数学平行线的有关证明手抄报模版

2024年3月28日发(作者：广东省历届联考数学试卷)

数学平行线的有关证明手抄报模版

平行线是指两条直线在平面上不相交，且在平面上无论如何延长

也不会相交的直线。数学中有许多关于平行线的定理，其中最常见的

是欧氏几何学中的平行公设：经过平面外一点的直线与过该点的平面

内一条直线，恰有一条平面内经过该点的直线与给定直线平行。本文

将介绍其中一些平行线定理的证明。

一、垂直平分线定理

在平面上，若直线l垂直平分线段AB，且过C点作l的另一条垂

线CD，那么CD与AB平行。

证明：连接AC、BC两线段。由垂直平分线的定义可知，AC=BC。

这时，若CD与AB不平行，则它们会相交于某一点E。又可知，点E到

CD和AB的距离相等，因此E点实际上在AB的垂直平分线上。但这与

垂直平分线的定义矛盾，因此CD与AB平行。

二、平行线性质定理

若一条直线l与另外两条平行直线m、n相交，那么l所在的角

与m、n所成的角相等；当l、m、n中两条直线间的夹角所成的角度和

为180°时，l与m、n平行。

证明1： 连接AB、BC两线段（其中B点分别在m、n两直线上）。

由m、n是平行线可知，∠ABC=180°。又因为AB与n相交，所以得到

∠ABC=∠CBN。同理，因为BC与m相交，所以得到∠ABC=∠ABM。综上

可知，∠CBN=∠ABM，即l所在的角与m、n所成的角相等。

证明2： 连接AB、BC、CD、DA四个线段（其中B、C、D点分别

在m、n、l三直线上）。由内角和定理可得

∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB=360°。又由于m、n是平行线，所以

∠ABC+∠BCD=180°，∠DAB+∠CDA=180°。将上述两式带入第一式中，

得到180°+180°=360°。也就是说，当l、m、n中两条直线间的夹角

所成的角度和为180°时，l与m、n平行。

三、平行线截切定理

如果由一条直线l向两条平行线m、n作垂线，那么所得到的两

个垂线的长度比相等。

证明：连接OB和OD（其中B、D点分别在m和n上）。因为OB、

OD是两条垂线，所以OA与OB、OD分别垂直。所以由勾股定理得到：

OA² + OB² = AB²

OA² + OD² = AD²

将两式相减，可得：

OB² - OD² = AB² - AD²

因为m、n是平行线，所以AB=CD，AD=BC。代入上式，得到OB²

- OD² = CD² - BC²。由平方差公式得到：

(OB-OD)(OB+OD) = (CD-BC)(CD+BC)

因为m、n是平行线，所以BC=DE，CD=BE。代入上式，得到：

(OB-OD)(OB+OD) = (DE)(BE)

因为平行线与平面上一条直线所成的交角相等，所以

∠AOD=∠BOC。因此，由正弦定理得到：

OD/sin∠AOD = OA/sin∠BOC

所以，OD/OA = sin∠AOD/sin∠BOC。

同理，因为m、n是平行线，所以∠AOC=∠BOD。因此，由正弦定

理可得：

OC/sin∠BOC = OB/sin∠AOC

所以，OC/OB = sin∠BOC/sin∠AOC。

将上述两式代入(OB-OD)(OB+OD) = (DE)(BE)中，得到：

OD/OA * OC/OB * (OB-AOD)/(OB+AOC) = DE/BE

又因为m、n是平行线，所以∠AOD+∠AOC=180°，所以OB-

AOD=BOC+AOC。代入上式中，得到：

OD/OA * OC/OB * (BOC+AOC)/(2BOC) = DE/BE

化简后得到：

OD/OA = OC/OB

所以所得到的两个垂线的长度比相等。

结语

以上三条平行线定理是数学中最基本的平行线定理，它们在推导

更复杂的几何学概念和定理时都是必不可少的。它们证明方法简单易

懂，有助于初学者对平行线的概念有一个更深入的理解。