2024年4月6日发(作者：数学试卷收纳手提袋)

西城区高三模拟测试试卷

数学

本试卷共

6

页，

150

分

.

考试时长

120

分钟

.

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷

上作答无效

.

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

.

第一部分（选择题

共

40

分）

一、选择题共

10

小题，每小题

4

分，共

40

分

.

在每小题列出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项

.

1.

已知集合

Ax4x2

，

Bxx9

，则

AB

（

）

A.

4,3

C.

4,2

【答案】

A

【解析】

【分析】先求

B

，再求并集即可

【详解】易得

B

x|3x3

，故

AB

4,3

故选：

A

2.

已知双曲线的焦点分别为

F

1

，

F

2

，

F

1

F

2

4

，双曲线上一点

P

满足

PF

1

PF

2

2

，

则该双曲线的离心率为（

）

A.

B.

3,2

D.

3,3



2

2

B.

3

C. 2D. 3

【答案】

C

【解析】

【分析】由双曲线的定义和焦距即可求出

a

和

c

的值，进而可求离心率

.

【详解】因为

F

1

F

2

2c4

，所以

c2

，

又因为

PF

1

PF

2

2

，所以由双曲线的定义可知

2a2

，解得

a1

，

则双曲线的离心率

e

故选：

C

.

c

2

，

a

3.

已知

a

n

为等差数列，首项

a

1

2

，公差

d3

，若

a

n

a

n

2

28

，则

n

（

）

A. 1B. 2C. 3D. 4

【答案】

D

【解析】

【分析】首先求出通项公式，再代入得到方程，解得即可；

【详解】解：因为首项

a

1

2

，公差

d3

，所以

a

n

a

1

n1

d3n1

，

因为

a

n

a

n

2

28

，所以

3n1

3

n2

128

，解得

n4

故选：

D

4.

下列函数中，与函数

yx

3

的奇偶性相同，且在

0,

上有相同单调性的是（

）

x

A.

y

1

2

B.

ylnx

C.

ysinx

D.

yxx

【答案】

D

【解析】

【分析】根据指对函数的性质判断

A

、

B

，由正弦函数性质判断

C

，对于

D

有

2

y

f(x)

x,x

0

2

0

，即可判断奇偶性和

0,

单调性

.

x,x

【详解】由

yx

3

为奇函数且在

0,

上递增，

x

A

、

B

：

y

1

2

、

ylnx

非奇非偶函数，排除；



C

：

ysinx

为奇函数，但在

0,

上不单调，排除；

D

：

y

f(x)

x

2

,x

0

2

0

，显然

f(x)f(x)

且定义域关于原点对称，在

0,

上递

x,x

增，满足

.

故选：

D

5.

已知直线

ykx2

与圆

C

：

x

2

y

2

2

交于

A

，

B

两点，且

AB2

，则

k

的值为（

）

A.

3

3

B.

3

C.

3

D. 2

【答案】

B

【解析】

【分析】利用圆的弦长、弦心距、半径关系，以及点线距离公式列方程求

k

值

.

【详解】由题设

C(0,0)

且半径

r

所以

C

到

ykx2

的距离

d

2

，弦长

AB2

，

|AB|

2

)1

，

2

r

2

(

即

2

1

k

2

1

，可得

k3

.

故选：

B

r



1



6.

已知

e

是单位向量，向量

a

满足

ae1

，则

a

的取值范围是（

）

2

A.

0,

B.

0,1

1

C.

,



2

【答案】

C

【解析】

【分析】根据向量数量积的定义即可求解

.

1

D.

,1

2



【详解】依题意，

a

ea

e

cosa,ea

cosa,e

，

11





1

a



，

a

cosa,e1

，

cosa,e0

，

2cosa,ecosa,e

2



1

0cosa,e1

，

a

，

又∵

2

故选：

C.

7.

已知函数

f(x)2sin

2x

，

数

”

的（

）

A.

充分而不必要条件

C.

充分必要条件

B.

必要而不充分条件

D.

既不充分也不必要条件

2

，那么

“

6

”

是

“

f(x)

在



,

上是增函

66



【答案】

A

【解析】

【分析】求得当

4

2

k

x

4

2

k

,

k

Z

时，

f(x)

是增函数

,

进而判断

6

时，函数的单调性，即可得出结果

.

【详解】当

2

2

k

2

x

2

2

k

，

kZ

,

f(x)

单调递增

.

则当

4

2

k

x

4

2

k

,

k

Z

时，

f(x)

是增函数

,

当

函数；

π





时

,

f(x)

在



k

x



k

,

k

Z

单调递增，可得

f(x)

在

,

上是增

636

66

当



数；

6

时

,

f(x)

在

6

k

x

3

k

,

k

Z

单调递增，可得

f(x)

在



,

上是增函

66



反之，当

f(x)

在











,

上是增函数时，由

,

,

，可知，此时

66



66



44

0,k0

，即

6

6

不成立

.

所以

“

故选：

A.

”

是

“

f(x)

在



,

上是增函数

”

的充分而不必要条件.

66

8.

已知

f(x)lgxa

，记关于

x

的方程

f(x)1

的所有实数根的乘积为

g

a

，则

g

a

（

）

A.

有最大值，无最小值

C.

既有最大值，也有最小值

【答案】

D

【解析】

【分析】求出方程

f(x)1

的实数根，从而可得

g

a

，再根据指数函数的性质即可得解

.

B.

有最小值，无最大值

D.

既无最大值，也无最小值

【详解】解：由

f(x)1

，

得

lgxa1

，所以

x

10

a

1

或

10

a1

，

故

g

a

10

，

2a

所以函数

g

a

既无最大值，也无最小值.

故选：

D

.

x

2

3,x

0

9.

若函数

f

x

的定义域和值域的交集为空集，则正数

a

的取值范围是

2

x

2

,0

x

a

（

）

A.

0,1

C.

1,4

【答案】

B

【解析】

【分析】首先得到函数的定义域，再分析当

x0

时

f

x

的取值，即可得到

a3

，再对

B.

0,1

D.

2,4

0xa

时分

a2

和

0a2

两种情况讨论，求出此时

f

x

的取值，即可得到

f

x

的

值域，从而得到不等式，解得即可；

x

2

3,x

0

【详解】解：因为

f

x

，所以

f

x

的定义域为

,a

，

a0

，

2

x

2

,0

x

a

当

x0

时

f

x

2

3

，则

f

x

在

,0

上单调递增，所以

f

x

3,4

；

x

要使定义域和值域的交集为空集，显然

0a3

，

当

0xa

时

f

x

x2

，

若

a2

则

f

2

0

，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，

若

0a2

时

f

x

在

0,a

上单调递减，此时

f

x

a

2

,4

，

2

2

则

f

x

a

2

,4

3,4

，

2

2

a

a

2

所以

，解得

0a1

，即

a

0,1

0

a

2

故选：

B

10.

如图为某商铺

A

、

B

两种商品在

2022

年前

3

个月的销售情况统计图，已知

A

商品卖出一

件盈利

20

元，

B

商品卖出一件盈利

10

元

.

图中点

A

1

、

A

2

、

A

3

的纵坐标分别表示

A

商品

2022

年前

3

个月的销售量，点

B

1

、

B

2

、

B

3

的纵坐标分别表示

B

商品

2022

年前

3

个月的销售

量

.

根据图中信息，下列四个结论中正确的是（

）

①

2

月

A

、

B

两种商品的总销售量最多；

②

3

月

A

、

B

两种商品的总销售量最多；

③

1

月

A

、

B

两种商品的总利润最多；

④

2

月

A

、

B

两种商品的总利润最多

.

A.

①③

【答案】

C

【解析】

【分析】对①②，根据统计图的相关点纵坐标高低判断即可；

对③④，根据

A

利润是

B

的两倍，根据卖得更多的商品判断利润高低即可

【详解】对①②，根据统计图可得，

B

3

，

A

3

的纵坐标之和显然最大，故

3

月

A

、

B

两种商品

的总销售量最多；故②正确；

对③④，因为

A

商品卖出一件盈利

20

元，

B

商品卖出一件盈利

10

元，根据统计图，若用对

应的点表示对应点的纵坐标，则易得

20A

1

10B

1

20A

3

10B

3

20A

2

10B

2

，故③正确

综上②③正确

故选：

C.

B.

①④

C.

②③

D.

②④

第二部分（非选择题

共

110

分）

二、填空题共

5

小题，每小题

5

分，共

25

分

.

11.

二项式

1x

【答案】

7

【解析】

【分析】写出二项式展开式通项，根据已知条件有

C

n

21

，即可求

n

值

.

【详解】由题设，展开式通项为

T

r

1

C

n

x

，而

x

2

的系数为

21

，

所以

C

n

21

，即

故答案为：

7

12.

已知复数

z

在复平面内所对应的点的坐标为

1,2

，则

2

2

n

nN

的展开式中

x

*

2

的系数为

21

，则

n

__________.

rr

n(n1)

21

且

nN

*

，可得

n7

.

2

5

为

__________.

z

【答案】

5

【解析】

【分析】根据复数的定义以及运算规则即可求解

.

【详解】由题意，

z12i

，则

5

12i

55



1

2i

，

z

1

2i5

5

z

1

2

22

5

；

故答案为：

5

.

13.

已知抛物线

y

2

4x

的焦点为

F

，准线为

l

，则焦点到准线的距离为

___________

；直线

，过点

P

作直线

PQ

的垂线交

y3x3

与抛物线分别交于

P

、

Q

两点（点

P

在

x

轴上方）

准线

l

于点

H

，则

PF

__________.

PH

②

.

【答案】

【解析】

①

2

.

3

2

【分析】求出焦点及准线方程，从而可得焦点到准线的距离，作

PP

l

交准线

l

于点

P

，易

PFPP

得直线

y3x3

过焦点，则从而可得出答案

.

PHPH

【详解】解：抛物线

y

2

4x

的焦点

F

1,0

，准线

l

为

x1

，，

所以焦点到准线的距离为

2

，

如图，作

PP

l

交准线

l

于点

P

，

因为直线

y3x3

过焦点

F

，

则

PFPP

，

因为

PP

l

，所以

PP

∥x

轴，

又直线

y3x3

的倾斜角为

60

，

所以

FPP

60

，所以

HPP

30

，

则

PF

PH

PP

PH

cos30



3

.

2

故答案为：

2

；

3

2

14.

已知数列

a

n

是首项为

16

，公比为

1

的等比数列，

b

n

是公差为

2

的等差数列

.

若集合

2

AnN

*

a

n

b

n

中恰有

3

个元素，则符合题意的

b

1

的一个取值为

__________.

【答案】

1

（答案不唯一）

【解析】



【分析】易得数列

a

n

逐项递减，可先确定集合

AnNa

n

b

n

中的

3

项再列式求

b

1

*



的范围即可

【详解】易得数列

a

n

逐项递减，

b

n

逐项递增，故可考虑

a

1

b

1

,a

2

b

2

,a

3

b

3

，

a

n

b

n

,n

4,n

N

，

2

1

16



b

1

4

a

3

b

3



2

此时只需

即可，即

，解得

4b

1

0

，

3

a

4

b

4

1

16



b

1

6

2



故符合题意的

b

1

的一个取值为

1

（答案不唯一）

故答案为：

1

（答案不唯一）

15.

已知四棱锥

PABCD

的高为

1

，

△PAB

和

PCD

均是边长为

2

的等边三角形，给出

下列四个结论：

①四棱锥

PABCD

可能为正四棱锥；

②空间中一定存在到

P

，

A

，

B

，

C

，

D

距离都相等的点；

③可能有平面

PAD

平面

ABCD

；

④四棱锥

PABCD

的体积的取值范围是

,

.

33

其中所有正确结论的序号是__________

.

【答案】①②④

【解析】

【分析】对①，分析当四棱锥

PABCD

为正四棱锥时是否满足条件即可；

对②，设四棱锥

PABCD

的高为

PO

，分析可得点

O

满足；

对③，假设平面

PAD

平面

ABCD

，再推导得出矛盾即可判断；

对④，设

BOC

，得出四棱锥

PABCD

的体积表达式再求解即可

【详解】根据题意，设

POABCD

，则

PO1

，又因为

△PAB

和

PCD

均是边长为

2

的等边三角形，易得

OAOBOCOD1

，且

AOB



COD

12



2

对①，当

ABBCCDAD2

时，底面为正方形，且

O

为底面中心，此时四棱锥

PABCD

可能为正四棱锥，故①正确；

对②，

OAOBOCODOP1

，故一定存在到

P

，

A

，

B

，

C

，

D

距离都相等的点

O

，故②正确；

对③，当平面

PAD

平面

ABCD

时，因为

POABCD

，故

PO

平面

PAD

，此时

AOD

，又因为

AOB



COD

2

，此时

B,C

重合，不满足题意，③错误；

对④，设

BOC

，则

V

P

ABCD

1

S

ABCD

PO

3

1

1111

1

OA

OB

OC

OD

OB

OCsin

OA

ODsin

1

sin

，因

3

2222

3

为

0,

，故

sin

0,1

，所以

V

P

ABCD

故答案为：①②④

112

1

sin

,

，故④正确

3

33

三、解答题共

6

小题，共

85

分

.

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程

.

16.

在

ABC

中，

23cos

（1）求

B

的大小；

（2）若

3

ac

2b

，证明：

ac

.

【答案】（

1

）

2

BBB

2sincos

3

.

222

2π

；

3

（

2

）证明见解析

.

【解析】

【

分析】

(1)

利用降幂公式化简已知条件，求出

tanB

即可求出

B

；

(2)

结合余弦定理和已知条件即可证明．

【小问

1

详解】

在

ABC

中，∵

23cos

2

BBB

2sincos

3

，

222

∴

23

1

cosB

sinB

3

，

2

∴

3cosBsinB0

，

∴

tanB3

，

∵

B

0,π

，

∴

B

2π

；

3

【小问

2

详解】

∵

B

2π1

，∴

cosB

．

32

由余弦定理得

b

2

a

2

c

2

ac

①，

3

ac

②，

2

∵

3

ac

2b

，∴

b

将②代入①，得

3

2

a2acc

2

a

2

c

2

ac

，

4



整理得

(ac)

2

0

，∴

ac

．

17. 2021

年

12

月

9

日，《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》发布

.

义务教育体育与健

康考核评价包括过程性考核与现场考试两部分，总分值

70

分

.

其中过程性考核

40

分，现场考

试

30

分

.

该评价方案从公布之日施行，分学段过渡、逐步推开

.

现场考试采取分类限选的方式，

把内容划分了四类，必考、选考共设置

22

项考试内容

.

某区在九年级学生中随机抽取

1100

名

男生和

1000

名女生作为样本进行统计调查，其中男生和女生选考乒乓球的比例分别为

10%

和

选考

1

分钟跳绳的比例分别为

40%

和

50%

.

假设选考项目中所有学生选择每一项相互独

5%

，

立

.

（1）从该区所有九年级学生中随机抽取

1

名学生，估计该学生选考乒乓球的概率；

（2）从该区九年级全体男生中随机抽取

2

人，全体女生中随机抽取

1

人，估计这

3

人中恰有


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已知,分析,函数,选考