2024年1月9日发(作者：北京中考新定义数学试卷)
愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！高等数学公式导数公式：(tgx)′=sec2x(ctgx)′=−csc2x(secx)′=secx⋅tgx(cscx)′=−cscx⋅ctgx(ax)′=axlna1(logax)′=xlna基本积分表：′=(arcsinx)11−x21(arccosx)′=−1−x21(arctgx)′=1+x2′=−1(arcctgx)1+x2∫tgxdx=−lncosx+C∫ctgxdx=lnsinx+C∫secxdx=lnsecx+tgx+C∫dx2∫cos2x=∫secxdx=tgx+Cdx2∫sin2x=∫cscxdx=−ctgx+Ccscxdx=lncscx−ctgx+Cdx1x=+Carctg∫a2+x2aax−a1dx=ln∫x2−a22ax+a+Cdx1a+x+=∫a2−x22alna−xCdxx=arcsin+C∫a2−x2aπ20π20∫secx⋅tgxdx=secx+C∫ax∫adx=lna+C∫shxdx=chx+Cxcscx⋅ctgxdx=−cscx+C∫chxdx=shx+Cdx22=ln(x+x±a)+C∫x2±a2In=∫sinnxdx=∫cosnxdx=n−1In−2n∫∫∫x2a22x+adx=x+a+ln(x+x2+a2)+C22xa22222x−adx=x−a−lnx+x2−a2+C22xa2x2222a−xdx=a−x+arcsin+C22a22三角函数的有理式积分：−2u，cosx=12usinx=，1+u21+u2xu=tg，21dx=2du1+u2
愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！一些初等函数：两个重要极限：x双曲正弦:shx=e−e−x2x−x+ee:chx=双曲余弦2shxex−e−x双曲正切:thx==chxex+e−xarshx=ln(x+x2+1）archx=±ln(x+x2−1)11+xarthx=ln21−x三角函数公式：·诱导公式：函数角A-α90°-α90°+α180°-α180°+α270°-α270°+α360°-α360°+α·和差角公式：sin-sinαcosαcosαsinα-sinα-cosα-cosα-sinαsinαlimsinx=1x→0x1lim(1+)x=e=→∞xcoscosαsinα-sinα-cosα-cosα-sinαsinαcosαcosαtg-tgαctgα-ctgα-tgαtgαctgα-ctgα-tgαtgαctg-ctgαtgα-tgα-ctgαctgαtgα-tgα-ctgαctgα·和差化积公式：sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβcos(α±β)=cosαcosβmsinαsinβtg(α±β)=tgα±tgβ1mtgα⋅tgβctgα⋅ctgβm1ctg(α±β)=ctgβ±ctgαα+βα−βcos22α+βα−βsinα−sinβ=2cossin22α+βα−βcosα+cosβ=2coscos22α+βα−βcosα−cosβ=2sinsin22sinα+sinβ=2sin2
愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！·倍角公式：sin2α=2sinαcosαcos2α=2cos2α−1=1−2sin2α=cos2α−sin2αctg2α−1ctg2α=2ctgα2tgαtg2α=1−tg2α·半角公式：sin3α=3sinα−4sin3αcos3α=4cos3α−3cosαtg3α=3tgα−tg3α1−3tg2αα1−cosαsin=±22α1−cosα1−cosαsinαtg=±==1+cosαsinα1+cosα2·正弦定理：αcos2ctg1+cosα=±2α1+cosα1+cosαsinα=±==1−cosαsinα1−cosα2abc===2RsinAsinBsinCπ·余弦定理：c2=a2+b2−2abcosC·反三角函数性质：arcsinx=2−arccosxarctgx=π−arcctgx2高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：(uv)(n)=∑Cnu(nk)v(k)k=0kn−=u(n)v+nu(n−1)vLn(n−1)L(n−k+1)(n−k)′+n(n−1)−(n2)v′′+L+v(k)++uv(n)uu2!k!中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：fbfab−a)f=)′(ξ)(′(ξ)()f(b)−(f()a−柯西中值定理：=f()−()F′(ξ)FbFa当F(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式：ds=1+y′2dx,其中y′=tgα平均曲率：K=Δα.Δα:从M点到M′点，切线斜率的倾角变化量；Δs：MM′弧长。Δs′′yΔαdαM点的曲率：K=lim=.=Δs→0Δsds+′)(1y23直线：K=0;1半径为a的圆：K=.a3
愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！定积分的近似计算：矩形法：∫f(x)≈abbb−a(y+y+L+y)n01n−1b−a1[(y0+yn)+y1+L+yn−1]n2b−a[(y0+yn)+2(y2+y4+L+yn−2)+4(y1+y3+L+y3nn−1梯形法：∫f(x)≈ab抛物线法：∫f(x)≈a)]定积分应用相关公式：功：W=F⋅s水压力：F=p⋅Am1m2,k为引力系数r2b1函数的平均值：y=f(x)dxb−a∫a引力：F=k12均方根：∫b−aaf(t)dt空间解析几何和向量代数：b空间2点的距离：d=M1M2=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2向量在轴上的投影：PrujAB=AB⋅cosϕ,ϕ是AB与u轴的夹角。vvvvPrju(a1+a2)=Prja1+Prja2vvvva⋅b=a⋅bcosθ=axbx+ayby+azbz,是一个数量,=两向量之间的夹角：cosθivvvc=a×b=axbxjaybyaxbx+ayby+abzz222+2ax+ay+az⋅bxby2+bz2kvvvvvvaz,c=a⋅bsinθ.例：线速度：v=w×azvvvvvvvvv向量的混合积：[abc]=(a×b)⋅c=xbbyzb=a×b⋅ccosα,α为锐角时，cx代表平行六面体的体积。cycz4
愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！平面的方程：v1、点法式：A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0，其中n={A,B,C},M0(x0,y0,z0)2、一般方程：Ax+By+Cz+D=0xyz3、截距世方程：++=1abc=Ax0+By0+Cz0+Dd平面外任意一点到该平面的距离：A2+B2+C2⎧x=x0+mtx−x0y−y0z−z0⎪v空间直线的方程：===t,其中s={m,n,p};参数方程：⎨y=0y+ntmnp⎪z=z+pt⎩0二次曲面：x2y2z21、椭球面：2+2+2=1abcx2y2=z（2、抛物面：+,p,q同号）2p2q3、双曲面：x2y2z2单叶双曲面：2+2−2=1abcx2y2z2双叶双曲面：2−2+2=（1马鞍面）abc多元函数微分法及应用∂z∂z∂u∂u∂u全微分：dz=∂xdx+dydu=dx+dy+dz∂x∂y∂y∂z全微分的近似计算：Δz≈dz=fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy多元复合函数的求导法：dz∂z∂u∂z∂v=⋅+⋅dt∂u∂t∂v∂t∂z∂z∂u∂z∂vz=f[u(x,y),v(x,y)]=⋅+⋅∂x∂u∂x∂v∂x当u=u(x,y)，v=v(x,y)时，∂u∂u∂v∂vdu=dx+dydv=dx+dy∂x∂y∂x∂y隐函数的求导公式：FxFxFxdy∂dyd2y∂隐函数F(x,y)=0，=−，=(−)＋(−)⋅Fy∂yFydxdxdx2∂xFyFyFx∂z∂z=−隐函数F(x,y,z)=0，=−，Fz∂x∂yFzz=f[u(t),v(t)]5
愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！∂F⎧F(x,y,u,v)=0∂(F,G)∂u==J隐函数方程组：⎨∂G=∂(u,v)⎩G(x,y,u,v)0∂u∂u1∂(F,G)∂v1∂(F,G)=−⋅=−⋅∂x∂xJ∂(u,x)J∂(x,v)∂u∂v1∂(F,G)1∂(F,G)=−⋅=−⋅∂y∂yJ∂(u,y)J∂(y,v)微分法在几何上的应用：∂FFu∂v=∂GGu∂vFvGv⎧x=ϕ(t)在点x−x0y−y0z−z0空间曲线⎪==⎨y=ψ(t)M(x,0y,0z)处的切线方程：0ψ′ω′0(t)ϕ′0⎪z=ω(t)0⎩(t)(t)ϕ′0−0+ψ′(t0)(y−y0)+ω′(t0)(z−z0)=0FyFzF在点M处的法平面方程：(t)(xx)FxFxFy⎧vz⎪F(x,y,z)=0若空间曲线方程为：,则切向量T={,,}⎨GGGG⎪GxxyzGzy⎩G(x,y,z)=0曲面F(x,y,z)=0上一点M(x0,y0,z0)，则：v1、过此点的法向量：n={Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(x−x0)+Fy(x0,y0,z0)(y−y0)+Fz(x0,y0,z0)(z−z0)=0x−x0y−y0z−z0==3、过此点的法线方程：Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)方向导数与梯度：∂f∂f∂f函数z=f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为：=cosϕ+sinϕ∂y∂l∂x其中ϕ为x轴到方向l的转角。∂fv∂fvi+∂yj∂xvv∂fvv它与方向导数的关系是：=gradf(x,y)⋅e，其中e=cosϕ⋅i+sinϕ⋅j，为l方向上的∂l单位向量。∂f∴∂l是gradf(x,y)在l上的投影。函数z=f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)=多元函数的极值及其求法：设fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0，令：fxx(x0,y0)=A,⎧⎧A<0,(x0,y0)为极大值2⎨⎪AC−B>0时，⎩A>0,(x0,y0)为极小值⎪2则：无极值⎨⎪AC−B<0时，⎪AC−B2=0时,不确定⎪⎪⎩6fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C
愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！重积分及其应用：∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθDD′曲面z=f(x,y)的面积A=∫∫D⎛∂z⎞⎛∂z⎞⎟1+⎜⎟+⎜dxdy⎜⎟⎝∂x⎠⎝∂y⎠22平面薄片的重心：x=Mx=M∫∫xρ(x,y)dσD∫∫ρ(x,y)dσDD,y=MMy=∫∫yρ(x,y)dσD∫∫ρ(x,y)dσDD平面薄片的转动惯量：对于x轴Ix=∫∫y2ρ(x,y)dσ,对于y轴Iy=∫∫xρ(x,y)dσρ(x,y)xdσ(x+y+a)222322平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a>0)的引力：F={Fx,Fy,Fz}，其中：F=f∫∫xDρ(x,y)xdσ222(x+y+a)2，3Fy=f∫∫Dρ(x,y)ydσ222(x+y+a)2，3F=−fa∫∫zD柱面坐标和球面坐标：⎧x=rcosθ⎪柱面坐标：⎨y=rsinθ,⎪z=z⎩∫∫∫f(x,y,z)dxdydz=∫∫∫F(r,θ,z)rdrdθdz,ΩΩ其中：F(r,θ,z)=f(rcosθ,rsinθ,z)⎧x=rsinϕcosθ⎪球面坐标：⎨y=rsinϕsinθ，⎪z=rcosϕ⎩dv=rdϕ⋅rsinϕ⋅dθ⋅dr=r2sinϕdrdϕdθ2ππr(ϕ,θ)∫∫∫f(x,y,z)dxdydz=∫∫∫F(r,ϕ,θ)rsinϕdrdϕdθ=∫dθ∫dϕ2ΩΩ002F(r,ϕ,θ)rsinϕdr∫0重心：x=1M∫∫∫xρdv,ΩΩy=1M∫∫∫yρdv,ΩΩz=1M∫∫∫zρdv，Ω其中M=x=∫∫∫ρdvΩ转动惯量：Ix=∫∫∫(y2+z2)ρdv，曲线积分：Iy=∫∫∫(x2+z2)ρdv，Iz=∫∫∫(x2+y2)ρdvΩ第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：⎧x=ϕ(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：⎨y=ψ(t),⎩β(α≤t≤β),则：(α<β)⎧x=t特殊情况：⎨⎩y=ϕ(t)∫f(x,y)ds=∫f[ϕ(t),ψ(t)]Lαϕ′2(t)+ψ′2(t)dt7
愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：⎧x=ϕ(t)，则：设L的参数方程为⎨⎩y=ψ(t)∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫{P[ϕ(t),ψ(t)]ϕ′(t)+Q[ϕ(t),ψ(t)]ψ′(t)}dtLαβ两类曲线积分之间的关系：∫Pdx+Qdy=∫(Pcosα+Qcosβ)ds，其中α和β分别为LLL上积分起止点处切向量的方向角。∂Q∂P∂Q∂P−=+)dxdyPdxQdy格林公式：(格林公式：(∫∫∂x∂y∫∫∫∂x−∂y)dxdy=∫Pdx+QdyDLDL∂Q∂P1=2时，得到D的面积：A=∫∫dxdy=∫xdy−ydx当P=−y,Q=x，即：−2L∂x∂yD·平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；∂Q∂P2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且∂x＝∂y。注意奇点，如(0,0)，应减去对此奇点的积分，注意方向相反！·二元函数的全微分求积：∂Q∂P在∂x＝∂y时，Pdx+Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：u(x,y)=(x,y)(x0,y0)∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy，通常设x0=y0=0。曲面积分：22对面积的曲面积分：f(x,y,z)ds=f[x,y,z(x,y)]1+z(x,y)+zxy(x,y)dxdy∫∫∫∫∑Dxy对坐标的曲面积分：∫∫P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy，其中：∑∫∫R(x,y,z)dxdy=±∫∫R[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正号；∑Dxy∫∫P(x,y,z)dydz=±∫∫P[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正号；∑Dyz∫∫Q(x,y,z)dzdx=±∫∫Q[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正号。∑Dzx两类曲面积分之间的关系：∫∫Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∑∫∫(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds∑高斯公式：8
愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！∫∫∫(Ω∂P∂Q∂R++)dv=∫∫Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∫∫(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds∂x∂y∂z∑∑高斯公式的物理意义——通量与散度：v∂P∂Q∂Rv散度：divν=++,即：单位体积内所产生的流体质量，若divν<0,则为消失...∂x∂y∂zvv通量：∫∫A⋅nds=∫∫Ands=∫∫(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds，v因此，高斯公式又可写成：∫∫∫divAdv=∫∫AndsΩ∑∑∑∑斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：∫∫(∑∂Q∂P∂R∂Q∂P∂R−)dydz+(−)dzdx+(−)dxdy=∫Pdx+Qdy+Rdz∂y∂z∂z∂x∂x∂yΓcosβ∂∂yQcosγ∂∂zRcosαdydzdzdxdxdy∂∂∂∂上式左端又可写成：=∫∫∫∫∂x∂x∂y∂z∑∑PQRP∂R∂Q∂P∂R∂Q∂P=，=空间曲线积分与路径无关的条件：=，∂y∂z∂z∂x∂x∂yijkv∂∂∂旋度：rotA=∂x∂y∂zPQRvv向量场A沿有向闭曲线Γ的环流量：Pdx+Qdy+Rdz=A∫∫⋅tvdsΓΓ常数项级数：1−qn等比数列：1+q+q+L+q=1−q(n+1)n等差数列：1+2+3+L+n=2111调和级数：1+++L+是发散的n232−n1级数审敛法：9
愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：⎧ρ<1时，级数收敛⎪设：ρ=limnun，则⎨ρ>1时，级数发散n→∞⎪ρ=1时，不确定⎩2、比值审敛法：⎧ρ<1时，级数收敛U⎪设：ρ=limn+1，则⎨ρ>1时，级数发散n→∞U⎪ρ=1n时，不确定⎩3、定义法：sn=u1+u2+L+un;limsn存在，则收敛；否则发散。n→∞交错级数u1−u2+u3−u4+L(或−u1+u2−u3+L,un>0)的审敛法——莱布尼兹定理：⎧⎪un≥un+1如果交错级数满足⎨limu=0，那么级数收敛且其和s≤u,其余项r的绝对值r≤u。1nnn+1⎪n→∞n⎩绝对收敛与条件收敛：(1)u1+u2+L+un+L，其中un为任意实数；(2)u1+u2+u3+L+un+L如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。(−1)n1∑调和级数：发散，而收敛；nn1级数：∑n2收敛；ｐ≤１时发散1p级数：∑npp>1时收敛∑幂级数：10
愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！11+x+x2+x3+L+xn+L1−xx≥1时，发散x<1时，收敛于对于级数(3)a0+a1x+a2x2+L+anxn+L，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全x 愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！f(x)=a02+∑(acosnx+bsinnx)，周期=2πn=1nn∞π⎧1(n=0,1,2L)⎪an=∫f(x)cosnxdxπ−π⎪其中⎨π⎪b=1f(x)sinnxdx(n=1,2,3L)⎪nπ∫−π⎩π2π2111111+2+2+L=1+2+2+2+L=（相加）3582346π2π2111111+2+2+L=1−2+2−2+L=（相减）224122462342正弦级数：an=0，bn=∫f(x)sinnxdxπ02余弦级数：bn=0，an=∫f(x)cosnxdxπ0周期为2l的周期函数的傅立叶级数：ππn=1,2,3Ln=0,1,2Lf(x)=∑bnsinnx是奇函数f(x)=a02+∑acosnx是偶函数n12 愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！a0∞f(x)=2+∑(ancosn=1nπxnπx+bnsin)，周期=2lll(n=0,1,2L)(n=1,2,3L)l⎧nπx1dx⎪an=∫f(x)cosl−ll⎪其中⎨l⎪b=1f(x)sinnπxdx⎪nl∫l−l⎩微分方程的相关概念：一阶微分方程：y′=f(x,y)或P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy=f(x)dx的形式，解法：得：G(y)=F(x)+C称为隐式通解。齐次方程：一阶微分方程可以写成dyy=f(x,y)=ϕ(x,y)，即写成的函数，解法：dxxydydududxduy∴=分离变量，积分后将代替u，设u=，则=u+xdx，u+dx=ϕ(u)，xxϕ(u)−uxdx即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：∫g(y)dy=∫f(x)dxdy1、一阶线性微分方程：+P(x)y=Q(x)dx当Q(x)=0时,为齐次方程，y=Ce−∫P(x)dx当Q(x)≠0时，为非齐次方程，y=(∫Q(x)edy2、贝努力方程：+P(x)y=Q(x)yn，(n≠0,1)dx全微分方程：∫P(x)dxdx+C)e−∫P(x)dx如果P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0中左端是某函数的全微分方程，即：∂u∂udu(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0，其中：=P(x,y)，=Q(x,y)∂x∂y∴u(x,y)=C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程：f(x)≡0时为齐次d2ydy+P(x)+Q(x)y=f(x)，dxdx2f(x)≠0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*)y′′+py′+qy=0，其中p,q为常数；2求解步骤：Δ1、写出特征方程：()2r+pr+q=0，其中r2、求出(Δ)式的两个根r1,r213′′′，r的系数及常数项恰好是(*)式中y,y,y的系数； 愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！3、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：r1，r2的形式两个不相等实根(两个相等实根(一对共轭复根(p(*)式的通解p2−4q>0)y=cer1x+cer2x12p2−4q=0)2y=(c+cx)er1x12−4q<0)y=eαx(c1cosβx+csinβx)2r1=α+iβ，r2=α−iβ4q−p2pα=−，β=22二阶常系数非齐次线性微分方程y′′+py′+qy=f(x)，p,q为常数f(x)=eλxPm(x)型，λ为常数；f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+P(x)sinωx]型n概率公式整理1．随机事件及其概率A∪Ω=Ω吸收律：A∪∅=AA∪(AB)=AA−B=AB=A−(AB)A∩Ω=AA∩∅=∅A∩(A∪B)=A反演律：A∪B=ABAB=A∪BUA=IAi=1ii=1nniIA=UAi=1ii=1inn2．概率的定义及其计算P(A)=1−P(A)若A⊂B⇒P(B−A)=P(B)−P(A)14 愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！对任意两个事件A,B,有P(B−A)=P(B)−P(AB)加法公式：对任意两个事件A,B,有P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)P(A∪B)≤P(A)+P(B)P(UAi)=∑P(Ai)−i=1i=1nn1≤i 愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！5．离散型随机变量(1)0–1分布P(X=k)=pk(1−p)1−k,k=0,1(2)二项分布B(n,p)若P(A)=pP(X=k)=Cnkpk(1−p)n−k,k=0,1,L,n*Possion定理limn→∞npn=λ>0lim−k−λn→∞Cnkpkn(1−pneλk有n)=k=0,1,2,k!L(3)Poisson分布P(λ)P(X=k)=e−λλkk!,k=0,1,2,L6．连续型随机变量(1)均匀分布U(a,b)⎧1f(x)=⎪⎨b−a,a 愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！x<0⎧0,F(x)=⎨−λx⎩1−e,x≥0(3)正态分布N(μ,σ2)(x−μ)22σ2f(x)=−1e2πσ−∞ 愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！(2)二维正态分布f(x,y)=12πσ1σ21−ρ2×e⎡(x−μ1)22ρ(x−μ1)(y−μ2)+(y−μ2)2⎤−−⎥2⎢σ1σ2σ12σ22⎥⎦2(1−ρ)⎢⎣1−∞ 愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！X的k阶中心矩E((X−E(X))k)X的方差E((X−E(X))2)=D(X)X,Y的k+l阶混合原点矩E(XkY)lX,Y的k+l阶混合中心矩klE((X−E(X))(Y−E(Y)))X,Y的二阶混合原点矩E(XY)X,Y的二阶混合中心矩X,Y的协方差E((X−E(X))(Y−E(Y)))X,Y的相关系数⎛(X−E(X))(Y−E(Y))⎞⎟=ρE⎜⎜⎟XYD(X)D(Y)⎝⎠X的方差D(X)=E((X-E(X))2)D(X)=E(X2)−E2(X)协方差cov(X,Y)=E((X−E(X))(Y−E(Y)))=E(XY)−E(X)E(Y)1=±(D(X±Y)−D(X)−D(Y))2相关系数19 愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！cov(X,Y)D(X)D(Y)线性代数部分梳理：条理化，给出一个系统的，有内在有机结构的理论体系。沟通：突出各部分内容间的联系。充实提高：围绕考试要求，介绍一些一般教材上没有的结果，教给大家常见问题的实用而简捷的方法。大家要有这样的思想准备：发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同，有的方法是你不知道的。但是我相信，只要你对它们了解了，掌握了，会提高你的解题能力的。基本运算①A+B=B+A②(A+B)+C=A+(B+C)③c(A+B)=cA+cB④c(dA)=(cd)A⑤cA=0⇔c=0或A=0。ρXY=(c+d)A=cA+dA(AT)T=ATT(A±B)TT=A±B(cA)=c(AT)。(AB)T=BTAT2τ(n(n−1)L21)=Cn=n(n−1)22n2nD=a21A21+a22A22+L+aA转置值不变AT=A逆值变A−1=1AcA=cnAα,β1+β2,γ=α,β1,γ+α,β2,γA=(α1,α2,α3)，3阶矩阵20 愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！B=(β1,β2,β3)A+B≠A+BA+B=(α1+β1,α2+β2,α3+β3)A+B=α1+β1,α2+β2,α3+β3A∗A0==AB0B∗BE(i,j(c))=1有关乘法的基本运算Cij=ai1b1j+ai2b2j+L+ab线性性质innj(A+1A)B2=AB1+AB2，A(B1+B2)=AB1+AB2(cA)B=c(AB)=A(cB)结合律(AB)C=A(BC)TT(AB)T=BAAB=ABAkAl=Ak+l(Ak)l(AB)k=Aklkk=，不一定成立！AEAB=AE=AAA(kE)=kA，(kE)A=kAAB=E⇔BA=E与数的乘法的不同之处(AB)kkk=AB不一定成立！无交换律因式分解障碍是交换性一个矩阵A的每个多项式可以因式分解，例如A2−2A−3E=(A−3E)(A+E)21 愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！无消去律（矩阵和矩阵相乘）当AB=0时⇒/A=0或B=0由A≠0和AB=0⇒/B=0由A≠0时AB=AC⇒/B=C特别的设A可逆，则A有消去律。（无左消去律）左消去律：AB=AC⇒B=C。右消去律：BA=CA⇒B=C。如果A列满秩，则A有左消去律，即①AB=0⇒B=0②AB=AC⇒B=C可逆矩阵的性质i）当A可逆时，AT也可逆，且(AAk也可逆，且(AT−1)=(A−1)T。k−1)=(A−1)。k数c≠0，cA也可逆，(cA)−1=1−1cA。B=A−1。−1ii）A，B是两个n阶可逆矩阵⇔AB也可逆，且(AB)−1推论：设A，B是两个n阶矩阵，则AB=E⇔BA=E命题：初等矩阵都可逆，且(E(i,j))−1=E(i,j)(E(i(c)))−1=E⎜⎜i⎜⎟⎟⎟⎝⎝c⎠⎠(E(i,j(c)))−1=E(i,j(−c))命题：准对角矩阵⎛⎛1⎞⎞22 愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！A110A=00伴随矩阵的基本性质：0A2200−100A11000可逆⇔每个Aii都可逆，记A−1=O000Akk00A2200−100O0000A−1kkAA*=A*A=AE当A可逆时，AA*=EAA*−1得A−1=A*，A（求逆矩阵的伴随矩阵法）且得：(伴随矩阵的其他性质①A*=An−1A=(A−1)∗)=A−⎛−1A⎞−1−11⎜(A)⎟*=A(A)⎜A⎟⎝=⎠,TA*=AA−1②(AT)*=(A*),cA=cn−1A*,③()*④(AB)*=B*A*,Ak*=A*k，⑤)2A。⑥((A*))*=(An−n=2时，(A*)*=A⎛a−b⎞A*=⎜⎜−cd⎟⎝⎠⎟关于矩阵右上肩记号：T，k，−1，*i)任何两个的次序可交换，AT*=A*T，−1(如A*()−1)=(A()*)等ii)(AB)T=BTAT,(AB)−1=B−1(AB)*=B*A*但A−1，(AB)k=BkAk不一定成立！线性表示0→α1,α2,L,αs23 愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！αi→α1,α2,L,αsβ→α1,α2,L,αs⇔x1α1+x2α2+L+xsαs=β有解⇔(α1,α2,L,αs)x=β有解(x=(x1,L,xTs))Ax=β有解，即β可用A的列向量组表示AB=C=(r1,r2,L,rs)，A=(α1,α2,L,αn)，则r1,r2,L,rs→α1,α2,L,αn。β1,β2,L,βt→α1,α2,L,αs，则存在矩阵C，使得(β,β1,L2,β)=t(α,α1,L2,α)Cs线性表示关系有传递性当β1,β2,L,βt→α1,α2,L,αs→r1,r2,L,rp，则β1,β2,L,βt→r1,r2,L,rp。等价关系：如1果2α,α,sL,α与12β,β,tL,β互相α1,α2,L,αs→←β1,β2,L,βt记作α,1α,2L,αs≅β,1β,2L,β。t线性相关s=1，单个向量α，xα=0α相关⇔α=0s=2，α1,α2相关⇔对应分量成比例α1,α2相关⇔a1:b1=a2:b2=L=an:bn①向量个数s=维数n，则α,L1,α线性相（无）关n⇔αLα1=(≠n)0A=(α1,α2,L,αn)，Ax=0有非零解⇔A=0如果s>n，则α1,α2,L,αs一定相关Ax=0的方程个数n<未知数个数s24可表示 愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！②如果α1,α2,L,αs无关，则它的每一个部分组都无关③如果α1,α2,L,αs无关，而α1,α2,L,αs,β相关，则β→α1,α2,L,αs证明：设c1,L,cs,c不全为0，使得cα+L+cα+cβ=011ss则其中c≠0，否则c1+L+cα,L,cs不全为0，cαL,α无关矛11ss=0，与条件α,1s盾。于是β=−c1α−1L−ccsα。cs④当β→α1,L,αs时，表示方式唯一⇔α1Lαs无关（表示方式不唯一⇔αLα1相关）s⑤若β1,L,βt→α1,L,αs，并且t>s，则β,1L,β一定线性相关。t证明：记A=(α1,L,αs)，B=(β1,L,βt)，B=AC。则存在s×t矩阵C，使得Cx=0有s个方程，t个未知数，s 愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！推论：若两个无关向量组αLα1与βsLβ1等价，则s=t。t极大无关组一个线性无关部分组(I)，若#(I)等于秩α,α,α1,α2→()，(I)就一定是极大无关组4I6s①α1,α2,L,αs无关⇔γ(α1,α2,L,α)=s②β→α1,α2,L,αs⇔γ(α1,α2,L,αs,β)=γ(α1,L,αs)另一种说法：取α,α1,L,2α的一个极大无关组s(I)相关。(I)也是α,1α,α,β的极大无关组⇔(I),β2L,s证明：β→α1,L,αs⇔β→(I)⇔(I),β相关。⎧γ(α1,L,αs),β→α1Lαsγ(α1,L,αs,β)=⎨/α1,L,αs⎩γ(α1,L,αs)+1,β→③β可用α1,L,αs唯一表示⇔γ(α1,L,αs,β)=γ(α1,L,αs)=s④β1,L,βt→α1,L,αs⇔γ(α1,L,αs,β1,L,βt)=γ(α1,L,αs)⇒γ(β1,L,βt)≤γ(α1,L,αs)⑤α1,L,αs≅β1,L,βt⇔γ(α1,L,αs)=γ(α1Lαs,β1Lβt)=γ(β1,L,βt)矩阵的秩的简单性质0≤r(A)≤min{m,n}r(A)=0⇔A=0A行满秩：r(A)=mA列满秩：r(A)=nn阶矩阵A满秩：r(A)=nA满秩⇔A的行（列）向量组线性无关⇔A≠0⇔A可逆⇔Ax=0只有零解，Ax=β唯一解。26 愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！矩阵在运算中秩的变化初等变换保持矩阵的秩①r(AT)=r(A)②c≠0时，r(cA)=r)A(③r(A±B)≤r(A)+r(B)④r(AB)≤min){rA(,r)B}(⑤A可逆时，r(AB)=r(B)弱化条件：如果A列满秩，则γ(AB)=γ(B)证：下面证ABx=0与Bx=0同解。η是ABx=0的解⇔ABη=0⇔Bη=0⇔η是Bx=0的解B可逆时，r(AB)=r(A)⑥若AB=0，则r(A)+r(B)≤n（A的列数，B的行数）⑦A列满秩时r(AB)=r(B)B行满秩时r(AB)=r(A)⑧r(AB)+n≥r(A)+r(B)解的性质1．Ax=0的解的性质。如果η,1η,2L,η是一组解，则它们的任意线性组合ecη+cη+L+cη1122ee一定也是解。∀i,Aηi=0⇒A(c1η1+c2η2+L+ceηe)=02．Ax=β(β≠0)ξ①如果ξ,1,2L,ξ是eAx=β的一组解，则c1ξ1+c2ξ2+L+ceξe也是Ax=β的解⇔c1+c2+L+ce=127 愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！c1ξ1+c2ξ2+L+ceξe是Ax=0的解⇔c1+c2+L+ce=0Aξi=β⋅∀iA(c1ξ1+c2ξ2+L+ceξe)=c1Aξ1+c2Aξ2+L+ceAξ=(c1+c2+L+ce)β特别的：当ξ1,ξ2是Ax=β的两个解时，ξ1−ξ2是Ax=0的解②如果ξe是0Ax=β的解，则n维向量ξ也是Ax=β的解⇔ξ−ξ是Ax=0的解。0解的情况判别方程：Ax=β，即xα+xα1122+L+xαnn=β有解⇔β→α1,α2,L,αn⇔γ(A|β)=)γA⇔(γ(α1,α2,L,αn,β)=γ(α1,α2,L,αn)无解⇔γ(A|β)>)γA(唯一解⇔γ(A|β)=γ(A)=n无穷多解⇔γ(A|β)=)γA<(n方程个数m：γ(A|β)≤m),γA≤(m①当γ(A)=m时，γ(A|β)=m，有解②当m 愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！⎛λ1⎜A=⎜0⎜0⎝xE−A=*λ20x−λ00*∗λ1⎞⎟⎟⎟⎠3−*x−λ02−*−∗(=x−)λx−λ31)(3x−λ(2x−λ)（2）r(A)=1时：A的特征值为0,0,L,0,tr(A)特征值的性质命题：n阶矩阵A的特征值λ的重数≥n−r(λE−A)命题：设A的特征值为λ,1λ,2L,λ①λ1λ2Lλn=A②λ1+λ2+L+λn=tr(A)命题：设η是A的特征向量，特征值为λ，即Aη=λη，则①对于A的每个多项式f(A)，f(A)η=f(x)η②当A可逆时，Aη=−1，则n1η=|A|η，A*ηλλ，则nn命题：设A的特征值为λ,,L,λ1λ2①f(A)的特征值为f(λ−1),f1(λ),L(λ)2,f11②A可逆时，A的特征值为λ,11,L,λ2λnA*的特征值为|A||A||A|,,L,λ1λ2λnn③AT的特征值也是λ,1λ,2L,λ特征值的应用①求行列式|A|=λ1,λ2,L,λ②判别可逆性nλ是A的特征值⇔λE−A=0⇔A−λE不可逆A−λE可逆⇔λ不是A的特征值。29 愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！当f(A)=0时，如果f(c)≠0，则A−cE可逆若λ是A的特征值，则f(λ)是f(A)的特征值⇒f(λ)=0。f(c)≠0⇒c不是A的特征值⇔AcE可逆。n阶矩阵的相似关系当AU=UA时，B=A，而AU≠UA时，B≠A。相似关系有i）对称性：A~B⇔B~AU−1AU=B，则A=UBU−1ii）有传递性：A~B，B~C，则A~CU−1AU=B，V−1BV=C，则(UV)−1A(UV)=V−1U−1AUV=V−1BV=C命题当A~B时，A和B有许多相同的性质①A=B②γ(A)=γ(B)③A，B的特征多项式相同，从而特征值完全一致。A与B的特征向量的关系：η是A的属于λ的特征向量Aη=λη⇔B(U−1η)=λ(U−1η)cc⇔U−1是B的属于λ的特征向量。ηU−1Aη=λU−1η⇔U−1AUU−1η=λ(−1η)U正定二次型与正定矩阵性质与判别可逆线性变换替换保持正定性，则它们同时正定或同时不正定f(x1,x2,L,xn)变为g(y,1y,2L,y)nA~−B，则A，B同时正定，同时不正定。例如B=CTAC。如果A正定，则对每个x≠0xTBx=xTCTACx=(Cx)TACx>0（C可逆，x≠0，∴Cx≠0！）我们给出关于正定的以下性质~EA正定⇔A−30 愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！⇔存在实可逆矩阵C，A=CTC。⇔A的正惯性指数=n。⇔A的特征值全大于0。⇔A的每个顺序主子式全大于0。判断A正定的三种方法：①顺序主子式法。②特征值法。③定义法。基本概念对称矩阵AT=A。反对称矩阵AT=−A。简单阶梯形矩阵：台角位置的元素都为1，台角正上方的元素都为0。如果A是一个n阶矩阵，A是阶梯形矩阵⇒A是上三角矩阵，反之不一定矩阵消元法：（解的情况）①写出增广矩阵(Aβ)，用初等行变换化(Aβ)为阶梯形矩阵(Bγ)。②用(Bγ)判别解的情况。i）如果(Bγ)最下面的非零行为(0,L,0d)，则无解，否则有解。ii）如果有解，记γ是(Bγ)的非零行数，则γ=n时唯一解。γ 愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！矩阵。则bnn≠0⇒bn−1n−1≠0⇒Lb都不为0。ii行行(Aβ)⎯⎯→(Br)⎯⎯→(Eη)η就是解。a11一个n阶行列式a21a12La1na22La2nLLLan2LannLan1的值：①是n!项的代数和②每一项是n个元素的乘积，它们共有n!项aa1j12j2Lanjn其中jjLj是1,2,L,n的一个全12n排列。③a1j1Lanjn前面乘的应为(1)−)τ(j1j2Ljn)τ(jjLj)的逆序数12n=∑(−1)(j1j2LjnτjjLjn12aa1j12j2Lanjn2τ(n(n−1)L21)=Cn=n(n−1)2代数余子式Mij为aij的余子式。Aij()i+j=−1M定理：一个行列式的值D等于它的某一行（列），各元素与各自代数余子式乘积之和。ijD=a21A21+a22A22+L+a2nA2n一行（列）的元素乘上另一行（列）的相应元素代数余子式之和为0。范德蒙行列式1a11L1a1Lan=∏(aj−ai)i 愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！Cij=ai1b1j+ai2b2j+L+ab乘积矩阵的列向量与行向量（1）设m×n矩阵A=(α,α2,L,α1ninnj)，n维列向量β=(b,b,L,b)T12nAβ=b1α1+b2α2+L+bnα矩阵乘法应用于方程组方程组的矩阵形式，则nβ=Ax=β，((b1,b2,L,bm)T)方程组的向量形式x1α1+x2α2+L+xnαn=β（2）设AB=C，AB=(Aβ1,Aβ2,L,Aβs)ri=Aβi=b1iα1+b2iα2+L+bniα量。nAB的第i个列向量是A的列向量组的线性组合，组合系数是B的第i个列向量的各分AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合，组合系数是A的第i个行向量的各分量。矩阵分解当矩阵C的每个列向量都是A的列向量的线性组合时，可把C分解为A与一个矩阵B的乘积特别的在有关对角矩阵的乘法中的若干问题00⎞⎟00⎟=(λα,λα,L,λα)⎟0O01122nn⎟00λ⎟⎠n对角矩阵从右侧乘一矩阵A，即用对角线上的元素依次乘A的各列向量对角矩阵从左侧乘一矩阵A，即用对角线上的元素依次乘A的各行向量于是AE=A，EA=A⎛λ1⎜0(α1,α2,L,αn)⎜⎜0⎜⎜0⎝0λ2A(kE)=kA，(kE)A=kA两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘对角矩阵的k次方幂只须把每个对角线上元素作k次方幂对一个n阶矩阵A，规定tr(A)为A的对角线上元素之和称为A的迹数。于是(Tαβ)k(βTα)=k−1αβT=[αβT)]k−1αβTtr(33ααT)αTα=tr( 愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！其他形式方阵的高次幂也有规律⎛101⎞⎜⎟例如：A=⎜020⎟⎜101⎟⎝⎠初等矩阵及其在乘法中的作用（1）E(i,j)：交换E的第i,j两行或交换E的第i,j两列（2）E(i(c))：用数c(≠0)乘E的第i行或第i列（3）E(i,j(c))：把E的第j行的c倍加到第i行上，或把E的第i列的c倍加到第j列上。初等矩阵从左（右）侧乘一个矩阵A等同于对A作一次相当的初等行（列）变换乘法的分块法则一般法则：在计算两个矩阵A和B的乘积时，可以先把A和B用纵横线分割成若干小矩阵来进行，要求A的纵向分割与B的横向分割一致。两种常用的情况（1）A,B都分成4块⎛A11A=⎜⎜A21⎝A12⎞⎛B11⎟，B=⎜A22⎟⎜B21⎠⎝B12⎞B22⎟⎠⎟其中Ai1的列数和B1的行数相等，Ai的列数和B的行数相关。j22j⎛A11B+A12B21AB=⎜⎜AA11+AB⎝21112221（2）准对角矩阵A11B12+A12B22⎞⎟AB+AB⎠⎟21122222⎛A11⎜⎜0⎜⎜⎜0⎝⎛A11⎜⎜0⎜M⎜⎜0⎝0A2200A220L0⎞⎟L0⎟⎟O⎟LAkk⎟⎠L0⎞⎛B11⎟⎜L0⎟⎜0⎟⎜LO⎟⎜LAkk⎟⎜⎠⎝00B22L0L0⎞⎛AB⎟⎜1111L0⎟⎜0=⎜⎟LL⎟⎜⎜LBkk⎟⎠⎝0340AB2222LLO0⎞⎟0⎟⎟⎟AB⎟⎠kkkk0 愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！矩阵方程与可逆矩阵两类基本的矩阵方程（都需求A是方阵，且A≠0）(I)Ax=B（I）的解法：行(AB)⎯⎯→(Ex)(II)xA=B（II）的解法，先化为ATx=BT。T(ATBT)→(ExT)。通过逆求解：Ax=B，x=A−1B可逆矩阵及其逆矩阵定义：设A是n阶矩阵，如果存在n阶矩阵H，使得AH=E，且HA=E，则称A是可逆矩阵，称H是A的逆矩阵，证作A。定理：n阶矩阵A可逆⇔A≠0求A的方程（初等变换法）行→(EA−1)(AE)⎯⎯−1−1伴随矩阵⎛A11⎜⎜A12A*=⎜L⎜⎜A⎝1nA21LA⎞⎟A22LAn1⎟n2=(Aij)T⎟LLLA2nLAnn⎟⎟⎠线性表示β可以用α1,α2,L,αs线性表示，即β可以表示为α1,α2,L,αs的线性组合，也就是存在c1,c2,L,cs使得记号：β→α1,α2,L,αc1α1+c2α2+L+csαs=βs35 愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！线性相关性线性相关：存在向量αi可用其它向量α1,L,αi−1,αi+1,L,αs线性表示。线性无关：每个向量α都不能用其它向量线性表示i定义：如果存在不全为0的c1,c2,L,cs，使得c1α1+c2α2+L+csαs=0则称α1,α2,L,αs线性相关，否则称α1,α2,L,αs线性无关。即：α1,α2,L,αs线性相（无）关⇔x1α1+L+xsαs=0有（无）非零解⇔(α1,α2,L,αs)x=0有（无）非零解极大无关组和秩定义：α1,α2,L,αs的一个部分组(I)称为它的一个极大无关组，如果满足：i）(I)线性无关。ii）(I)再扩大就相关。(I)→α←1,α2,L,αs定义：规定α(II)≅α1Lαs≅(I)α的秩γ(α,α1,Lα)=()。,α1,L2,s2,s#I每个元素都是零向量，则规定其秩为0。如果α,1α,2L,αs0≤γ(α1,L,αs)≤min{n,s}有相同线性关系的向量组定义：两个向量若有相同个数的向量：α1,α2,L,αs,β1,β2,L,βs，并且向量方程x1,α1+x2α2+L+xsαs=0与x1β1+x2β2+L+xsβs=0同解，则称它们有相同的线性关系。①对应的部分组有一致的相关性。α1,α2,α4的对应部分组β1,β2,β4，,c2,c4使得若α1,α2,α4相关，有不全为0的c136 愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！c1α1+c2α2+c4α4=0，即(c1,c2,0,c4,0,L,0)是xα+α++xα=的解，11x22Lss0从而也是x1β1+x2β2+L+xsβs=0的解，则有c1β1+c2β2+c4β4=0，β1,β2,β3也相关。②极大无关组相对应，从而秩相等。③有一致的内在线表示关系。设：A=(α1,α2,L,αs)，B=(β1,β2,L,βs)，则x1α1+x2α2+L+xsαs=0即Ax=0，x1β1+x2β2+L+xsβs=0即Bx=0。α1,α2,L,αs与β1,β2,L,βs有相同的线性关系即Ax=0与Bx=0同解。反之，当Ax=0与Bx=0同解时，A和B的列向量组有相同的线性关系。矩阵的秩定理：矩阵A的行向量组的秩=列向量组的秩规定r(A)=行（列）向量组的秩。r(A)的计算：用初等变换化A为阶梯形矩阵B，则B的非零行数即r(A)。命题：r(A)=A的非零子式阶数的最大值。方程组的表达形式⎧a11x1+a12x2+L+a1nxn=b1⎪ax+ax+L+ax=b⎪2112222nn21．⎨L⎪⎪am1x1+am2x2+L+amnxn=bm⎩37 愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！2．Ax=βη是解⇔Aη=β有解⇔β→α1,α2,L,αn3．x1α1+x2α2+L+xnαn=β基础解系和通解1．Ax=0有非零解时的基础解系η1,η2,L,ηe是Ax=0的基础解系的条件：①每个η都是Ax=0的解i②η1,η2,L,ηe线性无关③Ax=0的每个解η→η1,η2,L,η③/el=n−γ(A)通解①如果η1,η2,L,ηe是Ax=0的一个基础解系，则Ax=0的通解为c1η1+c2η2+L+ceηe，ci任意②如果ξ是=β(β≠0)的一个解，η,η1=0的基础解系，则Ax=β的通解,L2,η是Ax0Axe为ξ0+c1η1+c2η2+L+ceηe，ci任意特征向量与特征值定义：如果η≠0，并且Aη与η线性相关，则称η是A的一个特征向量。此时，有数λ，使得Aη=λη，称λ为η的特征值。设A是数量矩阵λE，则对每个n维列向量η，Aη=λη，于是，任何非零列向量都是λE的特征向量，特征值都是λ。①特征值有限特征向量无穷多若Aη=λη，A(cη)=cAη=cλη=λ(cη)Aη1=λη1⎫⎬⇒A(c1η1+c2η2)=c1Aη1+c2Aη2=λ(c1η1+c2η2)Aη2=λη2⎭38 愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！②每个特征向量有唯一特征值，而有许多特征向量有相同的特征值。③计算时先求特征值，后求特征向量。特征向量与特征值计算Aη=λη,η≠0⇔(λE−A)η=0,η≠0⇔η是(λE−A)x=0的非零解命题：①λ是A的特征值⇔λE−A=0②η是属于λ的特征向量⇔η是(λE−A)x=0的非零解称多项式xE−A为A的特征多项式。λ是A的特征值⇔λ是A的特征多项式xE−A的根。λ的重数：λ作为xE−A的根的重数。n阶矩阵A的特征值有n个：λ,1λ,2L,λ，可能其中有的不是实数，有的是多重的。n计算步骤：①求出特征多项式xE−A。②求xE−A的根，得特征值。③对每个特征值λ，求i(λE−Ai)x=0的非零解，得属于λ的特征向量。in阶矩阵的相似关系设A，B是两个n阶矩阵。如果存在n阶可逆矩阵U，使得U记作A~B。n阶矩阵的对角化基本定理A可对角化⇔A有n个线性无关的特征向量。设可逆矩阵U=(η1,η2,L,ηn)，则−1AU=B，则称A与B相似，⎛λ1⎜⎜0−1=UAU⎜0⎜⎜0⎝0λ00200⎞⎟00⎟O0⎟⎟0λ⎟⎠n39 愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！⎛λ1⎜⎜0⇔A(η1,η2,L,ηn)=U⎜0⎜⎜0⎝⇔Aηi=λiηi，i=1,2,L,n判别法则0λ20000⎞⎟00⎟=1122nn⎟O0⎟(λη,λη,L,λη)0λn⎟⎠A可对角化⇔对于A的每个特征值λ，λ的重数=n−γ(λE−A)。计算：对每个特征值λ，求出i(λE−A)ix=0的一个基础解系，把它们合在一起，得到n个线性无关的特征向量，η1,L,ηn。令U=(η1,η2,L,ηn)，则⎛λ1⎜⎜0U−1AU=⎜0⎜⎜0⎝0λ20000⎞⎟00⎟λη，其中i为i⎟O0的特征值。⎟⎟0λ⎠n二次型（实二次型）二次型及其矩阵一个n元二次型的一般形式为nf(x1,x2,L,xn)=∑aiix2i+2∑axixi=1i 愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！⎧x1=c11y1+c12y2+L+c1nyn⎛c11c12L⎜⎪x=cy+cy+L+cy⎞c⎟⎜ccLc⎟22⎪22112222nn2121n是可逆矩阵）（并要求矩阵C=⎜⎨⎟LLLLL⎪⎜cn2Lcnn⎟⎟⎜c⎪xn=cn1y1+cn2y2+L+cnnyn⎠⎝n1⎩代入f(x1,x2,L,xn)，得到y1,L,yn的一个二次型g(y,)这样的操作称为对f(xLx)1L,yn1作了一次可逆线性变量替换。T设Y=(y1,y2,L,yn)，则上面的变换式可写成nx=CYfx1Lxn)=xTAx=YTCTACY=gy,L,y则((T于是g(y1,Lyn)的矩阵为CAC1n)(CTAC)T=CTATCT=CTAC实对称矩阵的合同两个n阶实对称矩阵A和B，如果存在n阶实可逆矩阵C，值得CACT与合同，=B。称AB~B。记作A−命题：二次型f(x1Lxn)=xTAx可用可逆线性变换替换化为g(y1Lyn)=YT−BBY⇔A~二次型的标准化和规范化1．每个二次型都可以用可逆线性变量替换化为标准二次型和规范二次型。也就是每个实对称矩阵都会同于对角矩阵和规范对角矩阵。设A是一个实对称矩阵，则存在正交矩阵Q，使得D=QAQ是对角矩阵。−1QTAQ=Q−1AQ=D2．标准化和规范化的方法①正交变换法②配方法A~D，A~−D3．惯性定理与惯性指数定理：一个二次型用可逆线性变换替换化出的标准形的各个平方项的系数中，大于0的个数和小于0的个数是由原二次型所决定的，分别称为原二次型的正、负惯性指数。一个二次型化出的规范二次型在形式上是唯一的，也即相应的规范对角矩阵是唯一的。41 愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！用矩阵的语言来说：一个实对称矩阵A合同于唯一规范对角矩阵。定理：二次型的正、负惯性指数在可逆线性变量替换下不变；两个二次型可互相转化的充要条件是它们的正、负惯性指数相等。实对称矩阵的正（负）惯性指数就等于正（负）特征值的个数。正定二次型与正定矩阵定义：一个二次型f(x1,x2,L,xn)称为正定二次型，如果当x,L,x1不全为时，n0f(x1,x2,L,xn)>0。2例如，标准二次型f(x1,x2,L,xn)=d1x12+d2x2+L+dxn2正定⇔d>0，nii=1,L,n（必要性“⇒”，取x1=1，x2=L=xx=0，此时f(1,0,L,0)=d1>0同样可证每个di>0）实对称矩阵正定即二次型xAx正定，也就是：当Tx≠0时，xT⎛λ1⎜⎜0例如实对角矩阵⎜0⎜⎜0⎝0λ200Ax>0。0⎞⎟0⎟，L正定i⎟O0⇔λ>0i=1,,n⎟0λn⎟⎠00定义：设A是一个n阶矩阵，记A是rA的西北角的r阶小方阵，称A为rA的第r个顺序主子式（或r阶顺序主子式）。附录一一．向量的内积1．定义两个n维实向量α,β内积，正交矩阵，实对称矩阵的对角化的内积是一个数，记作(α,β)，规定为它们对应分量乘积之和。2．性质⎛a1⎞⎛b⎞⎜⎟⎜1⎟⎜a2⎟⎜b2⎟α,β)=a1b1+a2b2+L+anbn=αT设α=⎜⎟,β=⎜⎟，则(MM⎜⎟⎜⎟β⎜a⎟⎜⎟b⎝n⎠⎝n⎠①对称性：(α,β)=(β,α)42 愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！②双线性性质：(α1+α2,β)=(α1,β)+(α2,β)(α,β1+β2)=(α,β1)+(α,β2)(cα,β)=c(α,β)=(α,cβ)③正交性：(α,α)≥0，且(α,α)=0⇔α=03．长度与正交向量α(α,α)=∑ai2i=1n的长度α=(α,α)=∑ai=1n2iα=0⇔α=0cα=cα单位向量：长度为1的向量⎛2⎞⎜⎟⎛1⎞⎛0⎞⎜2⎟⎜⎟⎜⎟⎟，⎜0⎟，⎜1⎟，⎜0⎟⎜0⎟⎜0⎟⎜2⎟⎝⎠⎝⎠⎜−⎜⎟⎝2⎠若α≠0，则α是单位向量，称为α的单位化。αα1=α=1αα两个向量α,β如果内积为0：(α,β)=0，称它们是正交的。如果n维向量组α1,α2,L,αs两两正交，并且每个都是单位向量，则称为单位正交向量组。例1．如果向量组α,α1,L2,α两两正交，并且每个向量都不为零向量，则它们线性无关。s证：记A=(α1,α2,L,αs)，则00⎞⎟0⎟⎟0⎟2αs⎟⎠⎛α1⎜⎜0TAA=⎜⎜0⎜0⎝T20α20020O0=,⇒r(A)=s即r(α,L,α)=s。1s则r(AA)s例2．若A是一个实的矩阵，则r(ATA)=r(A)。43 愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！二．正交矩阵一个实n阶矩阵A如果满足AAT定理TE，就称为正交矩阵。A=A−1=A是正交矩阵⇔A的行向量组是单位正交向量组。⇔A的列向量组是单位正交向量组。例3．正交矩阵A保持内积，即(Aα,Aβ))=α,βAα=α(证：(Aα,Aβ)=αTATAβ=αTβ=(α,β)⎛1⎞⎜⎟例4．（04）A是3阶正交矩阵，并且a11=1，求Ax=⎜0⎟的解。⎜0⎟⎝⎠三．施密特正交化方法这是把一个线性无关的向量组改造为与之等价的单位正交向量组的方法。β2=β−β1=β−cα设α1,α2,α3线性无关①正交化：令β=α11β2=α2−（设β(β1,α2)β(β1,β1)12=α2−kβ，(β,2β)1=(α,2β)1−k(β,1β)11当k=(α2,β1)时，β2,β1正交。）(β1,β1)(β1,α3)(β,α)β−23β(β1,β1)1(β,β)222β3=α3−ββ1β23②单位化：令η1=，η2=，η3=β3β1β244 愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！则η1,η2,η3是与α1,α2,α3等价的单位正交向量组。四．实对称矩阵的对角化设A是一个实的对称矩阵，则①A的每个特征值都是实数。②对每个特征值λ，重数=n−r(λE−A)。即A可以对角化。③属于不同特征值的特征向量互相正交。于是：存在正交矩阵Q，使得QAQ是对角矩阵。对每个特征值λ，找−1(λE−A)x=0的一个单位正交基础的解，合在一起构造正交矩阵。设A是6阶的有3个特征值λ1（二重），λ2（三重），λ（一重）1找λ1的2个单位正交特征向量η1,η2。找λ2的3个单位正交特征向量η3,η4,η5。找λ3的一个单位特征向量η6。Q=(η1,η2,η3,η4,η5,η6)例5．（04）A是3阶实对称矩阵，r(A)=2，6是它的一个二重特征值，⎛1⎞⎛2⎞⎛1⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜1⎟，⎜1⎟和⎜−2⎟都是属于6的特征向量。⎜0⎟⎜1⎟⎜3⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠（1）求A的另一个特征值。（2）求A。解：（1）另一个特征值为0。⎛x1⎞⎜⎟（2）设⎜x⎟2是属于0的特征向量，则⎜x⎟⎝3⎠⎧x1+x2=0⎪⎨2x1+x2+x3=0⎪x−2x+3x=0⎩231此方程组n=3，r(A)=2，n−r(A)=1，基础解系包含一个解，任何两个解都相关。于是，每个非零解都是属于0的特征向量。45 愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！⎛110⎞⎛101⎞⎜⎟⎜⎟→−101121⎜⎟⎜⎟⎜1−23⎠⎟⎜000⎟⎝⎝⎠⎛121⎞⎛6120⎞⎜⎟⎜⎟A⎜11−1⎟=⎜660⎟⎜01−1⎟⎜060⎟⎝⎠⎝⎠⎛110660⎞⎛100422⎞⎜⎟⎜⎟⎜2111266⎟→⎜01024−2⎟⎜1−1−1000⎟⎜0012−24⎟⎠⎝⎝⎠⎛422⎞⎜⎟A=⎜24−2⎟⎜2−24⎟⎝⎠⎛1⎞⎜⎟η=⎜−1⎟是一个解。⎜−1⎟⎝⎠附录二1．n维向量空间及其子空间记为Rn由全部向量空间n维实向量构成的集合，这是一个规定了加法和数乘这两种线性运算的集合，我们把它称为n维向量空间。设V是Rn的一个子集，如果它满足（1）当α,都属于V时，α1+α2也属于V。1α2（2）对V的每个元素α和任何实数c，cα也在V中。则称V为Rn的一个子空间。例如n元齐次方程组AX=0的全部解构成Rn的一个子空间，称为AX=0的解空间。Rn的子空间。但是非齐次方程组AX=β的全部解则不构成对于Rn中的一组元素α,1α,2L,α，记它们的全部线性组合的集合为sL(α1,α2,L,αs)={c1α1+c2α2+L+csαsci任意}，它也是Rn的一个子空间。2．基，维数，坐标设V是Rn的一个非0子空间（即它含有非0元素），称V的秩为其维数，记作dimV。46 愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！称V的排了次序的极大无关组为V的基。例如AX=0的解空间的维数为n−r(A)，它的每个有序的基础解系构成基。又如dim[L(α1,α2,L,α基。设η1,η2,L,ηk是Vs)]=r(α1,α2,L,αs)，α1,α2,L,αs的每个有序的极大无关组构成的一个基，则V的每个元素α都可以用η1,η2,L,ηk唯一线性表示：α=c1η1+c2η2+L+ckη称其中的系数k(c,c1,L)为kα关于基η,η1,L2,η2,c的坐标，它是一个k维向量。k坐标有线性性质：（1）两个向量和的坐标等于它们的坐标的和：如果向量α和β关于基η,ηη1,L2,的坐标分别为k(c,c,L)和(d)，则α+β1,c2k,d,L1,d2k关于基η1,η2,L,ηk的坐标为(c1+d1,c2+d2,L,ck+dk)=(c1,c2,L,ck)+(d1,d2,L,dk)（2）向量的数乘的坐标等于坐标乘数：如果向量α关于基η1,η2,L,ηk的坐标为(c1,c2,L,ck)，则cα关于基η1,η2,L,ηk的坐标为(cc1,cc2,L,cck)=c(c1,c2,L,ck)。坐标的意义：设V中的一个向量组α1,α2,L,αt关于基η1,η2,L,ηk的坐标依次为γ1,γ2,L,γt，则α1,α2,L,αt和γ1,γ2,L,γt有相同的线性关系。于是，我们可以用坐标来判断向量组的相关性，计算秩和极大无关组等等。3．过渡矩阵，坐标变换公式设η1,η2,L,ηk和ξ1,ξ2,L,ξk都是V的一个基，并设ξ1在η1,η2,L,ηk中的坐标为(c1i,c2i,L,cki)，构造矩阵⎛c11⎜⎜cC=⎜21L⎜⎜c⎝k1Lc1k⎞⎟c22Lc2k⎟，⎟LLLck2Lckk⎟⎟⎠c12称C为η1,η2,L,ηk到ξ1,ξ2,L,ξk的过渡矩阵。47 愿将过往寄存于星空，抬头皆是耀眼的感动！(ξ1,ξ2,L,ξk)=(η1,η2,L,ηk)C。如果V中向量α在其η,η1,Lk2,η和ξ1,ξ2,L,ξk中的坐标分别为Tx=(x1,x2,L,xk)T和y=(y1,y2,L,yk)，则α=(η1,η2,L,ηk)xα=(ξ1,ξ2,L,ξk)y=(η1,η2,L,ηk)Cy于是关系式：x=Cy称为坐标变换公式。4．规范正交基如果V的一基η1,η2,L,ηk是单位正交向量组，则称为规范正交基。两个向量的内积等于在规范正交基下的它们坐标的内积。设α的坐标为(c,c1,L)，β的坐标为(d,d,L)，2,ck1,d2kk则(α,β)=c1d1+c2d2+L+ckd两个规范正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵。做题思路先化简再计算03）设n维列向量α例5．（=(a,0,L,0,a)T，a<0。规定A=E−ααT，B=E−1Tαα。a已知AB=E，求a。注意化简技巧（中间过程也很重要）⎛100⎜⎜010例13．（00）己知A*=⎜101⎜0−30⎜⎝0⎞⎟0⎟，求矩阵B，使得ABA−1BA−13E.=+0⎟8⎠⎟⎟证明一个矩阵可逆切入点行列式=0，证明Ax=E，证明两式相等切入点AB=某个等式=BA（从对称性想到AB可逆BA也可逆的着手点AB=E⇔BA=E）例20．设n阶矩阵A和B满足等式AB=aA+bB，ab≠0,证明：AB=BA48
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