2024年4月12日发(作者：2019高考数学试卷河北)

湖南省百校大联考2023-2024年高二12月考试

数学试卷

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．

回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，2．

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上

无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册、第二册，选择性必修第一册、第二册至4．3．1．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的．

1．已知集合

A=

A．

{

3,4

}

（ ）

{

xx−2>0

}

，

B=

{

1,2,3,4

}

，则

A∩B=

B．

{

2,3,4

}

C．

{

4

}

D．

{

1,2

}

0

，则

z=

（ ）

2．复数

z

满足

(

2−i

)

z−7+i=

A．

−3−i

B．

−3+i

2

C．

3−i

D．

3+i

3．已知

A

为抛物线

C

：

x=2py

（

p>0

）上一点，点

A

到

C

的焦点的距离为9，到

x

轴的距离为6，则

p=

（ ）

A．3 B．4 C．6 D．8

0

平行，则

a=

（ ）

4．若直线

l

1

：

ax

−

y

+

1

=

0

与直线

l

2

：

(

a+2

)

x−ay−1=

A．

−1

B．2 C．

−1

或2 D．1或

−2

5．有编号互不相同的五个砝码，其中3克、1克的砝码各两个，2克的砝码一个，从中随机选取两个砝码，则

这两个砝码的总重量超过4克的概率为（ ）

A．

3

10

B．

1

5

C．

2

5

D．

1

2

=f

(

x

)

Asin

(

x+

ϕ

)

（

A>0

，

ω

>0

）的部分图象如图所示，则

f

6．已知函数

3

π

4

=

（ ）

A．1 B．

−1

C．

2

D．

−2

7．已知等差数列

{

a

n

}

的前

n

项和为

S

n

，且

S

36

>0

，

S

37

<0

，则当

S

n

取得最大值时，

n=

（ ）

A．37 B．36 C．18 D．19

x

2

y

2

7

的直

8．已知

F

是双曲线

E

：

2

−

2

=1

（

a>0

，

b>0

）的左焦点，

O

为坐标原点，过点

F

且斜率为

ab

3



线与

E

的右支交于点

M

，

MN=3NF

，

MF⊥ON

，则

E

的离心率为（ ）

A．3 B．2 C．

3

D．

2

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．甲同学通过数列3，5，9，17，33，…的前5项，得到该数列的一个通项公式为

a=2

n

+m

，根据甲同学

n

得到的通项公式，下列结论正确的是（ ）

A．

m=1

B．

m=2

D．

a

6

=65

C．该数列为递增数列

10．某班有男生30人；女生20人，其中男生身高（单位：厘米）的平均值为170，身高的方差为24，女生身

高的平均值为160，身高的方差为19，则（ ）

A．该班全体学生身高的平均值为165

C．该班全体学生身高的方差为46

B．该班全体学生身高的平均值为166

D．该班全体学生身高的方差为44

x

2

y

2

y

2

2

11．已知椭圆

C

：

2

+

2

=1

（

a>0

，

b>0

）与双曲线

D

：

x−=1

有相同的焦点

F

1

，

F

2

，且它们的

3

ab

离心率互为倒数，

P

是

C

与

D

的一个公共点，则（ ）

A．

PF

1

−PF

2

=F

1

F

2

C．

△PF

1

F

2

为直角三角形

1

2

2F

1

F

2

B．

PF

1

+PF

2

=

D．

C

上存在一点

Q

，使得

QF

1

⊥QF

2

12．数学探究课上，小王从世界名画《记忆的永恒》中获得灵感，创作出了如图1所示的《垂直时光》．已知

《垂直时光》是由两块半圆形钟组件和三根指针组成的，它如同一个标准的圆形钟沿着直径

MN

折成了直二

．设

MN

的中点为

O

，

MN=43

已知长度为2的时针

面角（其中

M

对应钟上数字3，

N

对应钟上数字9）

OA

指向了钟上数字8，长度为3的分针

OB

指向了钟上数字12，现在小王准备安装长度为3的秒针

OC

（安

装完秒针后，不考虑时针与分针可能产生的偏移，不考虑三根指针的粗细），则下列说法正确的是

A．若秒针

OC

指向了钟上数字5，如图2，则

OA⊥BC

B．若秒针

OC

指向了钟上数字5，如图2，则

NA∥

平面

OBC

C．若秒针

OC

指向了钟上数字4，如图3，则

BC

与

AM

所成角的余弦值为

14

7

103

π

3

D．若秒针

OC

指向了钟上数字4，如图3，则四面体

OABC

的外接球的表面积为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分





13．已知向量

m=

(

2,x

)

，

n=

(

−4,x+2

)

，若

m⊥n

，则

x=

______．

14．已知

f

(

x

)

是定义在

R

上的奇函数，且当

x<0

时，

f

______．

=

(

x

)

lnx

2

+2

，则

f

(

0

)

+2f

(

1

)

=

15．某公司2015年全年生产某种商品10000件，在后续的几年中，后一年该商品的产量都是前一年的120%，

则该商品年产量超过20000件时，至少需要经过______年．

16．若

A

，

B

是平面内不同的两定点，动点

P

满足

()

PA

，则点

P

的轨迹是一个圆，这个

=k

（

k>0

且

k

≠

1

）

PB

C

(

4,0

)

，

D

(

4,9

)

，

轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知点

A

(

1,0

)

，

动点

P

满足

PA

PC

=

1

，则

2PD−PC

的最大值为______．

2

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

在正项等比数列

{

a

n

}

中，

a

1

=4

，

a=a

3

+2a

2

．

4

（1）求

{

a

n

}

的通项公式；

（2）若

b

n

=log

2

a

n

，证明

{

b

n

}

是等差数列并求

{

b

n

}

的前

n

项和

S

n

．

18．（12分）

已知圆

C

1

：

x

2

+y

2

−4x−5=0

与圆

C

2

关于直线

l

：

x−y+1=0

对称．

（1）求

C

2

的标准方程；

（2）记

C

1

与

C

2

的公共点为

A

，

B

，求四边形

AC

1

BC

2

的面积．

19．（12分）

△ABC

的内角

A

，

B

，

C

所对的边分别为

a

，

b

，

c

．已知

c

2

，

a

2

，

3b

2

成等差数列．

（1）若

(

a−c

)

cosB=b

(

cosA−cosC

)

，求

sin

A

sin

B

（2）若

c=1

，当

cosB

取得最小值时，求

△ABC

的面积

20．（12分）

已知正项数列

{

a

n

}

的前

n

项和为

S

n

，且

8S=

n

(

a

n

+2

)

2

．

（1）求

{

a

n

}

的通项公式；

（2）若

b

n

=

1

，求数列

{

b

n

}

的前

n

项和

T

n

．

a

n

a

n+1

21．（12分）

如图，在四棱锥

P−ABCD

中，

∠ABC=90°

，

∠BAD=

=BC2=AD22

，

△PAB

与

△PAD

均为正三角

形．

（1）证明：

AD∥

平面

PBC

．

（2）证明：

PB⊥

平面

PCD

．

（3）设平面

PAB∩

平面

PCD=l

1

，平面

PAD∩

平面

PBC=l

2

，若直线

l

1

与

l

2

确定的平面为平面

α

，线段

AC

的中点为

N

，求点

N

到平面

α

的距离．

22．（12分）

x

2

y

2

已知双曲线

C

：

2

−

2

=1

（

a>0

，

b>0

）的焦距为

27

，点

M

(

4,3

)

在

C

上．

ab

（1）求

C

的方程；

（2）

F

1

，

F

2

分别为

C

的左、右焦点，过

C

外一点

P

作

C

的两条切线，切点分别为

A

，

B

，若直线

PA

，

PB

互相垂直，求

△PF

1

F

2

周长的最大值．

高二数学试卷参考答案

1．A 因为

=A

{

3,4

}

．

{

xx>2

}

，所以

A∩B=

2．D

z=

7−i

=

2−i

(

7−i

)(

2+i

)

=

5

15+5i

=3+i

．

5

p

=3

，则

p=6

．

2

3．C 因为点

A

到

C

的焦点的距离为9，到

x

轴的距离为6，所以

4．B 因为

l

1

∥l

2

，所以

−a

2

+a+2=0

，解得

a=−1

或

a=2

．当

a=−1

时，

l

1

与

l

2

重合，不符合题

意．当

a=2

时，

l

1

∥l

2

，符合题意．

5．A 记3克的砝码为

A

1

，

A

2

，1克的砝码为

C

1

，

C

2

，2克的砝码为

B

，从中随机选取两个砝码，样本空

间

Ω=

(

A

1

,A

2

)

,

(

A

1

,B

)

,

(

A

1

,C

1

)

,

(

A

1

,C

2

)

,

(

A

2

,B

)

,

(

A

2

,C

1

)

,

(

A

2

,C

2

)

,

(

B,C

1

)

,

(

B,C

2

)

,

(

C

1

,C

2

)

，共有10

{}

3

．

10

2

π

313

ππ

3

π

f

(

x

)

Asin

(

ω

x+

ϕ

)

的图像可知

A=2

，

T=

=

，则

=

6．B 由函数

ω

=

2

．

−=

T

41234

个样本点，其中事件“这两个砝码的总重量超过4克”包含3个样本点，故所求的概率为

由

f

5

π

13

π



13

π

，解得

ϕ

=−+2k

π

，

=×+=

ϕ

2sin22



3

12

12



则

f

(

x

)

2sin

2x

−=

5

π

3

，故

3

π

f

4



3

π

5

π

=−−1

．

2sin



2×

=

43



36

(

a

1

+a

36

)

37

(

a

1

+a

37

)

7．C

S

36

==18

(

a

1

+a

36

)

=18

(

a

18

+a

19

)

>0

，

=S

37

=37a

19

<0

，

22

则

a

18

>0

，

a

19

<0

，从而当

n

=

18

时，

S

n

取得最大值．



8．B 记

E

的右焦点为

F

1

，

MF

的中点为

P

，连接

MF

1

，

PF

1

（图略），因为

MN=3NF

，

O

为

FF

1

的中

=

点，所以

ON∥PF

1

，则

MF⊥PF

1

，从而

MF

1

cos∠MFF

1

7

FF=2c

．又，所以

tan∠MFF=

1

1

3

MF

3

3c−2c=c=2a

，故

E

的离心率为2． ，则

MF=3c

，

MF−MF

1

=

2FF

1

4

9．ACD 由

a

1

=2

1

+m=3

，得

m=1

，则

a

6

2

6

+165

．由

a

n

−a

n−1

=2

n

−2

n−1

=2

n−1

>0

，得该数列

为递增数列．

10．BC 由题可知，该班全体学生身高的平均值为

×170+

3

5

2

166

，该班全体学生身高的方差为

×160=

5

3

2

22

24+

(

170−166

)

+

19+

(

160−166

)

=46

．

5



5


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