神奇的数字黑洞

2023年12月16日发(作者：长沙初三数学试卷2021)

神奇的数字黑洞

神奇的数字黑洞

人教版小学数学五年级上册第31页的“你知道吗？”谈到了数字黑洞6174。这个数字黑洞是印度数学家卡普耶卡于1949年发现的。类似的数字黑洞还有许多。黑洞原本是天文学中的概念，表示这样一种天体：它的引力场非常强，任何物质甚至是光，一旦被它吸入就再也休想逃脱出来。数学中借用这个词，正像文中所说的那样，“数学黑洞是指自然数经过某种数学运算之后陷入一种循环的境况。”

下面再介绍几个有趣的数字黑洞。

1、数字黑洞153

任意取一个是3的倍数的数。求出这个数各个数位上数字的立方和，得到一个新数，然后再求出这个新数各个数位上数字的立方和，又得到一个新数，如此重复运算下去，最后一定落入数字黑洞“153”。

如，取63。

63＋33＝216＋27＝243, 23＋43＋33＝8＋64＋27＝99,93＋93＝729＋729＝1458, 13＋43＋53＋83＝1＋64＋125＋512＝702，73＋03＋23＝243＋0＋8＝351, 33＋53＋13＝153, 13＋53＋33＝153，……

再如，取219。

23＋13＋93＝8＋1＋729＝738，73＋33＋83＝343＋27＋512＝882，83＋83＋23＝512＋512＋8＝1032，13＋03＋33＋23＝1＋0＋27＋8＝36，33＋63＝27＋216＝243，23＋43＋33＝8＋64＋27＝99，93＋93＝729＋729＝1458，13＋43＋53＋83＝1＋64＋125＋512＝702，73＋03＋23＝343＋0＋8＝351，33＋53＋13＝27＋125＋1＝153，13＋53＋33＝153，……

数字黑洞153又叫“圣经数”，

这个奇妙的数“153”是一位叫科恩的以色列人发现的。科恩是一位基督徒。一次，他在读圣经《新约全书》的“约翰福音”第21章时，当他读到：

耶稣对他们说：“把刚才打的鱼拿几条来。”西门·彼得就去把网拉到岸上。那网网满了大鱼，共153条；鱼虽这样多，网却没有破。

数感极好的科恩无意中发现153是3的倍数，并且它的各位数字的立方和仍然是153。无比兴奋之余，他又用另外一些3的倍数来做同样的计算，最后的得数也都是153。于是，科恩就把他发现的这个数153称为“圣经数”。后来，英国数学家奥皮亚奈对此做出了证明，《美国数学月刊》对有关问题还进行了深入的探讨。 2、数字黑洞123

任意取一个数，求出它所含偶数的个数、奇数的个数、这两个个数的和(也就是这个数的位数)，用所得的三个数作数字依次组成一个三位数。对这个三位数重复前面的做法，得到一个新的三位数，如此进行下去，最后必然落入数字黑洞123。

如，取31415926。偶数数字有4、2、6共3个，奇数数字有3、1、1、5、9共5个，二者的和是3＋5＝8个，由数字“3”“5”“8”组成的新数是358；

358的偶数数字有8这1个，奇数数字有5、8共2个，二者一共是1＋2＝3个，由数字“1”“2”“3”组成的新数是123。

再如，取142857。偶数数字有4、2、8共3个，奇数数字有1、5、7共3个，二者的和是3＋3＝6个，由数字“3”“3”“6”组成的新数是336；

336的偶数数字有6这1个，奇数数字有3、3共2个，二者的和是1＋2＝3个，由数字“1”“2”“3”组成的新数是123。

3、数字黑洞6174和395

前苏联的科普作家高基莫夫在他的著作《数学的敏感》一书中，提到了一个奇妙的四位数6174，并把它列作“没有揭开的秘密”。不过，近年来，由于数学爱好者的努力，已经开始拨开浓雾，逐步见天日了。

6174有什么奇妙之处？ 请随便写出一个四位数，这个数的四个数字有相同的也不要紧，但不准这四个数完全相同，例如 3333、7777等都应该排除。写出四位数后，要把它整理一下，其办法是：把这个数中的各位数字按大到小的顺序和从小到大的顺序重新排列，将得到由这四个数字组成的四位数中的最大者和最小者，两者相减，就得到另一个四位数（如果数位不足，就在前面添0补足四位）。将组成这个四位数的四个数字施行同样的变换，又得到一个最大的数和最小的数，两者相减，……这样循环下去，一定在经过若干次（最多7次）变换之后，得到 6174。

例如，开始时我们取数8208，重新排列后最大数为8820，最小数为 0288，8820-0288=8532；对8532重复以上过程：8532-2358=6174。这里，经过两步变换就掉入6174这个“黑洞” 里。（这里，0288也得看成一个四位数。） 再如，我们开始取数2187，按要求进行变换： 8721-1278=7443→7443-3447=3996 →9963-3699=6264→6642-2466=4176 →7641-1467=6174。 这里，经过五步变换就掉入了“黑洞”—— 6174。

拿由1、4、6、7这四个数字组成的任意四位数来说，都只需一步：7641-1467=6174，就掉入“黑洞”再也出不来了。所有的四位数都会掉入6174这个黑洞，不信者可以取一些数进行验证。验证之后，你不得不感叹6174的引力之大。由这个四位数黑洞我们自然会想到：是否存在类似的其它位数的黑洞呢？显然，存在类似黑洞的前提是，必须有类似6174的数，即这个数等于重排它的各个数码的最大数与最小数的差。在三位数中找到了495，你看：954-459=495，得到的仍然是495。 495这个黑洞有多大的引力呢？也就是说它能把多少个三位数吸到这个黑洞中来呢？其实，495的吸引力与6174 一样大！它能把除三个数码一样的三位数以外的所有三位数都吸到495这个黑洞中来，并且最多不超过6步。如果不信，你可以试试。四位数与三位都找到了具有强大吸引力的黑洞。遗憾的是，人们在两位、五位、六位、七位数、……中竟然找不到类似6174和495这样的数，自然也就不存在这些数位的类似的黑洞了。

4、数字黑洞1和4

任意取一个非0自然数，求出它的各个数位上数字的平方和，得到一个新数，再求出这个新数各个数位上数字的平方和，又得到一个新数，如此进行下去，最后要么出现1，之后永远都是1；要么出现4，之后开始按4、16、37、58、89、145、42、20循环。

如，取365。

32＋62＋52＝9＋36＋25＝70，72＋02＝49＋0＝49，42＋92＝16＋81＝97，92＋72＝81＋49＝130，12＋32＋02＝1＋9＋0＝10，12＋02＝1＋0＝1，12＝1，…… 再如，89。

82＋92＝64＋81＝145，12＋42＋52＝1＋16＋25＝42，42＋22＝16＋4＝20，22＋02＝4＋0＝4，42＝16，12＋62＝1＋36＝37，32＋72＝9＋49＝58，52＋82＝25＋64＝89，82＋92＝64＋81＝145，12＋42＋52＝1＋16＋25＝42，42＋22＝16＋4＝20，22＋02＝4＋0＝4，……

数字黑洞是一种神秘而饶有兴味的现象，它的发现有一定偶然性，它的计算过程很简单，不容置疑，而它的证明却非常困难，有的至今还没有结果。这也恰恰是数学的诱人之处。把数字黑洞作为数学文化引入教材，对于提高学生学习数学的兴趣，全面认识数学大有好处。