2024年3月16日发(作者：初三数学试卷真题陕西)
武汉大学数学与统计学院
《高等数学》(2012－2013上学期) 期中试题
一 设
y=xf(x−u)
，且当
x=1
时，
y=u
2
+e
u
，求：
f
(
x
)
和
f
′
(2)
.
二 设
0 0 <2 , x n + 1 = x n (2 − x n )(n = 0,1,2, \" ) , 试证明 1) 数列 {x n } 有界; 2) 数列 {x n } 单调增加; 3) 若数列 {x n } 极限存在, 求数列的极限. 三 设 e sinx −e tanx 是 x n 在 x→0 时的同阶无穷小，试确定整数 n . 四 求下列函数的极限 1、 lim 1 + x 2 − 3 1 + 2sin 2 x 1 2 tan x ； 2、 x → 0 2 lim( x → 0 x + e 2 x ) sinx ； 3、 x lim →+∞ ( π arctan x ) x ; x 2 2 4、 x lim sin(x + 1 − x) →+∞ ; 5、 lim( x1e − cosx tan 2 1 x → 1 x − 1 − lnx ) ; 6、 lim x → 0 sinx 2 . x 五 若 lim tanx ⋅ (1 + x − b)1 x → 0 e x 2 − a = 2 , 求 a 和 b 的值. 六 求下列函数导数或微分 1) 设 y = ( cosx x ) lnx ，求 y ′ . 2) 设 y=y(x) 是由方程组 ⎧ ⎨ x=t 2 −2t−3 ⎩ e y sint − y + 1 = 0 所确定的函数，求 dy dx . 3) 设 y=x 2 cos 2 x ，求 y (n) ,n≥3 . 4) 设 y=(sin(x 2 +1)) 4 , 求 dy . ⎧ g(x) − e − x 七 设函数 f(x) = ⎪ ⎨ ,x ≠ 0, 其中 g(x) 具有连续的二阶导数， g(0)=1,g ′ (0)=−1 , 则 ⎪ x ⎩ 0, x = 0, 1) 证明 f(x) 在 x =0 处连续； 2) 求出 f ′ (x) ; 3) 讨论 f ′ (x) 在 x=0 处的连续性. 八 求曲线 y = 1 x + ln(1 + e x ) 的渐近线. 九 证明 x pq 1 x 2 ≤px 1 +qx 2 , 这里 x 1 , x 2 > 0 , p,q≥0 且 p+q=1. 十 证明若 f ( x ) 在 [0,1] 上可导, 且 2 f (1) = 3 f (0) , 则 ∃ ξ ∈ (0,1) , 使 ( ξ + 2) f ′ ( ξ ) = f ( ξ ) . 1 《高等数学》(2012－2013上学期) 期中试题答案 一 设 y=xf ( x−u ) ，且当 x=1 时， y=u 2 +e u ，求： f ( x ) 和 f ′ (2) . 解：当 x=1 时， y=f (1 −u ) =u 2 +e u ，令 t=1−u ，则 f ( t ) = ( t − 1) 2 + e 1 − t ，故 f ( x ) = ( x − 1) 2 + e 1 − x ， f ′ ( x ) = 2( x − 1) − e 1 − x ， 那么 f ′ (2) = 2 − e − 1 . 二 设 0 0 < 2 , x n + 1 = x n (2 − x n )( n = 0,1,2, \" ) , 试证明 1) 数列 { x n } 有界; 2) 数列 { x n } 单调增加; 3) 若数列 { x n } 极限存在, 求数列的极限. 证明 1) x ≤ x n + (2 − x n ) n + 1 = x n (2 − x n ) 2 ≤ 1 , 故数列 { x n } 有界; 2) 因 x n + 1 = x n (2 − x n ) 2 x n x = x − 1 ≥ 2 1 − 1 = 1 , 故 x n ≤ x n + 1 , 即数列 { x n } 单调增加; nn 3) 由1), 2) 知, 数列 { x n } 单调增加且有上界, 故极限存在, 设数列的极限 lim n →∞ x n = A , 那么对 x n + 1 = x n (2 − x n ) 两边同时求极限, 则有 A=A(2−A) , 解方程得 A= 0,1 , 由数列单调增加可知极限为 A=1 . 三 设 e sinx −e tanx 是 x n 在 x →0 时的同阶无穷小，试确定整数 n . 解 由题意知, 需确定整数 n 使得 lim e sinx − e tanx 为非 0 常数. n →∞ x n e sinx − e tanx tanx lim = e ( e sinx − tanx − 1 ) x → 0 x n lim x → 0 x n = lim sinx − tanx x → 0 x n = lim tan x (cos − 1)tan x (cos − 1) x ( − x 2 2 ) 1 3 x → 0 x n = lim x → 0 x n = lim x → 0 x n =− 2 lim x x → 0 x n , 这意味着 n =3 . 四 求下列函数的极限 1 1) lim 1 + x 2 − 3 1 + 2sin 2 x ； 2) x → 0 tan 2 x lim( x → 0 x + e 2 x ) sin x ； 3) 2 x x lim →+∞ ( π arctanx) x 2 2 4) x lim sin( x + 1 − x ) x1 →+∞ ; 5) lim() e − cosx tan 2 1 x → 1 x − 1 − ln x ; 6) lim x → 0 sinx 2 x 2 解 1) lim 1 + x 2 − 3 1 + 2sin 2 x x → 0 tan 2 x = lim 1 + x 2 − 1 3 1 + 2sin 2 x − 1 x → 0 tan 2 x − lim x → 0 tan 2 x 1 2 2 = lim 2 x 2 3 x 1 x → 0 x 2 − lim x → 0 x 2 =− 6 1 2) 由 limln( 2x sin x lim ln(x + e 2 x )1 + 2e 2 x x → 0 x + e) = x → 0 x = lim x → 0 x + e 2 x = 3 , 1 得 lim( 2x sinx x → 0 x + e) = e 3 ； 3) 由 2 2 x 2 ln x lim →+∞ ln( π arctanx) = limxln π arctanx x →+∞ π arctanx = x lim →+∞ 1 x 2 π 1 2 arctan x 1 + x 2 11 = x lim π →+∞ − 1 = lim arctan x 1 + x 2 π x →+∞ − 1 =− 2 x 2 x 2 得 lim 2 − π x →+∞ ( π arctanx) x = e 2 . 4) lim sin(x + 1 − x) sin( 1 x + 1 + x ) x →+∞ = x lim →+∞ ⎛ 2 =∞ ; tan 2 1 x ⎜ 1 ⎞ ⎝ x ⎟ ⎠ 5) 通分后作变量代换 u = x −1 , 有 lim( x1x x → 1 x − 1 − ln x ) = lim lnx − x + 1 x → 1 ( x − 1)ln x = lim (u + 1)ln(u + 1) − u u → 0 u ln( u + 1) = lim uln(u + 1) + ln(u + 1) − u u → 0 u 2 1 = 1 + lim u + 1 − 1 1 u → 0 2 u = 2 . 6) 应用Taylor公式, 有 x 2 (1 lim e 2 − cosx + x 2 + o(x 2 )) − (1 − 1 x 2 + o(x 2 )) x → 0 sinx 2 = x lim 22 → 0 x 2 3
更多推荐
确定,增加,单调
发布评论