2024年4月17日发(作者：高一必修三数学试卷)

2024届高三高考模拟综合测试数学试题（一）

学校

:___________

姓名：

___________

班级：

___________

考号：

___________

一、单选题

2

x

1

1

，则

AB

（

1．已知集合

Axx32

，

B

x

x

2





）

D．

1,5

A．

1,2

2．已知复数

z

2i

A．

10

B．

1,2

C．

1,5

）

1

，则

z

13i

值为（

1

i

B．10C．

35

）

D．5





3．平面向量

|a|2,|b|2,(ab)a

，则

a

与

b

的夹角是（

A．

5π

12

B．

π

3

C．

π

4

D．

π

6

）

4．在递增等比数列

a

n

中，

a

3

4

，且

3a

5

是

a

6

和

a

7

的等差中项，则

a

10

（

A

．

256B

．

512C

．

1024

）

D

．

2048

8

5．已知

x42

2.2

，

y

6

ln2

，

z2

3.1

，则（

5

A

．

zyx

B

．

yxz

C

．

xzy

D

．

zxy

6

．在如图所示的圆台中，四边形

ABCD

为其轴截面，

AB2CD4

，母线长为

3

，

P

为底面圆周上一点，异面直线

AD

与

OP

(

O

为底面圆心）所成的角为

大小为（）

π

，则

CP

2

的

3

A．

723

C．

1943

B．

723

或

723

D．

1943

或

1943

r

2

2

，则两圆外公切线的斜率为

r

1

7．已知圆心均在

y

轴的两圆外切，半径分别为

r

1

,

r

2

,

（）

A．

22

B．

2

4

C．

22

3

D．

1

3

）

8．已知不等式

2

e

2

x

ln

ln

x

在

x

0,

上恒成立，则实数

的取值范围是（

试卷第1页，共4页

1

A．

0,

2e

1

B．

0,

4e

1

C．

,

2e

1

D．

,



4e

二、多选题

9

．下列化简正确的是（）

1

2

A．

cos82

sin52



sin82

cos128



C．

cos

2

15



sin

2

15



3

2

B．

sin15

sin30

sin75



D．

1

8

tan48



tan72

3

1

tan48

tan72

10

．从

4

名男生和

3

名女生中选出

4

人去参加一项创新大赛，下列说法正确的是（

A

．若

4

人中男生女生各选

2

人，则有

18

种选法

B

．若男生甲和女生乙必须在内，则有

12

种选法

C

．若男生甲和女生乙至少有

1

人在内，则有

15

种选法

D

．若

4

人中既有男生又有女生，则有

34

种选法

11

．下列结论正确的是（）

）

A．命题“

xR,x

2

x10

\"的否定是\"

xR,x

2

x10

\"

B．已知回归模型为

yx

2

2x1

，则样本点

1,3

的残差为

1

C．若样本数据

x

1

,x

2

,,x

10

的方差为2，则数据

2x

1

1,2x

2

1,,2x

10

1

的方差为8

1



2

D．若

2

x

的展开式中各项的二项式系数之和为32，则展开式中

x

项的系数

x



n

为

80

12．如图，正方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

的棱长为1，线段

B

1

D

1

上有两个动点

E,F

，且

EF

则下列结论中正确的是（）

1

，

2

A

．

ACBE

C

．三棱锥

ABEF

的体积为定值

B

．

EF//

平面

ABCD

D

．

△AEF

的面积与

△BEF

的面积相等

三、填空题

试卷第2页，共4页

13

．命题

“

xR

，

ax

2

x10

”

为假命题，则实数

a

的取值范围为

14．

2x



xy

的展开式中，

x

4

y

2

的系数是

53

.

．

15．已知向量

a

，

b

的夹角为，且

|a|4,|b|2

，则向量

a2b

在向量

a

上的投影向

3

量为

.

(

用

a

表示

)

16．已知圆C：

x

2

y

2

4

，点

A

3,0

，点

B

2,0

.点P为圆C上一点，作线段AP的

垂直平分线

l.

则点

B

到直线

l

距离最小值为

.

四、解答题

17．在

ABC

中，

bsin2A3asinB

．

(1)

求

A

；

(2)若

ABC

的面积为

33

，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已

知，使

ABC

存在且唯一确定，求

a

的值．

条件①：

sinC

b

33

27

；条件②：

；条件③：

cos

C

7

c

4

21

．

7

注：如果选择的条件不符合要求，第

(2)

问得

0

分；如果选择多个符合要求的条件分别解

答，按第一个解答计分．

3

a

n

,

n

为奇数

a

a

aa2a

18．已知数列

n

满足

13

，数列

c

n

满足

c

n

a

2n

1

．

2

，

n

1

a

2,

n

为偶数

n

(1)求数列

c

n

和

a

n

的通项公式；

(2)求数列

a

n

的前

n

项和

S

n

．

四棱锥

P

ABCD

的底面

ABCD

是边长为

2

的菱形，

PA

平面

ABCD,BAD120

，

19

．

过点

A

且与

PD

平行的平面

与

CD,PC

分别交于

E,F

两点．

(1)

证明：

PD∥EF

(2)

E

为

CD

中点，且

PC

与平面

ABCD

所成的角为

45

，求二面角

AEFD

的正弦值．

试卷第3页，共4页

20

．我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从

2021

年到

2025

年的

“

十四五

”

规

划．某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金．该企

业为了了解研发资金的投入额

x

（单位：百万元）对年收入的附加额

y

（单位：百万元）

的影响，对往年研发资金投入额

x

i

和年收入的附加额

y

i

进行研究，得到相关数据如下：

投入额

x

i

年收入的附加额

y

i

2

3.6

3

4.1

4

4.8

5

5.4

6

6.2

8

7.5

9

7.9

11

9.1

(1)求年收入的附加额y与投入额x的经验回归方程；

(2)若年收入的附加额与投入额的比值大于1，则称对应的投入额为“优秀投资额”，现从

上面8个投入额中任意取3个，用X表示这3个投入额为“优秀投资额”的个数，求X的

分布列及数学期望．

2

【参考数据】

x

i

y

i

334.1

，

y

i

48.6

，

x

i

356

．

i

1

i

1

i

1

8

8

8

【附】在经验回归方程

$

y

$

bx

$

a

中，

b

x

x



y

y

xy

nxy

i

1

ii

nn

x

x

i

1

i

n

2

i

1

n

ii

x

i

1

2

i

nx

2

，

$

ay

$

bx

．

x

2

y

2

1,e

21．已知过点



的椭圆

E

：

2

2

1

a

b

0

的焦距为2，其中

e

为椭圆

E

的离心

ab

率．

(1)求

E

的标准方程；

(2)设

O

为坐标原点，直线

l

与

E

交于

A,C

两点，以

OA

，

OC

为邻边作平行四边形

OABC

，

且点

B

恰好在

E

上，试问：平行四边形

OABC

的面积是否为定值？若是定值，求出此定

值；若不是，说明理由．

x

22．已知函数

f

x

e

1

，

g

x

ln

xa

，

aR

.

(1)若

a1

，求证：

f

x

g

x

；

(2)若函数

f

x

与函数

g

x

存在两条公切线，求实数

a

的取值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1

．

D

【分析】求出集合

A

、

B

，利用并集的定义可求得集合

AB

.

x1x5

，【详解】因为

Axx32

x2x32



由

2

x

1

2

x

1

x

2

x

1

0

，

2

x

1

1

可得解得

1x2

，则

Bx1x2

，

1

x

2

x

2

x

2

x

2



因此，

AB

1,5

.

故选：

D.

2

．

D

【分析】根据复数的四则运算，然后根据求模公式，即可得答案

.

1

11

i13

2i

2i



i

，，得

z

1

i222

1

i

8

6i

13



4

3i

，所以

z

1

3i

i

1

3i

2

22

【详解】由

z

2i

所以

z

13i

故选：

D.

3

．

C

【分析】根据数量积的运算律以及定义式，结合向量夹角的计算方法，可得答案

.

4

2

3

2

5

.





2





2

【详解】向量

|a|2,|b|2,(ab)a

，则

(ab)aaab0

，即

aba

，



2







π

a

ba

(2)

2

2

a

因此

cos

a

,

b







，而

0a,bπ

，则

,

b

，

4

2

|

a

||

b

||

a

||

b

|

2

2



π

所以

a

与

b

的夹角是

.

4

故选：

C.

4

．

B

【分析】运用等差中项及等比数列通项公式计算即可

.

【详解】设等比数列

a

n

的公比为q，

2

因为

3a

5

是

a

6

和

a

7

的等差中项，所以

6a

5

a

6

a

7

，即

6a

5

a

5

qa

5

q

．

又因为

a

5

0

，所以

q

2

q60

，解得

q=2

或

q3

．

又因为等比数列

a

n

是递增数列，所以

q=2

．

答案第

1

页，共

17

页

77

又因为

a

3

4

，所以

a

10

a

3

q42512

．

故选：

B.

5

．

C

0.2

【分析】先把

x,y,z

变形，

x412

，

z82

0.1

，利用

和1比较大小；由于

z8

，证



x

z

明

y8

，即可得出结果

.

【详解】

x42

2.2

42

2

2

0.2

412

0.2

，



z2

3.1

42

1.1

82

0.1

，

0.2

x

41

2

1

1

0.1

xz

.



2



1

，则

0.10.1

z

8

22

2



z82

0.1

8

，

88

5

8

因为

y

6

ln2

，

ln2

2

ln2

0

，

55

4

5

88

所以

ln2

2

，

y

6

ln2

8

，

55

所以

zy

，综上，

xzy

.

故选：

C.

6

．

B

【分析】建立如图所示坐标系,根据异面直线

AD

与

OP

(

O

为底面圆心）所成的角为

求得

CP

2

723

π

,

3



【详解】以

O

为原点，

OB

为

y

轴，过点

O

作

x

轴

OB

，圆台的轴为

z

轴，

建立如图所示坐标系：

作

DEAB,DE

交

AB

于点

E

,

AE

11

ABCD

1

,

22

Rt△ADE

中，



DEADAE2

,则

D0,1,2,A

0,2,0

,C0,1,2,AD0,1,2

22



答案第

2

页，共

17

页



P

2cos

,2sin

,0

,0

2π

,

OP

2cos

,2sin

,0

,

由于异面直线

AD

与

OP

(

O

为底面圆心）所成的角为

π

,

3



2sin

sin

1π

OP

AD

cos





,



3

OP

AD

2

33

2



3

CP2cos

,2sin

1,2,

sin



,

2



CP

2

4cos

2

4sin

2

4sin

1274sin

723

故选

:B.

7

．

A

【分析】画出两圆公切线的交点，结合相似三角形的性质即可求解

.

【详解】圆心均在

y

轴的两圆外切，画出两圆公切线，有两条分别为

l

BC

,

l

DE

，

公切线与圆的切点分别为

B，C，D，E

，公切线与

y

轴的交点为

A

，

两圆圆心分别为

O

1

,O

2

，圆

O

1

与

y

轴的上交点为

F

，

则

O

1

B

r

1

,

O

2

C

r

2

,

r

2

O

2

CAO

2

AF

2

r

1

r

2



2

，

r

1

O

1

BAO

1

AF

r

1

O

1

Br

1

r

1



1

，

O

1

AAF

r

1

3

r

1

3

2

，

4

AF4r

1

2r

2

，则

sin

O

1

AB

cos

O

1

AB

则

k

BC

π

sin



O

1

AB

π

2

cos

O

1

AB



22

tan



O

1

AB

，

2

cos

π



OAB

sin

O

1

AB



1

2

22

，

tan

O

1

AB

3

同理可得

k

DE

22

，所以两圆公切线的斜率为

22

.

故选：

A.

答案第

3

页，共

17

页

8

．

C

【分析】将不等式变形为

2

x

e

离法求出

的取值范围

.

2

x

【详解】由

2

e

2

x

ln

ln

x

得

2

e

ln

x

ln

ln

2

x

x

ln

x

t

，根据

f

t

t

e

的单调性得

2

x

ln

x

，再用常数分

x

，

即

2

x

e

2

x

x

ln

x

，

t

t

令

f

t

t

e

，

t

0,

，则

f

t

t

1

e

0

，

t

所以

f

t

t

e

在

0,

上单调递增，

而

2

x

e

2

x

x

x

ln

x

ln

x

e

ln

x

x

等价于

f

2

x

f

ln

，

∴

2

x

ln

令

g

x

，即

x

e

2

x

x

1

2

x

x

0,

，则

g

x

2

x

，

2

x

，

e

e

1

1

所以

g

x

在

x

0,

时

g

x

0

，为增函数；在在

x

,



时

g

x

0

，为减函数，

2

2

1

1

1

所以

g

x

最大值为

g



，∴

．

2e

2

2e

故选：

C

【点睛】方法点睛：同构法解不等式恒成立求参数范围问题时先将原不等式化成

f

g

x

f

h

x

后再利用函数

f(x)

单调性得到

g(x)

与

h(x)

的大小关系，由此得到参数

范围

.

9

．

ABC

答案第

4

页，共

17

页

【分析】通过两角和差弦切公式的逆用，以及降幂公式，即可化简求值

.

【详解】

cos82sin52sin82cos128cos82sin52sin82cos52

sin

52



82

sin

30



1

，故A选项正确；

2

sin15sin30sin75sin15cos15sin30

11111

sin30

sin30



,故B选项正确；

22228

3

,故C选项正确；

2

cos

2

15



sin

2

15



cos30



tan48



tan72

tan

48



72

tan120



3

，

1

tan48

tan72

故

D

选项错误；

故选：

ABC.

10

．

AD

【分析】选项

A

、

B

根据组合及分步计数原理的知识可列出表达式，进行计算可得结果；选

项

C

、

D

可采用间接的方法，先计算出反面一共有多少种，然后用总的种数减去反面的种数

即可得到结果．

2

【详解】对选项

A,

依题意，根据组合及分步计数原理，可知一共有

C

2

4

C

3

6318

种．所以

该选项正确；

对选项

B,

依题意，要从

7

名同学中选取

4

人，而甲乙必须在内，则相当于从

5

名同学中选

2

取2人，一共有

C

5

10

种．所以该选项不正确；

4

对选项C,依题意，要从7名同学中选取4人，一共有

C

7

35

种，而甲乙都不在内一共有

4

C

5

5

种，

44

甲与乙至少要有1人在内有

C

7

C

5

35530

种．所以该选项错误；

4

对选项D,依题意，假设全是男生一共有

C

4

1

种，全是女生的情况没有，

4

既有男生又有女生一共有

C

7

C

4

4

35134

种．所以该选项正确

.

故选：

AD

11

．

ABC

【分析】根据命题的否定可判断

A

，根据残差的计算即可判断

B

，根据方差的性质即可求解

C

，根据二项式系数和可求

n

，再根据通项即可求解

.

【详解】对于A,命题“

xR,x

2

x10

\"的否定是\"

xR,x

2

x10

\",故正确；

答案第

5

页，共

17

页

对于

B,

当

x1

时，

y4

，故残差为

34=1

，故正确，

对于C,由方差的性质可知：

2x

1

1,2x

2

1,,2x

10

1

的方差为

2

2

2=8

，故正确，

1

1



n

对于D,

2

x

故

2

x

的展开式中各项的二项式系数之和为

2

32

n

5

，

的通

xx



nn

项为

T

r

1

C

1

2

r

5

r

5

r

x

3

5

r

2

3

2

2

，令

5

r

2

r

2

，故

x

2

项的系数为

C

5

1

2

3

=80

，故错

2

误，

故选：

ABC

12

．

ABC

【分析】选项

A

，用线面垂直的判定定理得出：

AC

平面

BB

1

D

1

D

，进而得出

ACBE

；

选项B，应用面面平行的性质，得出：平面

A

1

B

1

C

1

D

1

//

平面

ABCD

，进而得到

EF//

平面

ABCD

；

选项C，线面平行的判定定理，不难得出

AA

1

//平面BEF

，从大的三棱锥

A

1

BB

1

D

1

中观察，

A

1

到

△BEF

的距离始终是定值；

选项

D

，设

ACBDO

，取

B

1

D

1

的中点

M

，运用平面几何性质：

AMAO

2

OM

2

DD

1

BB

1

，所以

S

△

AEF

11

EFAMEFBB

1

S

△

BEF

，D选项错误.

22

【详解】对于

A

选项，连接

AC

、

BD

，因为四边形

ABCD

为正方形，则

AC

BD

，

BB

1

平面

ABCD

，

AC

平面

ABCD

，

ACBB

1

，

BDBB

1

B,BD,BB

1

平面

BB

1

D

1

D

，所以

AC

平面

BB

1

D

1

D

，

因为

BE

平面

BB

1

D

1

D

，因此

ACBE

，

A

选项正确；

对于B选项，因为平面

A

1

B

1

C

1

D

1

//

平面

ABCD

，

EF

平面

A

1

B

1

C

1

D

1

，

所以

EF//

平面

ABCD

，

B

选项正确；

对于C选项，因为

AA

1

//BB

，

AA

1

平面BB

1

DD

1

,BB

1

平面BB

1

DD

1

，

所以

AA

1

//平面AA

1

BB

1

，故

AA

1

//平面BEF

，

故点

A

到平面

BEF

的距离为定值

.

因为

△BEF

的面积为

S

△

BEF

11

EFBB

1

，

24

点

A

到平面

BEF

的距离为定值，

故三棱锥

ABEF

的体积为定值，

C

选项正确；

答案第

6

页，共

17

页

对于

D

选项，设

ACBDO

，取

B

1

D

1

的中点

M

，连接

OM

、

AM

，

由

A

选项可知，

AC

平面

BB

1

D

1

D

，即

AO

平面

BB

1

D

1

D

，

QB

1

D

1

平面

BB

1

D

1

D

，则

AOB

1

D

1

，因为

BB

1

//DD

1

且

BB

1

DD

1

，

故四边形

BB

1

D

1

D

为平行四边形，则

BD//B

1

D

1

且

BDB

1

D

1

，

因为

M

、

O

分别为

B

1

D

1

、

BD

的中点，

故

DO//D

1

M

且

DOD

1

M

，所以四边形

DD

1

MO

为平行四边形，

QDD

1

平面

ABCD

，

DO

平面

ABCD

，

所以

DD

1

DO

，故四边形

DD

1

MO

为矩形，所以

OMB

1

D

1

，

AOOMO,AO,OM

平

面

AOM

，所以

B

1

D

1

平面

AOM

，

AM

平面

AOM

，

AMB

1

D

1

，

AMAO

2

OM

2

DD

1

BB

1

，

所以

S

△

AEF

11

EFAMEFBB

1

S

△

BEF

，D选项错误.

22

故选：

ABC.

13．

a

1

4

【分析】分析可知命题

“

xR

，

ax

2

x10

”

为真命题，对实数

a

的取值进行分类讨论，

在

a0

时，直接验证即可；当

a0

时，根据二次不等式恒成立可得出关于实数

a

的不等式

组，综合可得出实数

a

的取值范围

.

【详解】由题意可知，命题

“

xR

，

ax

2

x10

”

为真命题

.

当

a0

时，由

x10

可得

x1

，不合乎题意；

a

0

1

当

a0

时，由题意可得

，解得

a

.

4

Δ

1

4

a

0

因此，实数

a

的取值范围是

a

1

.

4

答案第

7

页，共

17

页


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