2014考研数学二真题及参考答案

2024年2月14日发(作者：苏教版三下期中数学试卷)

2014考研数学二真题及参考答案

一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置．．．上.

1(1) 当x0时，若ln(12x)，(1cosx)均是比x高阶的无穷小，

的取值范围是( )

(A)

(2,)

(D)

(0,)

(B)

(1,2) (C)

(,1)

1212(2) 下列曲线中有渐近线的是

( )

(A)

yxsinx

(C)

yxsin

(B)

yxsinx

(D)

yxsin221

x1

x(3) 设函数f(x)具有2阶导数，则在区间[0,1]g(x)f(0)(1x)f(1)x，上 （ ）

(A) 当f(x)0时，f(x)g(x)

(B) 当f(x)0时，(D) 当f(x)0时，f(x)g(x)

(C) 当f(x)0时，f(x)g(x)

f(x)g(x)

2xt7(4) 曲线上对应于t1的点处的曲率半径是

2yt4t1（ ）

(A)10

50 (B)10

100 (C)1010

(D)510

(5) 设函数f(x)arctanx，若f(x)xf()，则limx02x2

（ ）

(A)1

(D) (B)2

3 (C)1

2

1

3(6) 设函数u(x,y)在有界闭区域D上连续，在D的内部具有2阶连续偏导数，且满足2u0xy及2u2u202xy，则

（ ）

(A)u(x,y)的最大值和最小值都在D的边界上取得

(B)

u(x,y)的最大值和最小值都在D的内部上取得

(C)

u(x,y)的最大值在D的内部取得，最小值在D的边界上取得

(D)

u(x,y)的最小值在D的内部取得，最大值在D的边界上取得

0a(7) 行列式b0b

0da000cdc00 （ ）

(A)

(adbc)

(C)

adbc

22222

(B)

(adbc)

(D)

bcad

22222(8) 设1,2,3均为3维向量，则对任意常数k,l，向量组1k3,2l3线性无关是向量组

1,2,3线性无关的

（ ）

(A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件

(C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件

二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位．．．置上.

((9)

1x22x5dx__________.

1(10) 设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f(x)2(x1),则f(7)__________.

(11) 设zz(x,y)是由方程e2yzx[0,2]，xy2z7确定的函数，则4dz11(,)22__________.

(12) 曲线rr()的极坐标方程是r，则L在点(r,)(线的直角坐标方程是__________.

,)处的切22(13) 一根长为1的细棒位于x轴的区间[0,1]上,若其线密度xx22x1,则该细棒的质心坐标x__________.

(14) 设二次型fx1,x2,x3x1x22ax1x34x2x3的负惯性指数为1，22则a的取值范围为_______.

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答．．．应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分10分)

求极限limxx121tte1tdt.

1x2ln1x22(16)(本题满分10分)

已知函数yyx满足微分方程xyy1y，且y20，求

yx的极大值与极小

值.

(17)(本题满分10分)

设平面区域Dx,y1x2y24,x0,y0,计算Dxsinx2y2xydxdy.

x(18)(本题满分10分)

设函数f(u)具有二阶连续导数，zf(ecosy)满足2z2z\'2(4zexcosy)e2x，若f(0)0,f(0)0，求f(u)的表达式.

2xy(19)(本题满分10分)

设函数f(x),g(x)的区间[a,b]上连续，且f(x)单调增加，0g(x)1.证明：

(I)0(II)xabg(t)dtxa,x[a,b],

aaag(t)dtf(x)dxbf(x)g(x)dx.

a(20)(本题满分11分)

设函数f(x)x,x0,11x,

，定义函数列f1(x)f(x),f2(x)f(f1(x)),fn(x)f(fn1(x)),，记Sn是由曲线yfn(x)，直线x1及x轴所围n成平面图形的面积，求极限limnSn.

(21)(本题满分11分)

已知函数f(x,y)满足f2(y1)，且

yf(y,y)(y1)2(2y)lny,求曲线f(x,y)0所围成的图形绕直

线y1旋转所成的旋转体的体积.

(22)(本题满分11分)

1234 设矩阵A0111，E为三阶单位矩阵.

1203(I)求方程组Ax0的一个基础解系；

(II)求满足ABE的所有矩阵.

(23)(本题满分11分)

1111 证明n阶矩阵11参考答案

1010与100102相似.

0n一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置．．．上.

1(1) 当x0时，若ln(12x)，(1cosx)均是比x高阶的无穷小，则

的取值范围是( )

(A)

(2,)

(D)

(0,)

(B)

(1,2) (C)

(,1)

1212【答案】B

ln(12x)(2x)limlim2x10 【解析】由定义

limx0x0x0xx 所以10，故1.

21当x0时，(1cosx)~x1是比x的高阶无穷小，所以2

210，即2.

故选B

(2) 下列曲线中有渐近线的是

( )

(A)

yxsinx

(C)

yxsin【答案】C

(B)

yxsinx

(D)

yxsin221

x1

x11sinxlim1limx101. 【解析】关于C选项：limxxxxx111lim[xsinx]limsin0，所以yxsin存在斜渐近线xxxxxyx.

xsin故选C

(3) 设函数f(x)具有2阶导数，则在区间[0,1]g(x)f(0)(1x)f(1)x，上 （ ）

(A) 当f(x)0时，f(x)g(x)

(B) 当f(x)0时，(D) 当f(x)0时，f(x)g(x)

(C) 当f(x)0时，f(x)g(x)

f(x)g(x)

【答案】D

【解析】令F(x)g(x)f(x)f(0)(1x)f(1)xf(x)，则

F(0)F(1)0,

F(x)f(0)f(1)f(x),F(x)f(x).

若f(x)0，则F(x)0，F(x)在[0,1]上为凸的.

F(x)0，又F(0)F(1)0，所以当x[0,1]时，从而g(x)f(x).

故选D.

2xt7(4) 曲线上对应于t1的点处的曲率半径是

2yt4t1（ ）

(A)10

50 (B)10

100 (C)1010

(D)510

【答案】C

【解析】

dydx2t12t42t\'t13

t122dydytt12t1dxdx2t1ky\'\'1y3\'2211q32,R11010

k故选C

(5) 设函数f(x)arctanx，若f(x)xf()，则limx02x2

（ ）

(A)1

(D) (B)2

3 (C)1

2

1

3f(x)1xf(x)2f\'()，所以

x12f(x)2【答案】D

【解析】因为

limx0x2limx0xf(x)xarctanxlimlim22x0xf(x)xarctanxx0111x21

3x23

故选D.

(6) 设函数u(x,y)在有界闭区域D上连续，在D的内部具有2阶连续偏导2u2u2u数，且满足0及220，则

xyxy （ ）

(A)u(x,y)的最大值和最小值都在D的边界上取得

(B)

u(x,y)的最大值和最小值都在D的内部上取得

(C)

u(x,y)的最大值在D的内部取得，最小值在D的边界上取得

(D)

u(x,y)的最小值在D的内部取得，最大值在D的边界上取得

【答案】A

2u2u2u,C2,B0,A,C相反数 【解析】记A2,Bxxyy则=AC-B0,所以u(x,y)在D内无极值，则极值在边界处取得.

故选A

20a(7) 行列式b0a000cdc00b

0d( )

2222(A)(adbc) (B)(adbc) (C)adbc

22(D)bcad

【答案】B

【解析】由行列式的展开定理展开第一列

22220aa00cc0b0d00b0daac0bd00dacbd000c00b

ad(adbc)bc(adbc)

(adbc).

(8) 设a1,a2,a3均为三维向量，则对任意常数k,l,向量组a1ka3,a2la3线性无关是向量组2a1,a2,a3

线性无关的

( )

(A)必要非充分条件

(C)充分必要条件

件

【答案】A

【解析】1k3

(B)充分非必要条件

(D)既非充分也非必要条2l31210301.

kl10C01.

3，kl) 记A1k32l3，B12若1,2,3线性无关，则r(A)r(BC)r(C)2，故1k3,2l3线性无关.

) 举反例. 令30，则1,2线性无关，但此时1,2,3却线性相关.

综上所述，对任意常数k,l，向量1k3,2l3线性无关是向量1,2,3线性无关的必要非充分条件.

故选A

二、填空题：9置上.

(9)

114小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位．．．1x22x5dx__________.

【答案】

【解析】

1111x1dxdxarctanx22x5x124221138132428

(10) 设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f(x)2(x1),则f(7)__________.

【答案】1

【解析】f则f\'\'x[0,2]，x2x1，x0,2且为偶函数

x2x1，x2,0

2又fxx2xc且为奇函数，故c=0

fxx22x，x2,0

又fx的周期为4，f7f11

2yz(11) 设zz(x,y)是由方程exy2z7确定的函数，则4dz11(,)22__________.

1(dxdy)

22yz【答案】【解析】对e7xy2z方程两边同时对x,y求偏导

4zz2yze2y10xx

e2yz(2z2yz)2yz0yy

当x11,y时,z0

2211(,)22故zx1z,2y11(,)221

2故dz11(,)22111dx()dy(dxdy)

222(12) 曲线limnSn的极坐标方程是r，则L在点(r,)(n,)处的切22线的直角坐标方程是__________.

【答案】y2x2

【解析】由直角坐标和极坐标的关系

xrcoscos，

yrsinsin于是r,,,对应于x,y0,,

222dydydydcossin切线斜率

dxdxdxcossind2所以切线方程为yx0

22即y=x

20,22

(13) 一根长为1的细棒位于x轴的区间[0,1]上,若其线密度xx22x1,则该细棒的质心坐标x__________.

【答案】11

2010xxdx【解析】质心横坐标x

xdx10

x3152xdx=x2x1dxxx30003

4211x23x1112x00xxdx=0xx2x1dx212431111x12=

52031122(13) 设二次型fx1,x2,x3x12x22ax1x34x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围_________.

【答案】2,2

【解析】配方法：fx1,x2,x3x1ax3ax3x22x34x3

22222由于二次型负惯性指数为1，所以4a0，故2a2.

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答．．．应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分10分)

2求极限limxx121tte1tdt.

1x2ln1xx121dt2dtttt(e1)t11t(e1)tlim【解析】lim

xx1221xln(1)xxxxlim[x(e1)x]

x1tx21xet1tet1t1limlimlim2t0t0t0t2t2t2.

(16)(本题满分10分)

22已知函数yyx满足微分方程xyy1y，且y20，求

yx的极大值与极小

值.

【解析】 由xyy1y，得

(y1)y1x………………………………………………………①

此时上面方程为变量可分离方程，解的通解为

2222131yyxx3c

332 由y(2)0得c

3

1x2 又由①可得

y(x)2

y1 当y(x)0时，x1，且有：

x1,y(x)01x1,y(x)0

x1,y(x)0所以y(x)在x1处取得极小值，在x1处取得极大值

y(1)0,y(1)1

即：y(x)的极大值为1，极小值为0.

(17)(本题满分10分)

设平面区域Dx,y1x2y24,x0,y0,计算Dxsinx2y2xydxdy.

【解析】D关于yx对称，满足轮换对称性，则：

xsin(x2y2)ysin(x2y2)dxdydxdy

xyxyDDxsin(x2y2)1xsin(x2y2)ysin(x2y2)Idxdydxdyxy2DxyxyD

122sin(xy)dxdy

2D

212dsinrrdr120

21()rdcosr41212cosrr|1cosrdr

1411221sinr|1

43

4(18)(本题满分10分)

设函数f(u)具有二阶连续导数，zf(ecosy)满足x2z2zx2x\'(4zecosy)ef(0)0,f(0)0，，若求f(u)的表达式.

22xy【解析】由

zfexcosy,zzf(excosy)excosy,f(excosy)exsiny

xy2zxxxxxf(ecosy)ecosyecosyf(ecosy)ecosy，

2x2zxxxxxf(ecosy)esinyesinyf(ecosy)ecosy

2y2z2zx2x由

2+24zecosye，代入得，

xyfexcosye2x[4fexcosyexcosy]e2x

即

fexcosy4fexcosyexcosy，

x令ecosy=t,得ft4ftt

特征方程

40,2 得齐次方程通解yc1e2tc2e2t

211,b0，特解y*t

4412t2t则原方程通解为y=ftc1ec2et

411由f00,f\'00，得c1,c2, 则

1616111y=fue2ue2uu.

16164设特解yatb，代入方程得a*(19)(本题满分10分)

设函数f(x),g(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)单调增加，（I）0g(t)dtxa,x[a,b],

0g(x)1，证明：ax（II）aaag(t)dtf(x)dxbf(x)g(x)dx.

ab【解析】（I）由积分中值定理gtdtgxa,[a,x]

ax0gx1，0gxaxa

0gtdtxa

ax（II）直接由0gx1，得到

0gtdt1dt=xa

aaxx（II）令Fu\'fxgxdxauaFufugufagtdtguaugufufagtdtaaagtdtfxdx

uu

由（I）知0gtdtua

aagtdtu

aauu

又由于fx单增，所以fufagtdt0

uaF\'u0，Fu单调不减，FuFa0

取ub，得Fb0，即（II）成立.

(20)(本题满分11分)

设函数f(x)x,x0,1，定义函数列

1x,fn(x)f(fn1(x)),，记Sn是由曲线nf1(x)f(x),f2(x)f(f1(x)),yfn(x)，直线x1及x轴所围成平面图形的面积，求极限limnSn.

xxxx,f2(x),f3(x),,fn(x),

1x12x13x1nx11x111xnndx

Snfn(x)dxdx001nx01nx11111111dxdx2ln(1nx)10

00nn1nxnn112ln(1n)

nnln(1n)ln(1x)1limnSn1lim1lim1lim101

nnxxnx1x【解析】f1(x)(21)(本题满分11分)

已知函数f(x,y)满足f2(y1)y，且f(y,y)(y1)2(2y)lny,求曲线f(x,y)0所围成的图形绕直线y1旋转所成的旋转体的体积.

【解析】因为定函数.

又因为f(y,y)(y1)2ylny,则(y)12ylny，从而

2f2(y1),所以f(x,y)y22y(x),其中(x)为待y

f(x,y)y22y12xlnx(y1)22xlnx.

令f(x,y)0,可得(y1)22xlnx，当y1时，x1或x2，从而所求的体积为

V21y1dx12xlnxdx1222x2lnxd2x222x2xlnx(2x)2dx12122

2ln2(2x(22)(本题满分11分)

x255)12ln22ln2.4441234 设矩阵A0111，E为三阶单位矩阵.

1203(I)求方程组Ax0的一个基础解系；

(II)求满足ABE的所有矩阵B.

【解析】

1234100123410001110100111010AE

12030010431101

6112341001001201110100102131,

00131410013141 (I)Ax0的基础解系为1,2,3,1

(II)e11,0,0,e20,1,0,e30,0,1

TTTTAxe1的通解为

xk12,1,1,02k1,12k1,13k1,k1

TT

Axe2的通解为

xk26,3,4,06k2,32k2,43k2,k2

Axe3的通解为xk31,1,1,01k3,12k3,13k3,k3

TTTT6k21k32k112k32k12k123B13k143k213k3kk2k31(23)(本题满分11分)

（k1,k2,k3为任意常数）

1111 证明n阶矩阵111010与100102相似.

0n1121，B=00【解析】已知A11n则A的特征值为n，0(n1重).

1，

A属于n的特征向量为(1,1,,1)T；r(A)1，故Ax0基础解系有n1个线性无关的解向量，即A属于0有n1个线性无关的特征向n0. 量；故A相似于对角阵=0B的特征值为n，0(n1重)，同理B属于0有n1个线性无关的特征向量，故B相似于对角阵.

由相似关系的传递性，A相似于B.