2021年北京市朝阳区中考数学二模试卷(含解析)

2024年3月19日发(作者：哈三二模数学试卷解析)

2021

年北京市朝阳区中考数学二模试卷

一、选择题（每小题

2

分）．

1

．如果代数式

A

．

x

＝

5

有意义，那么实数

x

的取值范围是（ ）

B

．

x

≠

5

C

．

x

＜

5

D

．

x

＞

5

2

．目前世界上已知最小的动物病毒的最大颗粒的直径约有

0.000000023

米．将

0.000000023

用科学记数法表示应为（ ）

A

．

2.3

×

10

﹣

8

B

．

2.3

×

10

﹣

9

C

．

0.23

×

10

﹣

8

D

．

23

×

10

﹣

9

3

．如图，∠

B

＝

43

°，∠

ADE

＝

43

°，∠

AED

＝

72

°，则∠

C

的度数为（ ）

A

．

72

°

B

．

65

°

C

．

50

°

D

．

43

°

4

．下列安全图标中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）

A

．

B

．

C

．

D

．

5

．下列抽样调查最合理的是（ ）

A

．了解某小区居民的消防常识，对你所在班级的同学进行调查

B

．了解某市垃圾分类的宣传情况，对该市的所有学校进行调查

C

．了解某校学生每天的平均睡眠时间，对该校学生周末的睡眠时间进行调查

D

．了解某市第一季度的空气质量情况，对该市第一季度随机抽取

30

天进行调查

6

．一个正多边形的内角和为

1080

°，则这个正多边形的每个外角为（ ）

A

．

30

°

B

．

45

°

C

．

60

°

D

．

72

°

7

．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为

120

°，半径为

3

的扇形，这个圆锥的底面圆的半径

为（ ）

A

．π

B

．

3

C

．

2

D

．

1

8

．为了解某校学生每周课外阅读时间的情况，随机抽取该校

a

名学生进行调查，获得的数

据整理后绘制成统计表如下：

每周课外阅读时间

x

（小时）

0

≤

x

＜

2

2

≤

x

＜

4

4

≤

x

＜

6

6

≤

x

＜

8

频数

频率

8

0.08

17

0.17

b

c

x

≥

8

15

0.15

合计

a

1

表中

4

≤

x

＜

6

组的频数

b

满足

25

≤

b

≤

35

．下面有四个推断：

①表中

a

的值为

100

；

②表中

c

的值可以为

0.31

；

③这

a

名学生每周课外阅读时间的中位数一定不在

6

～

8

之间；

④这

a

名学生每周课外阅读时间的平均数不会超过

6

．

所有合理推断的序号是（ ）

A

．①②

B

．③④

C

．①②③

D

．②③④

二、填空题（本题共

16

分，每小题

2

分）

9

．

3

的相反数为

．

10

．分解因式：

3m

2

+6m+3

＝

．

11

．在一个不透明的袋子里有

1

个黄球，

2

个白球，

3

个红球，这些球除颜色外无其他差别，

从袋子中随机取出一个球是白球的概率是

．

12

．如图，△

ABC

内接于⊙

O

，∠

ACB

＝

50

°，则∠

ABO

＝

°．

13

．利用热气球探测建筑物高度（如图所示），热气球与建筑物的水平距离

AD

＝

100m

，则

这栋建筑物的高度

BC

约为

m

（≈

1.4

，≈

1.7

，结果保留整数）．

14

．若一次函数

y

＝

kx+b

（

k

≠

0

）的图象可以由

y

＝

2x

的图象平移得到，且经过点（

0

，

1

），

则这个一次函数的表达式为

．

15

．用一组

a

，

b

的值说明命题“若

a

2

＞

b

2

，则

a

＞

b

”是假命题，这组值可以是

a

＝

，

b

＝

．

16

．甲、乙、丙三人进行乒乓球单打训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都

要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训

练结束时，发现甲共当裁判

4

局，乙、丙分别打了

9

局、

14

局比赛，在这半天的训练中，

甲、乙、丙三人共打了

局比赛，其中第

7

局比赛的裁判是

．

三、解答题（本题共

68

分，第

17-22

题，每小题

5

分；第

23-26

题，每小题

5

分；第

27-28

题，每小题

5

分）

17

．计算：

+

（

﹣

﹣

2

）

0

﹣（）

1

+tan60

°．

18

．解不等式

2

﹣

3x

≥

2

（

x

﹣

4

），并把它的解集在数轴上表示出来．

19

．先化简再求值：（

+

）•，其中

x

＝﹣

1

．

20

．已知：如图，△

ABC

为锐角三角形，

AB

＞

AC

．

求作：

BC

边上的高

AD

．

作法：①以点

A

为圆心，

AB

长为半径画弧，交

BC

的延长线于

点

E

；

②分别以点

B

，

E

为圆心，以

AB

长为半径画弧，两弧相交

于点

F

（不与点

A

重合）；

③连接

AF

交

BC

于点

D

．

线段

AD

就是所求作的线段．

（

1

）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（

2

）完成下面的证明．

证明：连接

AE

，

EF

，

BF

．

∵

AB

＝

AE

＝

EF

＝

BF

，

∴四边形

ABFE

是

（

）（填推理依据）．

∴

AF

⊥

BE

．

即

AD

是△

ABC

中

BC

边上的高．

21

．关于

x

的一元二次方程

x

2

﹣（

m+1

）

x+m

＝

0

．

（

1

）求证：方程总有两个实数根；

（

2

）若方程有一个根为负数，求

m

的取值范围．

22

．如图，在菱形

ABCD

中，

AC

，

BD

相交于点

O

，过

B

，

C

两点分别作

AC

，

BD

的平行线，

相交于点

E

．

（

1

）求证：四边形

BOCE

是矩形；

（

2

）连接

EO

交

BC

于点

F

，连接

AF

，若∠

ABC

＝

60

°，

AB

＝

2

，求

AF

的长．

23

．在平面直角坐标系

xOy

中，过点

A

（

2

，

2

）作

x

轴，

y

轴的垂线，与反比例函数

y

＝（

k

＜

4

）的图象分别交于点

B

，

C

，直线

AB

与

x

轴相交于点

D

．

（

1

）当

k

＝﹣

4

时，求线段

AC

，

BD

的长；

（

2

）当

AC

＜

2BD

时，直接写出

k

的取值范围．

24

．如图，

PA

与⊙

O

相切于点

A

，点

B

在⊙

O

上，

PA

＝

PB

．

（

1

）求证：

PB

是⊙

O

的切线；

（

2

）

AD

为⊙

O

的直径，

AD

＝

2

，

PO

与⊙

O

相交于点

C

，若

C

为

PO

的中点，求

PD

的

长．

25

．为进一步增强中小学生“知危险会避险”的意识，某校初三年级开展了系列交通安全知

识竞赛，从中随机抽取

30

名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）进

行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息．

a

．这

30

名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分情况统计图：

b

．下表是这

30

名学生两次知识竞赛的获奖情况相关统计：

第一次竞赛

人数

平均分

第二次竞赛

人数

平均分

参与奖

10

82

2

84

优秀奖

10

87

12

87

卓越奖

10

95

16

93

（规定：分数≥

90

，获卓越奖；

85

≤分数＜

90

，获优秀奖；分数＜

85

，获参与奖）

c

．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：

90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98

d

．两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如表：

第一次竞赛

第二次竞赛

平均数

m

90

中位数

87.5

n

众数

88

91

根据以上信息，回答下列问题：

（

1

）小松同学第一次竞赛成绩是

89

分，第二次竞赛成绩是

91

分，在图中用“〇”圈出

代表小松同学的点；

（

2

）直接写出

m

，

n

的值；

（

3

）可以推断出第次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高，理由

是

．

26

．在正方形

ABCD

中，将线段

DA

绕点

D

旋转得到线段

DP

（不与

BC

平行），直线

DP

与直线

BC

相交于点

E

，直线

AP

与直线

DC

相交于点

F

．

（

1

）如图

1

，当点

P

在正方形内部，且∠

ADP

＝

60

°时，求证：

DE+CE

＝

DF

；

（

2

）当线段

DP

运动到图

2

位置时，依题意补全图

2

，用等式表示线段

DE

，

CE

，

DF

之

间的数量关系，并证明．

27

．在平面直角坐标系

xOy

中，点

P

（

x

1

，

y

1

），

Q

（

x

2

，

y

2

）为抛物线

y

＝

ax

2

﹣

2ahx+ah

2

+1

（

a

＜

0

）上的两点．

（

1

）当

h

＝

1

时，求抛物线的对称轴；

（

2

）若对于

0

≤

x

1

≤

2

，

4

﹣

h

≤

x

2

≤

5

﹣

h

，都有

y

1

≥

y

2

，求

h

的取值范围．

28

．在平面直角坐标系

xOy

中，对于图形

Q

和∠

P

，给出如下定义：若图形

Q

上的所有的

点都在∠

P

的内部或∠

P

的边上，则∠

P

的最小值称为点

P

对图形

Q

的可视度．如图

1

，

∠

AOB

的度数为点

O

对线段

AB

的可视度．

（

1

）已知点

N

（

2

，

0

），在点

M

1

（

0

，

段

ON

的可视度为

60

°的点是

．

（

2

）如图

2

，已知点

A

（﹣

2

，

2

），

B

（﹣

2

，﹣

2

），

C

（

2

，﹣

2

），

D

（

2

，

2

），

E

（

0

，

4

）．

①直接写出点

E

对四边形

ABCD

的可视度为

°；

②已知点

F

（

a

，

4

），若点

F

对四边形

ABCD

的可视度为

45

°，求

a

的值．

），

M

2

（

1

，），

M

3

（

2

，

3

）中，对线

参考答案

一、选择题（本题共

16

分，每小题

2

分）下面

1-8

题均有四个选项，其中符合题意的选项

只有一个．

1

．如果代数式

A

．

x

＝

5

有意义，那么实数

x

的取值范围是（ ）

B

．

x

≠

5

C

．

x

＜

5

D

．

x

＞

5

【分析】根据分式有意义的条件是分母不为

0

求解可得．

解：要使代数式

即

x

﹣

5

≠

0

，

x

≠

5

．

故选：

B

．

2

．目前世界上已知最小的动物病毒的最大颗粒的直径约有

0.000000023

米．将

0.000000023

用科学记数法表示应为（ ）

A

．

2.3

×

10

﹣

8

B

．

2.3

×

10

﹣

9

C

．

0.23

×

10

﹣

8

D

．

23

×

10

﹣

9

有意义，

【分析】科学记数法的表示形式为

a

×

10

n

的形式，其中

1

≤

|a|

＜

10

，

n

为整数．确定

n

的值时，要看把原数变成

a

时，小数点移动了多少位，

n

的绝对值与小数点移动的位数相

同．当原数绝对值≥

10

时，

n

是正整数；当原数的绝对值＜

1

时，

n

是负整数．

解：

0.000000023

＝

2.3

×

10

﹣

8

．

故选：

A

．

3

．如图，∠

B

＝

43

°，∠

ADE

＝

43

°，∠

AED

＝

72

°，则∠

C

的度数为（ ）

A

．

72

°

B

．

65

°

C

．

50

°

D

．

43

°

【分析】由∠

ADE

＝∠

B

，得出

DE

∥

BC

，由平行线的性质即可得出答案．

解：∵∠

B

＝

43

°，∠

ADE

＝

43

°，

∴∠

B

＝∠

ADE

，

∴

DE

∥

BC

，

∴∠

C

＝∠

AED

，

∵∠

AED

＝

72

°，

∴∠

C

＝

72

°，

故选：

A

．

4

．下列安全图标中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）

A

．

B

．

C

．

D

．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，

图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转

180

度后与原图重合．

解：

A

．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B

．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C

．是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；

D

．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．

故选：

C

．

5

．下列抽样调查最合理的是（ ）

A

．了解某小区居民的消防常识，对你所在班级的同学进行调查

B

．了解某市垃圾分类的宣传情况，对该市的所有学校进行调查

C

．了解某校学生每天的平均睡眠时间，对该校学生周末的睡眠时间进行调查

D

．了解某市第一季度的空气质量情况，对该市第一季度随机抽取

30

天进行调查

【分析】根据抽样的广泛性和代表性逐项进行判断即可．

解：

A

．由于了解某小区居民的消防常识，调查班级学生不具有代表性，因此选项

A

不符

合题意；

B

．了解某市垃圾分类的宣传情况，对该市的所有学校进行调查比较片面，不具有代表性

和广泛性，应涉及到其它单位、小区等，因此选项

B

不符合题意；

C

．了解某校学生每天的平均睡眠时间，只对学生周末的睡眠时间进行调查比较片面，应

对学生的每一天的睡眠时间进行调查，因此选项

C

不符合题意；

D

．了解某市第一季度的空气质量情况，对该市第一季度随机抽取

30

天进行调查符合抽

样的广泛性和代表性，因此选项

D

符合题意；

故选：

D

．

6

．一个正多边形的内角和为

1080

°，则这个正多边形的每个外角为（ ）

A

．

30

°

B

．

45

°

C

．

60

°

D

．

72

°

解：设它是

n

边形，则

（

n

﹣

2

）•

180

°＝

1080

°，

解得

n

＝

8

．

360

°÷

8

＝

45

°，

故选：

B

．

7

．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为

120

°，半径为

3

的扇形，这个圆锥的底面圆的半径

为（ ）

A

．π

B

．

3

C

．

2

D

．

1

解：设圆锥底面的半径为

r

，

根据题意得

2

π

r

＝

解得：

r

＝

1

．

故选：

D

．

8

．为了解某校学生每周课外阅读时间的情况，随机抽取该校

a

名学生进行调查，获得的数

据整理后绘制成统计表如下：

每周课外阅读时间

x

（小时）

0

≤

x

＜

2

2

≤

x

＜

4

4

≤

x

＜

6

6

≤

x

＜

8

频数

频率

8

0.08

17

0.17

b

c

x

≥

8

15

0.15

合计

a

1

，

表中

4

≤

x

＜

6

组的频数

b

满足

25

≤

b

≤

35

．下面有四个推断：

①表中

a

的值为

100

；

②表中

c

的值可以为

0.31

；

③这

a

名学生每周课外阅读时间的中位数一定不在

6

～

8

之间；

④这

a

名学生每周课外阅读时间的平均数不会超过

6

．

所有合理推断的序号是（ ）

A

．①②

B

．③④

C

．①②③

D

．②③④

【分析】①根据数据总和＝频数÷频率，列式计算可求

a

的值；

②根据

4

≤

x

＜

6

组的频数

b

满足

25

≤

b

≤

35

，可求该范围的频数，进一步得到

c

的值的范

围，从而求解；

③根据中位数的定义即可求解；

④根据加权平均数的计算公式即可求解．

解：①

8

÷

0.08

＝

100

．

故表中

a

的值为

100

，是合理推断；

②

25

÷

100

＝

0.25

，

35

÷

100

＝

0.35

，

1

﹣

0.08

﹣

0.17

﹣

0.35

﹣

0.15

＝

0.25

，

1

﹣

0.08

﹣

0.17

﹣

0.25

﹣

0.15

＝

0.35

，

故表中

c

的值为

0.25

≤

c

≤

0.35

，表中

c

的值可以为

0.31

，是合理推断；

③∵表中

4

≤

x

＜

6

组的频数

b

满足

25

≤

b

≤

35

．

∴

8+17+25

＝

50

，

8+17+35

＝

60

，

∴这

100

名学生每周课外阅读时间的中位数可能在

4

～

6

之间，也可能在

6

～

8

之间，故

此推断不是合理推断；

④这

a

名学生每周课外阅读时间的平均数可以超过

6

，故此推断不是合理推断．

故选：

A

．

二、填空题（本题共

16

分，每小题

2

分）

9

．

3

的相反数为 ﹣

3

．

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．

解：

3

的相反数为﹣

3

，

故答案为：﹣

3

．

10

．分解因式：

3m

2

+6m+3

＝

3

（

m+1

）

2

．

【分析】直接提取公因式

3

，再利用完全平方公式分解因式即可．

解：原式＝

3

（

m

2

+2m+1

）

＝

3

（

m+1

）

2

．

故答案为：

3

（

m+1

）

2

．

11

．在一个不透明的袋子里有

1

个黄球，

2

个白球，

3

个红球，这些球除颜色外无其他差别，

从袋子中随机取出一个球是白球的概率是 ．

【分析】让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．

解：共有球

1+3+6

＝

5

个，白球有

2

个，

因此摸出的球是白球的概率为：＝．

故答案为：．

12

．如图，△

ABC

内接于⊙

O

，∠

ACB

＝

50

°，则∠

ABO

＝

40

°．

【分析】先根据圆周角定理求出∠

AOB

的度数，再由三角形内角和定理求出∠

ABO

的度

数即可．

解：∵∠

ACB

＝

50

°，

∴∠

AOB

＝

2

∠

ACB

＝

2

×

50

°＝

100

°，

∵

OA

＝

OB

，

∴∠

ABO

＝

故答案为：

40

．

13

．利用热气球探测建筑物高度（如图所示），热气球与建筑物的水平距离

AD

＝

100m

，则

这栋建筑物的高度

BC

约为

270

m

（≈

1.4

，≈

1.7

，结果保留整数）．

＝＝

40

°．

【分析】在

Rt

△

ABD

中，根据正切函数求得

BD

＝

AD

•

tan

∠

BAD

，在

Rt

△

ACD

中，求得

CD

＝

AD

•

tan

∠

CAD

，再根据

BC

＝

BD+CD

，代入数据计算即可．

解：如图，在

Rt

△

ABD

中，

AD

＝

100m

，∠

BAD

＝

45

°，

∴

BD

＝

AD

＝

100

（

m

），

在

Rt

△

ACD

中，∠

CAD

＝

60

°，

∴

CD

＝

AD

•

tan60

°＝

100

∴

BC

＝

BD+CD

＝

100+100

（

m

），

≈

270

（

m

）

答：该建筑物的高度

BC

约为

270m

．

故答案为：

270

．

14

．若一次函数

y

＝

kx+b

（

k

≠

0

）的图象可以由

y

＝

2x

的图象平移得到，且经过点（

0

，

1

），

则这个一次函数的表达式为

y

＝

2x+1

．

【分析】根据一次函数平移时

k

不变可知

k

＝

2

，然后把（

0

，

1

）代入求出

b

的值即可．

解：∵一次函数

y

＝

kx+b

（

k

≠

0

）的图象可以由

y

＝

2x

的图象平移得到，

∴

k

＝

2

，

∵一次函数

y

＝

2x+b

的图象经过点（

0

，

1

），

∴

b

＝

1

，

∴一次函数表达式为

y

＝

2x+1

．

故答案为

y

＝

2x+1

．

15

．用一组

a

，

b

的值说明命题“若

a

2

＞

b

2

，则

a

＞

b

”是假命题，这组值可以是

a

＝ ﹣

1

，

b

＝

0

（答案不唯一） ．

【分析】当

a

＝﹣

1

，

b

＝

0

时，根据有理数的乘方法则得到

a

2

＞

b

2

，根据有理数的大小比

较法则得到

a

＜

b

，根据假命题的概念解答即可．

解：当

a

＝﹣

1

，

b

＝

0

时，

a

2

＝

1

，

b

2

＝

0

，

此时

a

2

＞

b

2

，而

a

＜

b

，

∴命题“若

a

2

＞

b

2

，则

a

＞

b

”是假命题，

故答案为：﹣

1

，

0

（答案不唯一）．

16

．甲、乙、丙三人进行乒乓球单打训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都

要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训

练结束时，发现甲共当裁判

4

局，乙、丙分别打了

9

局、

14

局比赛，在这半天的训练中，

甲、乙、丙三人共打了

19

局比赛，其中第

7

局比赛的裁判是 乙 ．

【分析】先确定了乙与丙打了

4

局，甲与丙打了

10

局，进而确定三人一共打的局数和甲、

乙、丙当裁判的局数，即可得到答案．

解：∵甲当了

4

局裁判，

∴乙、丙之间打了

4

局，

又∵乙、丙分别共打了

9

局、

14

局，

∴乙与甲打了

9

﹣

4

＝

5

局，丙与甲打了

14

﹣

4

＝

10

局，

∴甲、乙、丙三人共打了

4+5+10

＝

19

局，

又∵丙与甲打了

10

局，

∴乙当了

10

局裁判，

而从

1

到

19

共

9

个偶数，

10

个奇数，

∴乙当裁判的局为奇数局，

∴第

7

局比赛的裁判是：乙，

故答案为：

19

，乙．

三、解答题（本题共

68

分，第

17-22

题，每小题

5

分；第

23-26

题，每小题

5

分；第

27-28

题，每小题

5

分）

17

．计算：

+

（﹣

2

）

0

﹣（）

﹣

1

+tan60

°．

【分析】根据二次根式，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值计算即可．

解：原式＝

＝

3

﹣

2

．

18

．解不等式

2

﹣

3x

≥

2

（

x

﹣

4

），并把它的解集在数轴上表示出来．

【分析】首先解不等式可得

x

的取值范围，然后在数轴上表示即可．

解：

2

﹣

3x

≥

2

（

x

﹣

4

），

去括号得：

2

﹣

3x

≥

2x

﹣

8

，

移项得：﹣

2x

﹣

3x

≥﹣

2

﹣

8

，

合并同类项得：﹣

5x

≥﹣

10

，

系数化为

1

得：

x

≤

2

，

不等式的解集在数轴上表示如下：

．

19

．先化简再求值：（

+

）•，其中

x

＝﹣

1

．

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将

x

的值代入计算即可．

解：

＝

[

＝

＝

＝

当

x

＝

原式＝

．

时，

＝＝．

•

+

]

•

20

．已知：如图，△

ABC

为锐角三角形，

AB

＞

AC

．

求作：

BC

边上的高

AD

．

作法：①以点

A

为圆心，

AB

长为半径画弧，交

BC

的延长线于

点

E

；

②分别以点

B

，

E

为圆心，以

AB

长为半径画弧，两弧相交

于点

F

（不与点

A

重合）；

③连接

AF

交

BC

于点

D

．

线段

AD

就是所求作的线段．

（

1

）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（

2

）完成下面的证明．