2003年吉林高考文科数学真题及答案

2024年4月11日发(作者：六年知识联赛数学试卷)

2003年吉林高考文科数学真题及答案

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）直线

y

＝2

x

关于

x

轴对称的直线方程为（　　）

A． B． C．

y

＝﹣2

x

D．

y

＝2

x

2．（5分）已知

x

∈（，0），cos

x

，则tan2

x

等于（　　）

A． B． C． D．

3．（5分）抛物线

y

＝

ax

2

的准线方程是

y

＝2，则

a

的值为（　　）

A． B． C．8 D．﹣8

4．（5分）等差数列{

a

n

}中，已知

a

1

A．48 B．49

，

a

2

+

a

5

＝4，

a

n

＝33，则

n

为（　　）

C．50 D．51

5．（5分）双曲线虚轴的一个端点为

M

，两个焦点为

F

1

、

F

2

，∠

F

1

MF

2

＝120°，则双曲线的

离心率为（　　）

A． B． C． D．

6．（5分）设函数

A．（﹣1，1）

C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）

若

f

（

x

0

）＞1，则

x

0

的取值范围是（　　）

B．（﹣1，+∞）

D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

7．（5分）已知

f

（

x

5

）＝

lgx

，则

f

（2）＝（　　）

A．

lg

2 B．

lg

32 C． D．

8．（5分）函数

y

＝sin（

x

+φ）（0≤φ≤π）是

R

上的偶函数，则φ＝（　　）

A．0 B． C． D．π

9．（5分）已知点（

a

，2）（

a

＞0）到直线

l

：

x

﹣

y

+3＝0的距离为1，则

a

＝（　　）

A． B． C． D．

10．（5分）已知圆锥的底面半径为

R

，高为3

R

，它的内接圆柱的底面半径为

全面积为（　　）

，该圆柱的

A．2π

R

2

B． C． D．

11．（5分）已知长方形的四个顶点

A

（0，0），

B

（2，0），

C

（2，1）和

D

（0，1），一质点

从

AB

的中点

P

0

沿与

AB

夹角为θ的方向射到

BC

上的点

P

1

后，依次反射到

CD

、

DA

和

AB

上的点

P

2

、

P

3

和

P

4

（入射角等于反射角）若

P

4

与

P

0

重合，则

tg

θ＝（　　）

A． B． C． D．1

12．（5分）棱长都为

A．3π

的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（　　）

B．4π C．3 D．6π

二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）

13．（4分）不等式的解集是　 　．

14．（4分）在的展开式中，

x

3

的系数是　 　（用数字作答）

15．（4分）在平面几何里，有勾股定理“设△

ABC

的两边

AB

，

AC

互相垂直，则

AB

2

+

AC

2

＝

BC

2

”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的

关系，可以得出正确的结论是：“设三棱锥

A

﹣

BCD

的三个侧面

ABC

、

ACD

、

ADB

两两互相

垂直，则　 　．”

16．（4分）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同

一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有　 　种．（以数字作答）

三、解答题（共6小题，满分74分）

17．（12分）已知正四棱柱

ABCD

﹣

A

1

B

1

C

1

D

1

．

AB

＝1，

AA

1

＝2，点

E

为

CC

1

中点，点

F

为

BD

1

中点．

（1）证明

EF

为

BD

1

与

CC

1

的公垂线；

（2）求点

D

1

到面

BDE

的距离．

18．（12分）已知复数

z

的辐角为60°，且|

z

﹣1|是|

z

|和|

z

﹣2|的等比中项．求|

z

|．

19．（12分）已知数列{

a

n

}满足

a

1

＝1，

a

n

＝3

n

﹣1

+

a

n

﹣1

（

n

≥2）．

（Ⅰ）求

a

2

，

a

3

；

（Ⅱ）证明．

20．（12分）已知函数

f

（

x

）＝2sin

x

（sin

x

+cos

x

）．

（1）求函数

f

（

x

）的最小正周期和最大值；

（2）在给出的直角坐标系中，画出函数

y

＝

f

（

x

）在区间上的图象．

21．（12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市

O

（如图）

的东偏南方向300

km

的海面

P

处，并以20

km

/

h

的速度向西偏北45°方向移

动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60

km

，并以10

km

/

h

的速度不断增大，问几

小时后该城市开始受到台风的侵袭？

22．（14分）已知常数

a

＞0，在矩形

ABCD

中，

AB

＝4，

BC

＝4

a

，

O

为

AB

的中点，点

E

、

F

、

G

分别在

BC

、

CD

、

DA

上移动，且，

P

为

GE

与

OF

的交点（如图），问是否存在

两个定点，使

P

到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若

不存在，请说明理由．

2003年全国统一高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）直线

y

＝2

x

关于

x

轴对称的直线方程为（　　）

A． B． C．

y

＝﹣2

x

D．

y

＝2

x

【解答】解：∵直线

y

＝

f

（

x

）关于

x

对称的直线方程为

y

＝﹣

f

（

x

），

∴直线

y

＝2

x

关于

x

对称的直线方程为：

y

＝﹣2

x

．

故选：

C

．

2．（5分）已知

x

∈（，0），cos

x

，则tan2

x

等于（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：∵cos

x

，

x

∈（，0），

∴sin

x

．∴tan

x

．

∴tan2

x

故选：

D

．

．

3．（5分）抛物线

y

＝

ax

2

的准线方程是

y

＝2，则

a

的值为（　　）

A． B． C．8 D．﹣8

【解答】解：抛物线

y

＝

ax

2

的标准方程是

x

2

y

，

则其准线方程为

y

2，

所以

a

故选：

B

．

．

4．（5分）等差数列{

a

n

}中，已知

a

1

A．48 B．49

，

a

2

+

a

5

＝4，

a

n

＝33，则

n

为（　　）

C．50 D．51

【解答】解：设{

a

n

}的公差为

d

，

∵，

a

2

+

a

5

＝4，

∴

d

4

d

＝4，即5

d

＝4，

解得

d

．

∴

an

令

a

n

＝33，

（

n

﹣1），

即33，

解得

n

＝50．

故选：

C

．

5．（5分）双曲线虚轴的一个端点为

M

，两个焦点为

F

1

、

F

2

，∠

F

1

MF

2

＝120°，则双曲线的

离心率为（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：根据双曲线对称性可知∠

OMF

2

＝60°，

∴tan∠

OMF

2

∴

a

，即

cb

，

b

，

∴

e

故选：

B

．

．

6．（5分）设函数

A．（﹣1，1）

C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）

【解答】解：当

x

0

≤0时，

若

f

（

x

0

）＞1，则

x

0

的取值范围是（　　）

B．（﹣1，+∞）

D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

，则

x

0

＜﹣1，

当

x

0

＞0时，则

x

0

＞1，

故

x

0

的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），

故选：

D

．

7．（5分）已知

f

（

x

5

）＝

lgx

，则

f

（2）＝（　　）

A．

lg

2 B．

lg

32 C． D．

【解答】解：令

x

5

＝2，

∴得

x

，

∵

f

（

x

5

）＝

lgx

，

∴

f

（2）＝

lg

故选：

D

．

lg

2．

8．（5分）函数

y

＝sin（

x

+φ）（0≤φ≤π）是

R

上的偶函数，则φ＝（　　）

A．0 B． C． D．π

【解答】解：当φ＝0时，

y

＝sin（

x

+φ）＝sin

x

为奇函数不满足题意，排除

A

；

当φ时，

y

＝sin（

x

+φ）＝sin（

x

）为非奇非偶函数，排除

B

；

当φ时，

y

＝sin（

x

+φ）＝cos

x

，为偶函数，满足条件．

当φ＝π时，

y

＝sin（

x

+φ）＝﹣sin

x

，为奇函数，

故选：

C

．

9．（5分）已知点（

a

，2）（

a

＞0）到直线

l

：

x

﹣

y

+3＝0的距离为1，则

a

＝（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：由点到直线的距离公式得：

∵

a

＞0，

∴

a

故选：

C

．

．

，

10．（5分）已知圆锥的底面半径为

R

，高为3

R

，它的内接圆柱的底面半径为

全面积为（　　）

，该圆柱的

A．2π

R

2

B． C． D．

【解答】解：设圆锥内接圆柱的高为

h

，则，解得，

所以圆柱的全面积为：

s

＝2

故选：

B

．

．

11．（5分）已知长方形的四个顶点

A

（0，0），

B

（2，0），

C

（2，1）和

D

（0，1），一质点

从

AB

的中点

P

0

沿与

AB

夹角为θ的方向射到

BC

上的点

P

1

后，依次反射到

CD

、

DA

和

AB

上的点

P

2

、

P

3

和

P

4

（入射角等于反射角）若

P

4

与

P

0

重合，则

tg

θ＝（　　）

A． B． C． D．1

【解答】解：由于若

P

4

与

P

0

重合，

故

P

2

、

P

3

也都是所在边的中点，

因为

ABCD

是长方形，