2024年1月10日发(作者：现在高考还有数学试卷吗)
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华东师范大学数学（B）考研复习笔记
一、 华东师范大学数学（B）考试范围
a.高等数学（函数、极限、连续、一元函数微积分、多元函数微积分、无穷级数、常微分方程）；
b.线性代数（行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量）。
参考教材为《线性代数》科学出版社 《高等数学》同济出版社
二、 数学（B）考试特点及考生应对策略
数学（B）考试试题难度一般，重视考生基础，考试难度基本上与国家统考数学（四）差不多，数学题量较大。
考生在复习时，按照同济版本的教材认真复习，把书上的题要弄会弄懂。牢固掌握书上的基本概念，基本原理，掌握解题的常规方法，要善于总结。例如，对求极限的题共有哪些方法，考生必须会灵活应用。
在复习时挑一本比较好的练习册，不用做太多的题，但是做一道要讲究质量，不要做太难的题，考试考的都比较基础。
考生在平时的复习时要提高自己的做题速度，前提是保证质量。由于考试的题量较大，再加上考试时或多或少的会紧张，因此打好平时的基本功是考试获得高分的关键。
考生还要注意一点，华东师范大学数学（B）出题的难度一年比一年有所加大，但是增加难度的幅度不是很大。考生不要因为做哪一年的真题觉得简单就掉以轻心，就少用时间复习。要时刻记住，你考得是华东师大，没那么容易就让你拿分，每道题都需要自己动脑其琢磨，认认真真地做。
至于真题，建议考生只要把04、05、06年的真题认真做做，研究研究，其他的真题就不用研究了，没必要。看看数学（B）出题的难度，题型，以及出题难度的逐年变化。心里有个底，知道复习的时候应该怎么样复习，复习到什么难度。
对于具体的考试内容，将在数学（B）考研笔记中有所反映，有些知识点考生不用看的，在笔记中有所标记。考生可以按照考研笔记的顺序复习。肯定不考的知识有向量代数和空间解析几何，曲面积分，二次型。在高数种所有关于微积分的物理应用知识都不考，方向导数和梯度也不考。
在本人编写的考研笔记中对有些章节中不考的会有所标记，对于考的知识点会标记出能出哪些题型，出题的难度如何。有些解决问题的方法也会体现其中。
三、数学（B）考研笔记
见下页。
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第一篇 高等数学
第一章 函数、极限、连续与求极限的方法
第一节 函数
1、几种常见的函数：
有界函数、奇函数和偶函数、单调函数、周期函数。
考生要掌握每一种函数的具体性质，这是做其他题的基础。
常见题型：给定函数f（x），判断它的以上性质。
2、复合函数：已知f（x）和g（x），求f（g（x））和g（f（x））。
解题时认真仔细。注意函数的定义域限制。
3、反函数：了解其性质。注意定义域和值域。
4、理解初等函数的含义：由基本初等函数函数经过有限次四则运算及复合运算而得到的一切函数称为初等函数。
第二节 极限的概念与性质
1、极限的定义要深刻理解。了解定义法证明极限存在与否的方法。
2、极限的基本性质：
（1） 数列极限的基本性质：极限的不等式性质，极限的唯一性，收敛数列的有界性。这三个性质和重要，在求数列的极限时常用。
（2） 函数极限的基本性质：极限的不等式性质，极限的唯一性，极限的保号性，存在极限的函数局部有界性。这四个性质和重要，在求函数的极限时常用。
（3） 三个重要极限：lim（sin x/x）=1 其中x—〉0
Lim（1+1/x）x=e 其中x---〉∞
Lim（ln（1+x）/x）=1 其中x—〉0
这几个极限一定要熟练掌握，每年考试求极限都会用上这三个极限。注意极限满足的条件。不要盲目的不加思考的用。有时还要灵活应用加以变形。参见04年真题填充题第一题。
第三节 极限的存在与不存在的问题
1、数列收敛性的判别：应用夹逼定理和单调有界数列必收敛定理。很重要。
常考题型：判断数列是否收敛，与级数性质结合解题。
2、函数的极限的存在与不存在问题。夹逼定义和单侧极限与双侧极限的关系。要掌握原理。
第四节 无穷小及其阶
1、理解无穷大与无穷小定义。
2、无穷大与无穷小、无穷小与极限的关系。
3、无穷小阶的概念：同阶无穷小，邓加无穷小，高阶无穷小。这个问题年年有题。参见04年选择第一题。
4、几个重要的等价无穷小。Sin x~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x
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1-cosx~1/2x2
ax-1~xlna ex-1~x ln(1+x)~x (1+bx)a-1~abx
这些公式考生一定要背熟，做题时经常用。这些公式经常用于求极限中。
5、确定无穷小阶的方法：利用洛必达法则，泰勒公式，利用无穷小阶的运算性质。参见05年选择第一题。
第五节 函数的连续性及其判断
1、 掌握连续性的概念、满足连续性的条件。F（x）在x0连续《--》f（x）在x0既左连续又右连续。
常考题型：用于判断可导的条件。与导数题联系一起。参见05年选择第2题。
2、 间断点的定义与分类。第一类间断点与第二类间断点的区别。可去间断点与跳跃间断点属于第一类，无穷间断点属于第二类。
常考题型：判断间断点类型。
3、 判断函数的连续性的方法：若是初等函数处处连续；用连续性运算法则；分别判断左右连续性或者按定义来判断。
常考题型：基本上每年都有题，一般情况与积分，导数结合出大题，参见05年四证明题。06年也考了。
第六节 求极限的方法
1、 极限的方法：
（1） 利用极限的四则运算法则与幂指数运算法则求极限
（2） 利用函数的连续性求极限
（3） 利用变量替换与两个重要极限求极限
（4） 利用等价无穷小因子替换求极限，熟记上面的替换公式。
（5） 利用洛必达达则求极限。注意洛必达法则应用的条件。
（6） 分别求左右极限求得函数极限。一般常用于分段函数。
（7） 利用函数极限求数列极限。把数列转化为函数，讨论函数的敛散性。
（8） 用夹逼法求极限。简单的放大缩小手段，利用极限的不等式性质进行放大或缩小。
（9） 对积分的极限可利用积分的性质进行方法或缩小。
（10）递归数列求极限。这个方法经常考大题。
（11）利用定积分求某些和式的极限
（12）利用导数定义求极限。
极限是高等数学考察的重点内容，可以说如果极限不会，那么高数肯定就学不明白。考生要在极限上多下功夫。
第二章 一元函数的导数与微分以及计算
第一节 一元函数的导数与微分
1、掌握导数的定义。这是学好导数的基础问题
2、F（x）在x0可导《--》f（x）在两侧都可导。
3、掌握可微的定义，可微、可导和连续的关系，微分和导数的关系。
4、由一阶导数基本公式能推导出二阶导数的公式。理解每一个因子的含义。
5、函数的奇偶性与周期函数的关系：
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设f（x）在I上可导，若f（x）在I上为奇函数—〉f’（x）在I上为偶函数。
若f（x）在I上为偶函数—〉f’（x）在I上为奇函数。
在判断函数奇偶性时有时会用上这个结论。
第二节 按定义求导数及其适用的情形
1、掌握按定义法求导数的方法以及这种方法适用的情形。
2、利用导数定义求极限。
第三节 基本初等函数函数表与导数四则运算法则
1、基本初等函数求导法则。考生一定要熟练应用。这是求导的基础。
2、导数和微分四则运算法则。
第四节 复合导数的微分法则
1、掌握复合函数的微分法则。
常考题型：这个问题经常在计算题中出现。做题时只要认真就可以。
第五节 由复合函数求导法则推导出的微分法则
1、幂指数函数f（x）g(x)的求导法：幂指数法和对数求导法。
2、反函数求导法。
3、由参数方程确定的函数的求导法。
4、变限积分求导法。
5、隐函数微分法。
这几种方法在历年真题中反复出现。做题要仔细。
第六节 分段函数求导法则
1、按求导法分别求连接点处的左右导数。
2、按定义法求连接点处的导数或者左右导数。
3、连接点是连续点时，求导函数在连接处的极限值。还是应用定义法。
第七节 高阶导数及n阶导数的求法
1、归纳法。考生应掌握一些初等函数的n阶导数公式。
（n）（1）（eax+b）=aneax+b （2）(sin(ax+b))(n)=ansin(ax+b+n兀/2)
(3)(cos(ax+b))(n)=ancos(ax+b+n兀/2)
(4)((ax+b)m)(n)=anm(m-1)……(m-n-1)(ax+b)m-n
2、将某些恒等式分解成上述简单函数之和。
3、用莱布尼茨法则求成绩的N阶导数。
第八节 一元函数微分学的简单应用
1、求平面曲线的切线和法线。
2、用参数方程表示的平面曲线。
3、用隐式方程表示的平面曲线。
第三章 一元函数积分概念、计算及其应用
第一节 一元函数积分的概念、性质与基本定理
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1、 基本基本公式考生一定要会。建议考生把书上所有常用的积分公式整理在一张纸上，备用。
2、原函数与不定积分的定义，关系。求不定积分与微分是互为逆运算的关系。
3、关于定积分的概念注意以下几点：
（1） 定积分要求积分区域有限，被积函数有界。
（2） 定积分的值与积分变量的选取无关，只与被积函数及积分区间有关。
4、了解定积分的几何意义。
5、函数的可积性:
可积的必要条件：f（x）在[a，b]上可积，则f（x）在[a，b]上有界。
可积的充分条件：（1）f（x）在[a，b]上连续；（2）f（x）在[a，b]上有界且只有有限个间断点。（3）f（x）在[a，b]单调。
6、 掌握定积分的基本性质：线形性质，对区间的可加性质，比较定理，积分中值定理，连续非负函数的积分性质。在做积分的题时这些是基础性知识。
7、定积分基本定理：
变上限积分；牛顿---莱布尼茨公式。
8、奇偶函数与周期函数的积分性质。这个很重要，在解定积分的题时经常用，会给解题带来很多方便。参见05年计算机题第三题。06年也应用了这个知识点。
第二节 积分法则
1、分项积分法则：把一个复杂的函数分解成几个简单函数之和。
2、 分段积分法。注意要搞清积分限于分段函数的分界点之间的位置关系。要进行正确分段。
3、换元积分法：对于不定积分，可采用凑微分法和第二类积分法。
对于定积分，将被积函数中变量直接换元成其他形式。
4、常用的变量替换：三角替换，幂函数替换，指数函数替换，倒替换。
5、分部积分法。
积分题不外乎就这种方法，考生在平时做题时要善于思考，归类总结。积分题是每年的重点。占的比重很大。
第三节 各类函数的积分法
1、有理函数的积分：掌握教材上的一些公式。
2、简单无理函数的积分：通常用替换法将分母中的根式去掉。
3、三角有理式的积分：记住万能公式。
第四节 广义积分
1、广义积分的定义：一定要掌握。
2、会计算广义积分：有时可利用变量替换使广义积分的上下限变为定积分。
参见05真题选择题4。出题基本上就这个难度。
第五节 一元函数积分学的几何应用
1、 平面图形的面积：直角坐标系和极坐标系的面积计算公式必须会。基本上每年都有题。
2、平面曲面的弧长公式。
3、空间图形的体积。掌握已知平行截面面积的立体体积，旋转体的体积的计算。
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第四章 微分中值定理及其应用
第一节 连续函数的性质
1、 有界闭区域上连续函数的性质：连续函数中值定理；连续函数零点存在性定理；有界闭区域上连续函数德有界性定理；有界闭区域上连续函数存在最大、最小值定理。
2、利用连续函数中值定理估计方程式根的存在性以及根的个数。
第二节 微分中值定理及其应用
1、深刻理解极值的定义区分与最大值和最小值的区别。以免做题时出错。
2、简单应用费马定理，罗尔定理，拉格朗日中值定理以及柯西中值定理。
第三节 利用导数研究函数的变化
1、知道函数为常数的条件与恒等式的证明。
2、函数单调性的判断。这个问题很重要，在大题中经常考。
3、极值点判别法。利用极值第一充分判断定理和第二判断定理。基本上每年求极值都是求二元函数极值。
4、 凸凹性判别法：利用一阶导数、二阶导数以及单调性的相关知识。掌握书上的判别定理。
5、拐点判断：利用上述知识判断。
注：前几年经常靠函数作图题，近几年没考过，但考生最好还是看看。若考这方面题的话基本上一道题考核了以上所有知识点，做题时认真。
6、利用微分学证明不等式。
第四节 一元函数的最大值与最小值问题
1、设f（x）在[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]取到最大值和最小值。
2、利用极值判断定理求最大值和最小值。
第五章 一元函数的泰勒公式以及应用
第一节 带皮亚诺余项与拉格朗日余项的n阶泰勒公式
1、把基本公式一定要背会，这是做题的基础。考生最好掌握一下余项。
第二节 泰勒公式的求法
1、 一些基本的泰勒公式展开式考生一定要背会。以前考过泰勒公式的展开式。因为这一内容与级数密切相关。每年都对有级数的大题，都需要泰勒公式的基础。
2、泰勒公式具有唯一性。
3、 麦克劳林展开式很重要。经常考麦克劳林展开式。写展开式时要注意余项以及x的趋向值。
注意：考生不要做太难得展开式，复杂的不会考的。
第三节 一元函数泰勒公式的若干应用
1、 利用泰勒公式求极限。这种方法是万能的，除非考生实在不会做再用这种方法。
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2、利用泰勒公式确定无穷小的阶。
3、证明不等式。这在考题中经常出现。
第六章 微分方程
第一节 基本概念
理解常微分方程、线形微分方程与非线性微分方程、微分方程的阶、微分方程的解，通解和初始条件。
第二节 一阶微分方程
1、掌握以下一种微分方程的解法：
可分离变量的方程，一阶线形方程以及相对的齐次方程，y’=f(y/x),y’=f((ax+by+c)/(a1x+b1y+c1))，伯努利方程。
注意：考生只需掌握以上几种类型方程的解法。微分方程是每年必考的题，在计算题出现。
第三节 可降阶的高阶方程
1、掌握不显含Y的二阶方程和不显含X的二阶方程。
在应用题中出现。考生可参看每年的计算题。
第四节 线性微分方程的性质与解的结构
1、看看书上的基本原理。至多出个选择题。
第五节 二阶和某些高阶常系数齐次线性方程
1、 掌握二阶常系数线性方程的通解的三种形式。必须要掌握，这个问题可以出大题，填空题可出现过。
2、欧拉方程不考。
第六节 二阶常系数非齐次方程
1、把书上的一些题弄明白。掌握解法。
注：关于微分方程这一章每年一到两道题，大题是肯定会出现的，不过需要考生灵活应用。一般于其他知识结合出题。参见05年计算题第4题。
第七章 多元函数微分学
第一节 多元函数微分学的概念、极限与连续性
1、会求简单的二元函数的极限，二元函数与一元函数有相同的极限运算法则、极限性质、连续性判断方法（最值定理，中值定理）。
2、二元函数z=f（x，y）极限的不存在问题：当（x，y）沿不同的路径趋于（x0，y0）时f（x，y）趋于不同的值或（x，y）沿某路径趋于（x0，y0）时f（x，y）趋于∞，则极限不存在。
第二节 多元函数的偏导数与全微分
1、掌握偏导数的定义，了解偏导数的几何意义。
注意：求偏导数，归结为求一元函数的导数。在某些情况下求偏导数需要用定义法求偏导数比较简单。
2、可微分和全微分的定义。全微分的几何意义。
3、偏导数的连续性、函数可微性、可偏导性与函数连续之间的关系要掌握。
4、高阶偏导数、混合偏导数与求导次序无关。
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常见题型：在某些求导问题中，如何变换求导次序可能会给解题带来方便。
第三节 多元函数微分法则
1、全微分四则运算法则。经常出现写出全微分形式的题。
2、多元复合函数的微分法则考生一定要会，这个知识点是解决大题的基础。
3、复合函数的二阶偏导数。
注：基本上每年都会有一道题是关于复合函数的二阶偏导数的。考生首先掌握原理性知识，最好把书上的相关例题研究明白。在考试做题的时候认真点。这类题需要高度的认真才能拿满分。
第四节 复合函数求导法则----隐函数微分法
1、会求由方程式确定的隐函数求导法则。注意能用此方法的条件。
2、 有方程组确定的隐函数求导法则。这个问题也经常考。05年考过。一般这个知识点与微分学的几何应用联系。
第五节 复合函数求导法则的其他应用
1、一个重要应用是：作变量替换时，求函数在新变量下的偏导数，有时通过变量替换可将某些微分方程化简。
第六节 多元函数极值充分判别法
1、知道多元函数极值及驻点的定义。二者的求法是不一样的。
2、多元函数取得极值的充分条件与必要条件。
（1） 必要条件；设f（x，y）在点（x0,y0）具有偏导数，且在(x0,y0)取机制，则它在该点的偏导数必然为零。
注：具有偏导数的极值点必然是驻点，但驻点不一定是极值点。
（2）充分条件：设z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有连续的二阶偏导数，又f’x(x0,y0)=0, f’y(x0,y0)=0,令f’’xx（x0，y0）=A，f’xy（x0，y0）=B，f’’yy（x0，y0）=C，则
（1）AC-B2>0,f(x,y)在(x0,y0)取极值，且当A〉0时取极小值，A《0时取极大值。
（2）AC-B2〈0,(x0,y0)不是极值。
（3）AC-B2=0, 不能确定。
注：这个知识点是一定要会的，每年都会有求极值的题。
第七节 多元函数的最大值与最小值
1、求极值的问题：简单极值，条件极值。
2、求极值的方法：
（1） 利用一阶偏导数。（2）拉格朗日乘数法 （3）条件极值。
这个知识点与第六节综合应用。
注意：求极值的实际应用题时要注意参数的实际范围。
第八章 二重积分
第一节 二重积分的概念与性质
1、掌握二重积分的定义以及几何意义（要与三重积分区别）。
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2、二重积分的性质：线性性质，对区域的可加性质，比较定理，积分中值定理，连续非负函数的积分性质。
3、考生一定要掌握对称区域上奇偶函数的积分性质。每年对会有求二重积分的题，这个知识点必须要用，节省时间，带来方便。
第二节 在直角坐标系中化二重积分为累次积分
1、化二重积分为累次积分这个问题在填空题经常出现
注：有时在解二重积分题时概念积分次序会给解题带来方便。
第三节 二重积分的变量变换
1、二重坐标的平移变换。大纲中没要求，不过这种方法有时用起来简化问题。
2、 二重积分的极坐标变换。这是解二重积分的常用方法，注意变为极坐标后积分上下限的变化。
第四节 如何利用计算公式计算或简化二重积分
有以下几种方法。
1、选择积分顺序。
2、注意利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性。
3、有时要利用分块积分法。
4、选用极坐标变换或平移变换。
第九章 多元函数积分的概念、计算及其应用
第一节 多元函数积分的概念和性质
1、理解三重积分定义以及几何意义。
第二节 在直角坐标系中化多元函数的积分为定积分
1、会将三重积分化为累次积分，并对此计算三重积分的值。
第三节 重积分的变量替换
求解三重积分的常用方法：
（1）极坐标变换 （2）三重积分的求坐标变换。
第四节 如何应用多元函数为积分的计算公式及简化计算
1、选择积分顺序
2、注意利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性。
3、有时要利用分块积分法。
第五节 多元微积分学的几何应用
1、空间图形的体积。
（1） 空间平行截面面积的立体体积。
（2） 旋转体的体积
（3） 柱形长条区域的体积。
注：物理应用方面的计算不用看
第十章 无穷级数
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第一节 常数项级数的概念与基本性质
1、掌握级数及其收敛的基本概念
2、级数的基本性质。必须会。参见教材。
第二节 正项级数敛散性的判断
1、正项级数的敛散性的判断：收敛的充要条件是：它的部分和数列有界。----这是正项级数敛散性判断的基础知识。
2、其他方法有：比较判别法，比值判别法，根植判断法，与p级数比较确定无穷小un关于1/n的阶。
第三节 交错级数敛散性的判断
1、交错级数的敛散性判断：莱布尼茨判别法。这个定理一定要会。
第四节 绝对级数与条件级数
1、绝对收敛与条件收敛的的定义。
2、关于绝对收敛和条件收敛的基本结论：
（1） 绝对收敛的级数一定收敛
（2） 条件收敛级数的正向（或负向）构成的级数一定发散。
（3） 绝对收敛的级数与条件收敛级数之和是条件收敛级数。
第五节 函数项级数的收敛域和函数
1、收敛点与收敛域的区别。
2、 和函数：这个问题基本上每年都会考一道计算题。考生只要做几道这方面的题，掌握这方面题的常规技巧就可以。
第六节 幂级数的收敛域
1、幂级数收敛的特点：参见书上。
2、 收敛半径及收敛域的求法。首先求收敛半径，然后讨论端点的敛散性，最后写出收敛域。
第七节 幂级数的运算与函数的性质
1、会逐项求导和主项求和的方法。
2、 注意逐项求导和主项求和后收敛域的端点是否可以取到。做题时要讨论，不要忘了。
第八节 幂级数的求和与函数的幂级数展开
1、与泰勒公式联系写出幂级数的展开式。
2、注意函数展开成幂级数的条件。
3、 一些常用的幂级数展开式考生一定要背会，考试时省时间。如ex,sin x,cos
x,ln(1+x),(1+x)a,1/(1+x),1/(1-x).
注：至少把教材上的课后题都研究明白。傅立叶级数不考。
第二篇 线性代数
参见复印的线性代数笔记。
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