2023年12月2日发(作者：思而行数学试卷)

2021研究生入学考试考研数学试卷（数学一）

一、选择题（1-10小题，每题5分，共计50分）

ex1,x01.函数f(x)x，在x0处（ ）

1,x0（A）连续且取得极大值 （B）连续且取得极小值

（C）可导且导数等于零 （D）可导且导数不为零

2.设函数f(x,y)可微，且f(x1,ex)x(x1)2,f(x,x2)2x2lnx，则df(1,1)（ ）

（A）dxdy （B）dxdy （C）dy （D）dy

sinx在x0处的3次泰勒多项式为axbx2cx3，则（ ）

21x77（A）a1,b0,c （B）a1,b0,c

6677（C）a1,b1,c （D）a1,b1,c

663.设函数f(x)4.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，则f(x)dx（ ）

01n2k112k11（A）limf （B）limf

nn2n2n2nnk1k12n2nk11k2limf（C）limf （D）

nn2nn2nnk1k1n5. 二次型f(x1,x2,x3)(x1x2)2(x2x3)2(x3x1)2的正负惯性指数依次为（ ）

（A）2，0 （B）1，1 （C）2，1 （D）1，2

11322k1，33l11l22，2，6.已知10,22,31，记11，若1，1123两两正交，则l1,l2依次为（ ）

5151（A）, （B）,

22225151（C）, （D）,

22227.设A、B为n阶实矩阵，下列不成立的是（ ）

A（A）rOOA2r(A)r （B）ATAOAB2r(A)

ATA（C）rOBAA2r(A)r （D）AATBAO2r(A)

AT8.设A、B为随机事件，且0P(B)1 ，下列为假命题的是（ ）

（A）若P(AB)P(A)，则P(AB)P(A)

（B）若P(AB)P(A)，则P(AB)P(A)

（C）若P(AB)P(AB)，则P(AB)P(A)

（D）若P(AAB)P(AAB)，则P(A)P(B)

9.设(X1,Y1),(X2,Y2),2,(Xn,Yn)为来自总体N(1,2;12,2;)的简单随机样本，令1n1nˆXY，则（ ）

12，XXi,YYi，ni1ni12122ˆˆ（A）则是的无偏估计，且D()

n2122ˆˆ（B）则不是的无偏估计，且D()

n2122212ˆˆ（C）则是的无偏估计，且D()

n2122212ˆˆ（D）则不是的无偏估计，且D()

n10.设X1,X2,,X16是来自总体N(,4)的简单随机样本，考虑假设检验问题：H0:10,H1:10，若该检验问题的拒绝域为W{X11}，(x)表示标准正态分布函数，116其中XXi，则11.5时，该检验犯第二类错误的概率为（ ）

16i1（A）1(0.5) （B）1(1) （C）1(1.5) （D）1(2)

二、填空题（11-16小题，每小题5分，共计30分）

11.0dx______

x22x2td2yx2et1_____ 12.设函数yy(x)由参数方程确定，则2t2dxy4(t1)ett013.欧拉方程x2yxy4y0满足条件：y(1)1，y(1)2的解为y_____

14.设为空间区域{(x,y,z)|x24y24,0z2}表面的外侧，则曲面积分xdydzydzdxzdxdy____

2215.设方阵A33，Aij为元素aij的代数余子式，A的各行元素之和为2，且行列式A3，试求A11A21A31______

16.甲、乙两袋中各有2个红球和2个白球，现从甲袋中任取1球，观察颜色后放入乙袋，再从乙袋中取出一球，记甲袋取出的红球个数为X，乙袋取出的红球个数为Y，则X,Y的相关系数为_______

三、解答题（共计70分）

1xet2dt10 17.（本题满分10分）试求极限：limxx0sinxe118.（本题满分12分）设u(x)e函数

x22y2z619.（本题满分12分）已知曲线C:，求C上的点到xoy坐标面距离的最大4x2yz30nxxn1(n1,2,)，求级数u(x)的收敛域及和n(n1)n1值

20（本题满分12分）设DR2是有界单连通闭区域，I(D)4x2y2dxdy取得最大值D的积分区域记为D1

（1）求I(D1)的值

（2）计算D1(xex24y2y)dx(4yexx24y224y2x)dy ，其中D1为D1的正向边界

a11

1a121（本题满分12分）已知A11a（1）求正交矩阵P，使得PTAP为对角矩阵；

（2）求正定矩阵C，使得C2(a3)EA

22. （本题满分12分）在区间(0,2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记作X，较长的一段长度记作Y，令Z（1）求X的概率密度

（2）求Z的概率密度

X（3）求E

Y

Y

X


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