四年级数学找规律练习题

2024年4月8日发(作者：南昌2020文科数学试卷)

第8讲 找规律（二）

整数a与它本身的乘积，即a×a叫做这个数的平方，记作a

2

，即a

2

＝a×a；同样，三个a的乘积叫做a的三次方，记作a

3

，即a

3

＝a×a×a。

一般地，n个a相乘，叫做a的n次方，记作a

n

，即

本讲主要讲a

n

的个位数的变化规律，以及a

n

除以某数所得余数的变

化规律。

因为积的个位数只与被乘数的个位数和乘数的个位数有关，所以a

n

的个位数只与a的个位数有关，而a的个位数只有0，1，2，„，9共十

种情况，故我们只需讨论这十种情况。

为了找出一个整数a自乘n次后，乘积的个位数字的变化规律，我们

列出下页的表格，看看a，a

2

，a

3

，a

4

，„的个位数字各是什么。

从表看出，a

n

的个位数字的变化规律可分为三类：

（1）当a的个位数是0，1，5，6时，a

n

的个位数仍然是0，1，5，6。

（2）当a的个位数是4，9时，随着n的增大，a

n

的个位数按每两个

数为一周期循环出现。其中a的个位数是4时，按4，6的顺序循环出现；

a的个位数是9时，按9，1的顺序循环出现。

（3）当a的个位数是2，3，7，8时，随着n的增大，a

n

的个位数按

每四个数为一周期循环出现。其中a的个位数是2时，按2，4，8，6的

顺序循环出现；a的个位数是3时，按3，9，7，1的顺序循环出现；当a

的个位数是7时，按7，9，3，1的顺序循环出现；当a的个位数是8时，

按8，4，2，6的顺序循环出现。

1

例1 求67

999

的个位数字。

分析与解：因为67的个位数是7，所以67

n

的个位数随着n的增大，

按7，9，3，1四个数的顺序循环出现。

999÷4＝249„„3，

所以67

999

的个位数字与7

3

的个位数字相同，即67

999

的个位数字是3。

例2 求2

91

+3

291

的个位数字。

分析与解：因为2

n

的个位数字按2，4，8，6四个数的顺序循环出现，91

÷4＝22„„3，所以，2

91

的个位数字与2

3

的个位数字相同，等于8。

类似地，3

n

的个位数字按3，9，7，1四个数的顺序循环出现，

291÷4＝72„„3，

所以3

291

与3

3

的个位数相同，等于7。

最后得到2

91

+3

291

的个位数字与8+7的个位数字相同，等于5。

例3 求28

128

-29

29

的个位数字。

解：由128÷4＝32知，28

128

的个位数与8

4

的个位数相同，等于6。由29

÷2＝14„„1知，29

29

的个位数与9

1

的个位数相同，等于9。因为6＜9，

在减法中需向十位借位，所以所求个位数字为16－9＝7。

例4 求下列各除法运算所得的余数：

2