义求解即可．

【解答】解：2的相反数为：﹣2．

故选：B．

2．（3分）计算÷（﹣A．a

）的结果为（ ）

B．﹣a C． D．

【分析】除法转化为乘法，再约分即可得．

【解答】解：原式＝•（﹣a2）＝﹣a，

故选：B．

3．（3分）如图是手提水果篮抽象的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图为（ ）

A． B． C． D．

【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．

【解答】解：它的俯视图为

故选：A．

4．（3分）根据《居民家庭亲子阅读消费调查报告》中的相关数据制成扇形统计图，由图可知，下列说法

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错误的是（ ）

A．扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比

B．每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子超过50%

C．每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占20%

D．每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是108°

【分析】根据扇形统计图中的百分比的意义逐一判断即可得．

【解答】解：A．扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比，此选项正确；

B．每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子的百分比为1﹣40%＝60%，超过50%，此选项正确；

C．每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占30%，此选项错误；

D．每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是360°×（1﹣40%﹣10%﹣20%）＝108°，此选项正确；

故选：C．

5．（3分）已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A（2，4），下列说法正确的是（ ）

A．反比例函数y2的解析式是y2＝﹣

B．两个函数图象的另一交点坐标为（2，﹣4）

C．当x＜﹣2或0＜x＜2时，y1＜y2

D．正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大

【分析】由题意可求正比例函数解析式和反比例函数解析式，由正比例函数和反比例函数的性质可判断求解．

【解答】解：∵正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A（2，4），

∴正比例函数y1＝2x，反比例函数y2＝

∴两个函数图象的另一个交点为（﹣2，﹣4）

∴A，B选项错误

∵正比例函数y1＝2x中，y随x的增大而增大，反比例函数y2＝中，在每个象限内y随x的增大而减

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小，

∴D选项错误

∵当x＜﹣2或0＜x＜2时，y1＜y2

∴选项C正确

故选：C．

6．（3分）如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有（ ）

A．3种 B．4种 C．5种 D．6种

【分析】根据菱形的性质，找出各种拼接法，此题得解．

【解答】解：共有6种拼接法，如图所示．

故选：D．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7．（3分）因式分解：x2﹣1＝ （x+1）（x﹣1） ．

【分析】原式利用平方差公式分解即可．

【解答】解：原式＝（x+1）（x﹣1）．

故答案为：（x+1）（x﹣1）．

8．（3分）我国古代数学名著《孙子算经》有估算方法：“方五，邪（通“斜”）七．见方求邪，七之，五

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而一．”译文为：如果正方形的边长为五，则它的对角线长为七．已知正方形的边长，求对角线长，则先将边长乘以七再除以五．若正方形的边长为1，由勾股定理得对角线长为方法，则它的对角线的长是 1.4 ．

【分析】根据估算方法可求解．

【解答】解：根据题意可得：正方形边长为1的对角线长＝故答案为：1.4

9．（3分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则x1+x2+x1x2＝ 0 ．

【分析】直接根据根与系数的关系求解．

【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，

∴x1+x2＝1，x1×x2＝﹣1，

∴x1+x2+x1x2＝1﹣1＝0．

故答案为：0．

10．（3分）如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD＝∠ABC＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE＝ 20 °．

＝1.4

，依据《孙子算经》的

【分析】根据三角形内角和和翻折的性质解答即可．

【解答】解：∵∠BAD＝∠ABC＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，

∴∠ADC＝40°+40°＝80°，∠ADE＝∠ADB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，

∴∠CDE＝100°﹣80°＝20°，

故答案为：20

11．（3分）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A﹣B﹣C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝6米，在绿灯亮时，小明共用11秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB速度的1.2倍，求小明通过AB时的速度．设小明通过AB时的速度是x米/秒，根据题意列方程得： ．

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【分析】设小明通过AB时的速度是x米/秒，根据题意列出分式方程解答即可．

【解答】解：设小明通过AB时的速度是x米/秒，可得：故答案为：，

，

12．（3分）在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（4，0），（4，4），（0，4），点P在x轴上，点D在直线AB上，若DA＝1，CP⊥DP于点P，则点P的坐标为 （2，0）或（2﹣20） ．

【分析】先由已知得出D1（4，1），D2（4，﹣1），然后分类讨论D点的位置从而依次求出每种情况下点P的坐标．

【解答】解：∵A，B两点的坐标分别为（4，0），（4，4）

∴AB∥y轴

∵点D在直线AB上，DA＝1

∴D1（4，1），D2（4，﹣1）

如图：

，0）或（2+2，

（Ⅰ）当点D在D1处时，要使CP⊥DP，即使△COP1～△P1AD1

∴

即

解得：OP1＝2

∴P1（2，0）

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（Ⅱ）当点D在D2处时，

∵C（0，4），D2（4，﹣1）

∴CD2的中点E（2，）

∵CP⊥DP

∴点P为以E为圆心，CE长为半径的圆与x轴的交点

设P（x，0），则PE＝CE

即解得：x＝2±2∴P2（2﹣2

，0）

，0）或（2+2，0）．

，0），P3（2+2综上所述：点P的坐标为（2，0）或（2﹣2三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13．（6分）（1）计算：﹣（﹣1）+|﹣2|+（﹣2）0；

（2）如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD．求证：四边形ABCD是矩形．

【分析】（1）先根据相反数，绝对值，零指数幂进行计算，再求出即可；

（2）先求出四边形ABCD是平行四边形，再求出AC＝BD，最后根据矩形的判定得出即可．）

【解答】解：（1）﹣（﹣1）+|﹣2|+（＝1+2+1

＝4；

（2）证明：∵四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AC＝2AO，BD＝2OD，

∵OA＝OD，

∴AC＝BD，

13

﹣2）0 2019年江西省中考数学试卷(含解析)完美打印版

∴四边形ABCD是矩形．

14．（6分）解不等式组：并在数轴上表示它的解集．

【分析】分别解不等式，进而得出不等式组的解集，进而得出答案．

【解答】解：解①得：x＞﹣2，

解②得：x≤﹣1，

故不等式组的解为：﹣2＜x≤﹣1，

在数轴上表示出不等式组的解集为：

．

15．（6分）在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．

（1）在图1中作弦EF，使EF∥BC；

（2）在图2中以BC为边作一个45°的圆周角．

，

【分析】（1）分别延长BA、CA交半圆于E、F，利用圆周角定理可等腰三角形的性质可得到∠E＝∠ABC，则可判断EF∥BC；

（2）在（1）基础上分别延长BE、CF，它们相交于M，则连接AM交半圆于D，然后证明MA⊥BC，从而根据圆周角定理可判断DBC＝45°．

【解答】解：（1）如图1，EF为所作；

（2）如图2，∠BCD为所作．

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16．（6分）为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．

（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是 ；

（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．

【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；

（2）画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得．

【解答】解：（1）因为有A，B，C3种等可能结果，

所以八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是；

故答案为．

（2）树状图如图所示：

共有9种可能，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率＝＝．

17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣AB为边向上作等边三角形ABC．

（1）求点C的坐标；

（2）求线段BC所在直线的解析式．

，0），（，1），连接AB，以

【分析】（1）由点A、点B，易知线段AB的长度，∠BAH＝30°，而△ABC为等边三角形，得CA⊥x轴，即可知CA的长即为点C的纵坐标，即可求得点C的坐标

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（2）由（1）知点C纵标，已知点B的坐标，利用待定系数法即可求线段BC所在的直线的解析式

【解答】解：（1）如图，过点B作BH⊥x轴

∵点A坐标为（﹣∴|AB|＝∵BH＝1

∴sin∠BAH＝∴∠BAH＝30°

∵△ABC为等边三角形

∴AB＝AC＝2

∴∠CAB+∠BAH＝90°

∴点C的纵坐标为2

∴点C的坐标为（，2）

，2），点B的坐标为（，1），设直线BC的解析式为：y＝kx+b

＝

，0），点B坐标为（＝2

，1）

（2）由（1）知点C的坐标为（则，解得

故直线BC的函数解析式为y＝x+

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18．（8分）某校为了解七、八年级学生英语听力训练情况（七、八年级学生人数相同），某周从这两个年级学生中分别随机抽查了30名同学，调查了他们周一至周五的听力训练情况，根据调查情况得到如下统计图表：

周一至周五英语听力训练人数统计表

年级 参加英语听力训练人数

周一

16

周二 周三 周四 周五 2019年江西省中考数学试卷(含解析)完美打印版

七年级

八年级

合计

15

20

35

20

24

44

a

26

51

30

30

60

30

30

60

（1）填空：a＝ 25 ；

（2）根据上述统计图表完成下表中的相关统计量：

年级

七年级

八年级

平均训练时间的中位数

24

27

参加英语听力训练人数的方差

34

14.4

（3）请你利用上述统计图表对七、八年级英语听力训练情况写出两条合理的评价；

（4）请你结合周一至周五英语听力训练人数统计表，估计该校七、八年级共480名学生中周一至周五平均每天有多少人进行英语听力训练．

【分析】（1）由题意得：a＝51﹣26＝25；

（2）按照从小到大的顺序排列为：18、25、27、30、30，由中位数的定义即可得出结果；

（3）参加训练的学生人数超过一半；训练时间比较合理；

（4）求出抽查的七、八年级共60名学生中，周一至周五训练人数的平均数为50，用该校七、八年级共480名×周一至周五平均每天进行英语听力训练的人数所占比例即可．

【解答】解：（1）由题意得：a＝51﹣26＝25；

故答案为：25；

（2）按照从小到大的顺序排列为：18、25、27、30、30，

∴八年级平均训练时间的中位数为：27；

故答案为：27；

（3）参加训练的学生人数超过一半；训练时间比较合理；

（4）抽查的七、八年级共60名学生中，周一至周五训练人数的平均数为（35+44+51+60+60）＝50，

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∴该校七、八年级共480名学生中周一至周五平均每天进行英语听力训练的人数为480×＝400（人）．

19．（8分）如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作CD∥AB交AF于点D，连接BC．

（1）连接DO，若BC∥OD，求证：CD是半圆的切线；

（2）如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你的结论．

【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到AB⊥AD，推出四边形BODC是平行四边形，得到OB＝CD，等量代换得到CD＝OA，推出四边形ADCO是平行四边形，根据平行四边形的性质得到OC∥AD，于是得到结论；

（2）如图2，连接BE，根据圆周角定理得到∠AEB＝90°，求得∠EBA+∠BAE＝90°，证得∠ABE＝∠DAE，等量代换即可得到结论．

【解答】（1）证明：连接OC，

∵AF为半圆的切线，AB为半圆的直径，

∴AB⊥AD，

∵CD∥AB，BC∥OD，

∴四边形BODC是平行四边形，

∴OB＝CD，

∵OA＝OB，

∴CD＝OA，

∴四边形ADCO是平行四边形，

∴OC∥AD，

∵CD∥BA，

∴CD⊥AD，

∵OC∥AD，

∴OC⊥CD，

∴CD是半圆的切线；

18 2019年江西省中考数学试卷(含解析)完美打印版

（2）解：∠AED+∠ACD＝90°，

理由：如图2，连接BE，

∵AB为半圆的直径，

∴∠AEB＝90°，

∴∠EBA+∠BAE＝90°，

∵∠DAE+∠BAE＝90°，

∴∠ABE＝∠DAE，

∵∠ACE＝∠ABE，

∴∠ACE＝∠DAE，

∵∠ADE＝90°，

∴∠DAE+∠AED＝∠AED+∠ACD＝90°．

20．（8分）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B﹣A﹣O表示固定支架，AO垂直水平桌面OE于点O，点B为旋转点，BC可转动，当BC绕点B顺时针旋转时，投影探头CD始终垂直于水平桌面OE，经测量：AO＝6.8cm，CD＝8cm，AB＝30cm，BC＝35cm．（结果精确到0.1）．

（1）如图2，∠ABC＝70°，BC∥OE．

①填空：∠BAO＝ 160 °．

②求投影探头的端点D到桌面OE的距离．

（2）如图3，将（1）中的BC向下旋转，当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6cm时，求∠ABC的大小．

（参考数据：sin70°≈0.94，cos20°≈0.94，sin36.8°≈0.60，cos53.2°≈0.60）

19 2019年江西省中考数学试卷(含解析)完美打印版

【分析】（1）①过点A作AG∥BC，根据平行线的性质解答便可；

②过点A作AF⊥BC于点F，解直角三角形求出AF，进而计算AF+OA﹣CD使得结果；

（2）过点DE⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，过A作AF⊥BM于点F，求出CM，再解直角三角形求得∠MBC便可．

【解答】解：（1）①过点A作AG∥BC，如图1，则∠BAG＝∠ABC＝70°，

∵BC∥OE，

∴AG∥OE，

∴∠GAO＝∠AOE＝90°，

∴∠BAO＝90°+70°＝160°，

故答案为：160；

②过点A作AF⊥BC于点F，如图2，

则AF＝AB•sin∠ABE＝30sin70°≈28.2（cm），

∴投影探头的端点D到桌面OE的距离为：AF+0A﹣CD＝28.2+6.8﹣8＝27（cm）；

（2）过点DE⊥OE于点H，过点B作BM⊥CD，与DC延长线相交于点M，过A作AF⊥BM于点F，

20 2019年江西省中考数学试卷(含解析)完美打印版

如图3，

则∠MBA＝70°，AF＝28.2cm，DH＝6cm，BC＝30cm，CD＝8cm，

∴CM＝AF+AO﹣DH﹣CD＝28.2+6.8﹣6﹣8＝21（cm），

∴sin∠MBC＝∴∠MBC＝36.8°，

∴∠ABC＝∠ABM﹣∠MBC＝33.2°．

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21．（9分）数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：

如图1，将长为12cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上，一端A固定在桌面上，图2是示意图．

活动一

如图3，将铅笔AB绕端点A顺时针旋转，AB与OF交于点D，当旋转至水平位置时，铅笔AB的中点C与点O重合．

，

数学思考

（1）设CD＝xcm，点B到OF的距离GB＝ycm．

①用含x的代数式表示：AD的长是 （6+x） cm，BD的长是 （6﹣x） cm；

②y与x的函数关系式是 y＝活动二

（2）①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格

x（cm）

，自变量x的取值范围是 0≤x≤6 ．

6 5 4 3.5 3 2.5

21

2 1 0.5 0 2019年江西省中考数学试卷(含解析)完美打印版

y（cm） 0 0.55 1.2 1.58 2 2.47 3 4.29 5.08 6

②描点：根据表中数值，继续描出①中剩余的两个点（x，y）．

③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．

数学思考

（3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论．

【分析】（1）①利用线段的和差定义计算即可．

②利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．

（2）①利用函数关系式计算即可．

②描出点（0，6），（3，2）即可．

③由平滑的曲线画出该函数的图象即可．

（3）根据函数图象写出两个性质即可（答案不唯一）．

【解答】解：（1）①如图3中，由题意AC＝OA＝AB＝6（cm），

∵CD＝xcm，

∴AD＝（6+x）（cm），BD＝12﹣（6+x）＝（6﹣x）（cm），

故答案为：（6+x），（6﹣x）．

②作BG⊥OF于G．

∵OA⊥OF，BG⊥OF，

∴BG∥OA，

22 2019年江西省中考数学试卷(含解析)完美打印版

∴＝，

，

（0≤x≤6），

，0≤x≤6．

∴＝∴y＝故答案为：y＝

（2）①当x＝3时，y＝2，当x＝0时，y＝6，

故答案为2，6．

②点（0，6），点（3，2）如图所示．

③函数图象如图所示．

（3）性质1：函数值y的取值范围为0≤y≤6．

性质2：函数图象在第一象限，y随x的增大而减小．

22．（9分）在图1，2，3中，已知▱ABCD，∠ABC＝120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE为边向上作菱形AEFG，且∠EAG＝120°．

（1）如图1，当点E与点B重合时，∠CEF＝ 60 °；

（2）如图2，连接AF．

①填空：∠FAD ＝ ∠EAB（填“＞”，“＜“，“＝”）；

②求证：点F在∠ABC的平分线上；

（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求

23 2019年江西省中考数学试卷(含解析)完美打印版

的值．

【分析】（1）根据菱形的性质计算；

（2）①证明∠DAB＝∠FAE＝60°，根据角的运算解答；

②作FM⊥BC于M，FN⊥BA交BA的延长线于N，证明△AFN≌△EFM，根据全等三角形的性质得到FN＝FM，根据角平分线的判定定理证明结论；

（3）根据直角三角形的性质得到GH＝2AH，证明四边形ABEH为菱形，根据菱形的性质计算，得到答案．

【解答】解：（1）∵四边形AEFG是菱形，

∴∠AEF＝180°﹣∠EAG＝60°，

∴∠CEF＝∠AEC﹣∠AEF＝60°，

故答案为：60°；

（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠DAB＝180°﹣∠ABC＝60°，

∵四边形AEFG是菱形，∠EAG＝120°，

∴∠FAE＝60°，

∴∠FAD＝∠EAB，

故答案为：＝；

②作FM⊥BC于M，FN⊥BA交BA的延长线于N，

则∠FNB＝∠FMB＝90°，

∴∠NFM＝60°，又∠AFE＝60°，

∴∠AFN＝∠EFM，

∵EF＝EA，∠FAE＝60°，

∴△AEF为等边三角形，

∴FA＝FE，

在△AFN和△EFM中，

，

∴△AFN≌△EFM（AAS）

∴FN＝FM，又FM⊥BC，FN⊥BA，

∴点F在∠ABC的平分线上；

24 2019年江西省中考数学试卷(含解析)完美打印版

（3）∵四边形AEFG是菱形，∠EAG＝120°，

∴∠AGF＝60°，

∴∠FGE＝∠AGE＝30°，

∵四边形AEGH为平行四边形，

∴GE∥AH，

∴∠GAH＝∠AGE＝30°，∠H＝∠FGE＝30°，

∴∠GAN＝90°，又∠AGE＝30°，

∴GN＝2AN，

∵∠DAB＝60°，∠H＝30°，

∴∠ADH＝30°，

∴AD＝AH＝GE，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴BC＝AD，

∴BC＝GE，

∵四边形ABEH为平行四边形，∠HAE＝∠EAB＝30°，

∴平行四边形ABEN为菱形，

∴AB＝AN＝NE，

∴GE＝3AB，

∴＝3．

六、（本大题共12分）

23．（12分）特例感知

（1）如图1，对于抛物线y1＝﹣x2﹣x+1，y2＝﹣x2﹣2x+1，y3＝﹣x2﹣3x+1，下列结论正确的序号是

25 2019年江西省中考数学试卷(含解析)完美打印版

①②③ ；

①抛物线y1，y2，y3都经过点C（0，1）；

②抛物线y2，y3的对称轴由抛物线y1的对称轴依次向左平移个单位得到；

③抛物线y1，y2，y3与直线y＝1的交点中，相邻两点之间的距离相等．

形成概念

（2）把满足yn＝﹣x2﹣nx+1（n为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”．

知识应用

在（2）中，如图2．

①“系列平移抛物线”的顶点依次为P1，P2，P3，…，Pn，用含n的代数式表示顶点Pn的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；

②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：C1，C2，C3，…，∁n，其横坐标分别为﹣k﹣1，﹣k﹣2，﹣k﹣3，…，﹣k﹣n（k为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．

③在②中，直线y＝1分别交“系列平移抛物线”于点A1，A2，A3，…，An，连接∁nAn，Cn﹣1An﹣1，判断∁nAn，Cn﹣1An﹣1是否平行？并说明理由．

【分析】（1）①当x＝0时，分别代入抛物线y1，y2，y3，即可得y1＝y2＝y3＝1；

②y2＝﹣x2﹣2x+1，y3＝﹣x2﹣3x+1的对称轴分别为x＝﹣1，x＝﹣，y1＝﹣x2﹣x+1的对称轴x＝﹣，

③当y＝1时，则﹣x2﹣x+1＝1，可得x＝0或x＝﹣1；﹣x2﹣2x+1＝1，可得x＝0或x＝﹣2；﹣x2﹣3x+1＝1，可得x＝0或x＝﹣3；所以相邻两点之间的距离都是1，

（2）①yn＝﹣x2﹣nx+1的顶点为（﹣，），可得y＝x2+1；

②横坐标分别为﹣k﹣1，﹣k﹣2，﹣k﹣3，…，﹣k﹣n（k为正整数），当x＝﹣k﹣n时，y＝﹣k2﹣nk+1，纵坐标分别为﹣k2﹣k+1，﹣k2﹣2k+1，﹣k2﹣3k+1，…，﹣k2﹣nk+1，相邻两点间距离分别为；

③当y＝1时，﹣x2﹣nx+1＝1，可求A1（﹣1，1），A2（﹣2，1），A3（﹣3，1），…，An（﹣n，1），

26 2019年江西省中考数学试卷(含解析)完美打印版

C1（﹣k﹣1，﹣k2﹣k+1），C2（﹣k﹣2，﹣k2﹣2k+1），C3（﹣k﹣3，﹣k2﹣3k+1），…，∁n（﹣k﹣n，﹣k2﹣nk+1）；

【解答】解：（1）①当x＝0时，分别代入抛物线y1，y2，y3，即可得y1＝y2＝y3＝1；①正确；

②y2＝﹣x2﹣2x+1，y3＝﹣x2﹣3x+1的对称轴分别为x＝﹣1，x＝﹣，

y1＝﹣x2﹣x+1的对称轴x＝﹣，

由x＝﹣向左移动得到x＝﹣1，再向左移动得到x＝﹣，

②正确；

③当y＝1时，则﹣x2﹣x+1＝1，

∴x＝0或x＝﹣1；

﹣x2﹣2x+1＝1，

∴x＝0或x＝﹣2；

﹣x2﹣3x+1＝1，

∴x＝0或x＝﹣3；

∴相邻两点之间的距离都是1，

③正确；

故答案为①②③；

（2）①yn＝﹣x2﹣nx+1的顶点为（﹣，令x＝﹣，y＝∴y＝x2+1；

②∵横坐标分别为﹣k﹣1，﹣k﹣2，﹣k﹣3，…，﹣k﹣n（k为正整数），

当x＝﹣k﹣n时，y＝﹣k2﹣nk+1，

∴纵坐标分别为﹣k2﹣k+1，﹣k2﹣2k+1，﹣k2﹣3k+1，…，﹣k2﹣nk+1，

∴相邻两点间距离分别为∴相邻两点之间的距离都相等；

③当y＝1时，﹣x2﹣nx+1＝1，

∴x＝0或x＝﹣n，

∴A1（﹣1，1），A2（﹣2，1），A3（﹣3，1），…，An（﹣n，1），

C1（﹣k﹣1，﹣k2﹣k+1），C2（﹣k﹣2，﹣k2﹣2k+1），C3（﹣k﹣3，﹣k2﹣3k+1），…，∁n（﹣k﹣n，﹣k2﹣nk+1），

27

），

，

； 2019年江西省中考数学试卷(含解析)完美打印版

∵＝k+1，＝k+2，＝k+3，…，＝k+n，

∴∁nAn不平行Cn﹣1An﹣1；

28