2024年3月13日发(作者：2016宁夏文科数学试卷)
2024届高考数学专项利用二级结论秒杀椭圆双曲线
【考点目录】
考点一：椭圆焦点三角形的面积秒杀公式
考点二：中点弦问题(点差法)秒杀公式
考点三： 双曲线焦点到渐近线的距离为b
考点四：双曲线中，焦点三角形的内心I的轨迹方程为x=a(−b 考点五：椭圆与双曲线共焦点的离心率关系秒杀公式 考点六：圆锥曲线定比分焦点弦求离心率秒杀公式 考点七：双曲线中定比分渐近线求离心率秒杀公式 【考点分类】 θ 考点一：椭圆焦点三角形的面积为 S=b 2 ⋅tan ( θ 为焦距对应的张角) 2 证明：设PF 1 =m,PF 2 =n m+n=2a 1 θθ 2 cos2sin 222 2bsinθ 22 2 2c=m+n-2mncosθ 2 ， mn=⇒S △FPF =b 2 ⋅=b 2 ⋅=b 2 1 - 2 ： 2 θ 1+cosθ1+cosθ 1 2cos S=mnsinθ3 2 △FPF 2 1 2 1 2 tan θ ． 2 双曲线中焦点三角形的面积为S= 【精选例题】 b 2 tan θ 2 (θ为焦距对应的张角) y 2 x 2 1 (2021年全国高考甲卷数学(理)试题)已知F 1 ,F 2 为椭圆C： +=1的两个焦点，P，Q为C上 416 关于坐标原点对称的两点，且 PQ = F 1 F 2 ，则四边形PF 1 QF 2 的面积为 2 ． y 2 2 设F 1 ，F 2 是双曲线C:x -=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|=2，则△PF 1 F 2 的 3 面积为( A. 7 2 ) B.3C. 5 2 D.2 1 【跟踪训练】 y 2 x 2 1 设P为椭圆 +=1上一点，F 1 ,F 2 为左右焦点，若∠F 1 PF 2 =60 ° ，则P点的纵坐标为 259 ( A. ) 33 4 B.± 33 4 C. 93 4 D.± 93 4 y 2 x 2 2 设双曲线C: 2 - 2 =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1 ，F 2 ，离心率为5．P是C上一 ab 点，且F 1 P⊥F 2 P．若△PF 1 F 2 的面积为4，则a=( A.1B.2C.4 ) D.8 考点二：中点弦问题(点差法)秒杀公式 b 2 若椭圆与直线l交于AB两点，M为AB中点，且k AB 与k OM 斜率存在时，则k AB ⋅K OM =− 2 ；(焦点在 a a 2 x轴上时)，当焦点在y轴上时，k AB ⋅K OM =− 2 b b 2 若AB过椭圆的中心，P为椭圆上异于AB任意一点，k PA ⋅K PB =− 2 (焦点在x轴上时)，当焦点在y a a 2 轴上时，k PA ⋅K PB =− 2 b 下述证明均选择焦点在x轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似． 直径问题证明：设P(x 0 ，y 0 )，A(x 1 ，y 1 )，因为AB过原点，由对称性可知，点B(-x 1 ，-y 1 )，所以k PA ⋅k PB x 0 + y 0 −y 1 y 0 +y 1 y−y a 2 =⋅= ．又因为点P(x 0 ，y 0 )，A(x 1 ，y 1 )在椭圆上，所以有 2 x 1 x 0 −x 1 x 0 +x 1 x−x a 2 + 2 0 2 0 2 1 2 1 22 y 0 −y 1 b 2 b 2 两式相减得 2 =− 2 ，所以k PA ⋅k PB =− 2 ． 2 x 0 −x 1 aa 2 2 y 0 b 2 2 y 1 b 2 =1(1) =1(2) ． x 1 a 2 + 中点弦问题证明：设A x 1 ，y 1 ，B x 2 ，y 2 ，M x 0 ，y 0 则椭圆 2 x 2 a 2 + 2 2 y 1 b 2 2 y 2 b 2 =1 1 22 y 2 -y 1 两式相减得 22 = x 2 -x 1 =1 2 b 2 - 2 a y 2 -y 1 y 0 y 2 -y 1 k AB ⋅k OM =⋅=⋅ x 2 -x 1 x 0 x 2 -x 1 y 1 +y 2 2 x 1 +x 2 2 22 y 2 -y 1 b 2 = 22 =- 2 =e 2 -1． x 2 -x 1 a b 2 a 2 双曲线中焦点在x轴上为k OM ⋅k AB = 2 ，焦点在y轴上为k OM ⋅k AB = 2 ， ab 【精选例题】 2 y 2 x 2 3 已知椭圆G: 2 + 2 =1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若 ab AB的中点坐标为(1，-1)，则G的方程为 y 2 x 2 A.+=1 4536 2 y 2 x 2 B.+=1 3627 y 2 x 2 C.+=1 2718 y 2 x 2 D.+=1 189 y x 2 4 过双曲线C： 2 - 2 =1(a>0，b>0)的焦点且斜率不为0的直线交C于A，B两点，D为AB中 ab 1 点，若k AB ⋅k OD = ，则C的离心率为() 2 A.6B.2C.3D. 6 2 y 2 x 2 5 已知椭圆C： 2 + 2 =1(a>b>0)的左、右顶点分别为A 1 ，A 2 ，上、下顶点分别为B 1 ，B 2 ．点M ab 1 为C上不在坐标轴上的任意一点，且MA 1 ，MA 2 ，MB 1 ，MB 2 四条直线的斜率之积大于，则C的离 9 心率可以是 A. 3 3 B. 6 3 C. 2 3 D. 7 3 【跟踪训练】 y 2 x 2 3 已知M为双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)的右顶点，A为双曲线右支上一点，若点A关于双 ab 1 曲线中心O的对称点为B，设直线MA、MB的倾斜角分别为α、β，且tanα⋅tanβ=，则双曲线的离 4 心率为( A.5 ) B.3C. 6 2 D. 5 2 y 2 x 2 4 已知A，B，P是双曲线 2 - 2 =1(a>0，b>0)上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点， ab 4 若直线PA，PB的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为() 3 A. 5 2 B. 6 2 C.2D. 21 3 y 2 x 2 5 已知双曲线 - 2 =1(b>0)的左、右焦点分别为F 1 、F 2 ，过左焦点F 1 作斜率为2的直线与双 4 b 1 曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则双曲线的离心率是 4 () 3 A. 6 2 B.2C. 3 2 D.2 考点三：双曲线焦点到渐近线的距离为b 【精选例题】 y 2 x 2 1 若双曲线 2 - 2 =1的焦点F 2,0 到其渐近线的距离为3，则双曲线的渐近线方程为( ab A.y=±3xB.y=±3x 1 C.y=±x 3 D.y=± 3 x 3 ) 2 已知F是双曲线C：x 2 -my 2 =3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为 A.3B.3C.3mD.3m 【跟踪训练】 y 2 x 2 1 已知双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交 ab 于A，B两点．设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为d 1 和d 2 ，且d 1 +d 2 =6，则双曲线的方程 为() y 2 x 2 B.-=1 124 y 2 x 2 C.-=1 39 y 2 x 2 D.-=1 93 y 2 x 2 A.-=1 412 y 2 x 2 2 已知双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C：x 2 +y 2 -6x+5=0相切，且双曲 ab 线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为 y 2 x 2 A.-=1 54 y 2 x 2 B.-=1 45 y 2 x 2 C.-=1 36 y 2 x 2 D.-=1 63 考点四：双曲线中，焦点三角形的内心I的轨迹方程为x=a(−b 【精选例题】 y 2 x 2 3 已知双曲线C: 2 - 2 =1 a>0,b>0 的左､右焦点分别为F 1 ,F 2 ，离心率为2，焦点到渐近线的距 ab 离为6.过F 2 作直线l交双曲线C的右支于A,B两点，若H,G分别为△AF 1 F 2 与△BF 1 F 2 的内心，则 HG 的取值范围为() 4
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