2023届新高考数学二轮复习:专题(数列中的复杂递推式问题)提分练习(附

2023届新高考数学二轮复习：专题（数列中的复杂递推式问题）提分练习

【总结】

1、叠加法：an1anf(n)；

2、叠乘法：an1anf(n)；

3、构造法（等差，等比）：

①形如an1panq (其中p,q均为常数pq(p1)0)的递推公式，an1tpant，其中tq，1p构造an1tantp，即ant是以a1t为首项，p为公比的等比数列．

②形如an1panqn (其中p,q均为常数，pq(qp)0)，可以在递推公式两边同除以qn1，转化为bn1mbnt型．

③形如anan1anan1d，可通过取倒数转化为等差数列求通项．

4、取对数法：an1ant．

5、由Sn和an的关系求数列通项

S1，n1a=，化Sn为an．

（1）利用nSSn2-，1nnS1，n1a=aSaS（2）当n不易消去，或消去n后n不易求，可先求n，再由n求an．

SSn2-，nn16、数列求和：

（1）错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列(公比不等于1)对应项相乘构成的数列求和cnanbn型

（2）倒序相加法

（3）裂项相消法

常考题型 数列的通项公式 裂项方法

1

aann1a是公差为d的等差数列

n1111

1anan1daann等差数列型

1anan1an2n

1anan1an2a是公差为d的等差数列

无理型

1

nnk12d11aann1an1an2

1knnk1nkn

指数型

a1annaban1ba0且a1

a1ananban1b11

anban1b对数型

an1logmm0且m1

anlogman1anlogman1logman

tana三角型

nntanan1

tanantanan1tanan1tanantanda是公差为d的等差数列

nn!

1

阶乘型

【典型例题】

nn!n1!n!

例1．已知数列{an}满足a14且a1a2anan1，设bnlog2an，则)

A．

例2．已知数列{an}的通项公式为anS2019中，有理数项的项数为( )

111的值是(

b1b2b2b3b2017b20182017

4038B．3025

4036C．2017

2018D．2016

20171(n1)nnn1其前n项和为Sn，则在数列S1，S2，，(nN*)，A．42

例3．对于nN*，B．43 C．44 D．45

3141n212n ．

122232n(n1)2

例4．设曲线yxn1(nN)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2017x1log2017x2log2017x2016的值为 ．

例5．在数1和2之间插入n个正数，使得这n2个数构成递增等比数列，将这n2个数的乘积记为An，令anlog2An，nN*．

（1）数列{an}的通项公式为an ；

（2）Tntana2tana4tana4tana6tana2ntana2n2 ．

nan131例6．数列{an}中，a1,an1(nN*)，若不等式2tan…0恒成立，则实数t的取值范2(n1)(nan1)nn围是 ．

【过关测试】

一、单选题

*1．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）斐波那契数列an满足a1a21，an2an1annN，设a2a3a5a7a9a2023ak，则k（

）

A．2022 B．2023 C．2024 D．2025

2．（2023·全国·模拟预测）1678年德国著名数学家莱布尼兹为了满足计算需要，发明了二进制，与二进制不同的是，六进制对于数论研究有较大帮助.例如123在六进制下等于十进制的16326236306.若数列an在十进制下满足anan2an1，a11，a23，bnan，则六进制b1b2b3b2022转换成十进制后个位为（

）

A．2 B．4 C．6 D．8

223．（2023秋·广东·高三统考期末）在数列an中，a11,an0，且nan1anan1n1an0，则a20的值为（

）

A．18 B．19 C．20 D．21

4．（2023秋·江西·高三校联考期末）设a,bR，数列an中，a11，an1bana，nN*，则下列选项正确的是（

）

A．当a1，b=-1时，则a101

2B．当a2，b1时，则Snn2n

C．当a0，b2时，则an2n

nD．当a1，b2时，则an21

5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列an满足aA．1

20211n1an221a2，，且a11，则a2022（

）

an13B．1

2022C．1

4043D．1

40446．（2023·安徽淮南·统考一模）斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，斐波那契数列an可以用如下方法定义：an2an1an，且a1a21，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列bn，则数列bn的前2023项的和为（

）

A．2023 B．2024 C．2696 D．2697

7．（2023秋·江苏扬州·高三校考期末）已知数列an满足（

）

A．1

2021an1an12，且a11，a21，则a2022anan23B．1

2022C．1

4043D．1

40448．（2023·全国·高三专题练习）已知数列an满足3anan2anan12an1an2，且a13a21，则a7（

）

A．1

63B．1

65C．1

127D．1

129一、倒数变换法，适用于an1二、取对数运算

三、待定系数法

1、构造等差数列法

2、构造等比数列法

Aan（A,B,C为常数）

BanC①定义构造法。利用等比数列的定义qan1通过变换，构造等比数列的方法.

an②an1=AanB（A,B为常数）型递推式可构造为形如an1+=Aan的等比数列.

③an1=AanBc（A,B,C为常数，下同）型递推式，可构造为形如an1+cnn1=Aancn的等比数列.

四、函数构造法

对于某些比较复杂的递推式，通过分析结构，联想到与该递推式结构相同或相近的公式、函数，再构造“桥函数”来求出所给的递推数列的通项公式的方法.

9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{cn}满足c11,cn1cn,nN*，则c18（

）

3cn121D．,

9412A．,

35二、多选题

21B．,

7312C．,

4710．（2023·山西·统考一模）1202年，斐波那契在《算盘全书》中从兔子问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21L该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，人们把这样的一列数组成的数列an称为斐波那契数列，19世纪以前并没有人认真研究它，但在19世纪末和20世纪，这一问题派生出广泛的应用，从而活跃起来，成为热门的研究课题，记Sn为该数列的前n项和，则下列结论正确的是（

）

A．a1189

C．a1a3a5a2023a2024

B．a2023为偶数

D．a2a4a6a2024S2023

11．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）斐波那契数列是数学中的一个有趣的问题，它满足：F1F21，Fn2Fn1Fn，人们在研究它的过程中获得了许多漂亮的结果.某同学据此改编，研究如下问题：在数列an中，a1a21，an2A．a55

C．an5an10

an1an，an13k，1(kZ)，数列an的前n项和为Sn，则（

）

an1，an13k，3B．a17a16a15

D．S20228804

n12．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知数列an中，a11，anan12，nN，则下列说法正确的是（

）

A．a44

C．a2na2n12三、填空题

n1B．a2n是等比数列

n1D．a2n1a2n2

13．（2023秋·四川成都·高三树德中学校考期末）意大利数学家斐波那契于1202年写成《计算之书》，其Fn2Fn1Fn，中第12章提出兔子问题，衍生出数列：1，1，2，3，5，8，13，….记该数列为Fn，则F1F21，nN*.如图，由三个图（1）中底角为60°等腰梯形可组成一个轮廓为正三角形（图（2））的图形，根据22F2025F2021______.

改图所揭示的几何性质，计算F2022F2023F2023F2024

14．（2023·全国·高三专题练习）数列{an}的前n项和Snan112n2n（n是正整数），数列{bn}满足bnan2(nN*)，则数列{bn}中值最大的项和值最小的项和为____________．

215．（2023·全国·高三专题练习）已知数列an满足：an1an0,an1an1an，则首项a1的取值范围2023(1)n6，且kbik1，则整数k__________. 是:______当a1时，记bnan15i116．（2023秋·江西·高三校联考阶段练习）已知数列an的各项均为正数，且前n项和Sn满足Sn1an1an2，且a2，a4，a9成等比数列，则数列an的通项公式________．

617．（2023秋·北京通州·高三统考期末）已知数列an的前n项和为SnSn0，Tn为数列Sn的前n项*积，满足SnTnSnTnnN，给出下列四个结论：

①a12；②an2n1；③Tn为等差数列；④Sn.

n2n1n其中所有正确结论的序号是______.

△ABD的面积是△BCD面积的2倍，18．（2023·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD中，又数列ann1n满足a12，当n2时，恒有BDan12BAan2BC，设an的前n项和为Sn，则所有正确结论的序号是___________.

aS52n2n110

①an为等比数列；②an为递减数列；③nn为等差数列；④n2n119．（2023·全国·高三专题练习）设数列an的前n项和为Sn，已知a22,an2(1)an2，则S60

_________.

参考答案

【总结】

1、叠加法：an1anf(n)；

2、叠乘法：an1anf(n)；

3、构造法（等差，等比）：

①形如an1panq (其中p,q均为常数pq(p1)0)的递推公式，an1tpant，其中t构造q，1pan1tantp，即ant是以a1t为首项，p为公比的等比数列．

②形如an1panqn (其中p,q均为常数，pq(qp)0)，可以在递推公式两边同除以qn1，转化为bn1mbnt型．

③形如anan1anan1d，可通过取倒数转化为等差数列求通项．

4、取对数法：an1ant．

5、由Sn和an的关系求数列通项

S1，n1a=，化Sn为an．

（1）利用nSn-Sn1，n2（2）当an不易消去，或消去Sn后an6、数列求和：

S1，n1a=不易求，可先求Sn，再由n求an．

Sn-Sn1，n2（1）错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列(公比不等于1)对应项相乘构成的数列求和cnanbn型

（2）倒序相加法

（3）裂项相消法

常考题型 数列的通项公式 裂项方法

1

aann1a是公差为d的等差数列

n1111

1anan1daann等差数列型

1anan1an2n

1anan1an2a是公差为d的等差数列

无理型

1

nnk12d11aann1an1an2

1knnk1nkn

指数型

a1annaban1ba0且a1

a1ananban1blogman1an11

anban1b对数型

an1logmm0且m1

anlogman1logman

tana三角型

nntanan1

a是公差为d的等差数列

nn!

tanantanan1tanan1tanantand1

阶乘型

【典型例题】

nn!n1!n!

例1．已知数列{an}满足a14且a1a2anan1，设bnlog2an，则11b1b2b2b31的值是(

b2017b2018)

A．2017

4038B．3025

4036C．2017

2018D．2016

2017【答案要点分析】解：数列{an}满足a14且a1a2anan1，①

可得a2a14，

2时，可得a1a2an1an，② 当n…①②可得anan1an，

即an12an，

2， 则an4