2022年高考数学试题分析(超详细)

2023年12月15日发(作者：广东21年数学试卷)

2022年高考数学试题分析暨

2022届高三数学复习建议

一．选择题

3i（1）复数

1i（A）34i （B）34i （C）34i （D）34i

【答案】A

【命题意图】本试题主要考查复数的运算.

2(3i)(1i)3i2【解析】(12i)34i.

21i（2）.函数y（A）

ye（C）ye【答案】D

【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。

【解析】由原函数解得，即∴在反函数中，又，故选D.

；

221ln(x1)(x1)的反函数是

21(x0) （B）ye2x11(x0)

2x12x11(xR) （D）ye2x11(xR)

x≥1,（3）.若变量x,y满足约束条件y≥x,则z2xy的最大值为

3x2y≤5，（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

【答案】C

【命题意图】本试题主要考查简单的线性规划问题.

【解析】可行域是由A(1,1),B(1,4),C(1,1)构成的三角形，可知目标函数过C时最大，最大值为3， 故选C.

（4）.如果等差数列an中，a3a4a512，那么a1a2...a7

（A）14 （B）21 （C）28 （D）35

【答案】C

【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质. 【解析】a3a4a53a412,a44,a1a2

a77(a1a7)7a428

2x2x6＞0的解集为 （5）不等式x1（A）xx＜2,或x＞3 （B）xx＜2，或1＜x＜3

（C）

x2＜x＜，或1x＞3 （D）x2＜x＜，或11＜x＜3

【答案】C

【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.

【解析】利用数轴穿根法解得-2＜x＜1或x＞3， 故选C

（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有

（A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种

【答案】B

【命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力.

2010年高考大纲数学中“考试要求”规定：

数学科的考试，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想，

【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，

每个信封两个有种方法，共有种， 故选B.

均分 1.74 得分率 0.35 四

（7）为了得到函数ysin(2x)的图像，只需把函数ysin(2x)的图像

36（A）向左平移个长度单位 （B）向右平移个长度单位

44 （C）向左平移个长度单位 （D）向右平移个长度单位

22【答案】B

【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移.

【解析】ysin(2x)，ysin(2x)=sin2(x)，

61236所以将ysin(2x)的图像向右平移个长度单位得到ysin(2x)的图像，

643故选B.

)=sin2(x （8）ABC中，点D在AB上，CD平分ACB．若CBa,CAb

a1，b2，则CD

（A）a132213443b （B）ab （C）ab （D）ab

3335555【答案】B

【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查（角平分线定理）平面几何知识.

【解析】因为CD平分ACB，由角平分线定理得ADCA2=，

DBCB122AB(CBCA)，

332121所以CDCA+ADCBCAab， 故选B.

3333所以D为AB的三等分点，且AD或：

CEFBAD

设CDmanb,则由A、D、B三点一线得mn1，而BCDACD,构造的平行四边形CFDE为菱形

所以，manb,即m2n，结合mn1得m故，CD21ab.

3321,n

33（9）已知正四棱锥SABCD中，SA23，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为

（A）1 （B）3 （C）2 （D）3 【答案】C

【命题意图】本试题主要考察锥体的体积，考察高次函数的最值问题.

【解析】设底面边长为a，则高

所以体积，

设当y取最值时，，则，

，解得a=0或a=4时，体积最大，

此时， 故选C.

均分1.73 得分率 0.35 三

1（10）若曲线yx在点a,a2处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则12a

（A）64 （B）32 （C）16 （D）8

【答案】A

【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力.

3131311【解析】

y\'x2,ka2，切线方程是ya2a2(xa)，

22231令x0，ya2，令y0，x3a，

2131∴三角形的面积是s3aa218，解得a64. 故选A.

22均分2.11 难度 0.42

（11）与正方体ABCDA1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点

（A）有且只有1个 （B）有且只有2个

（C）有且只有3个 （D）有无数个

【答案】D

对空间想象与推理的考查力度比较大；

均分0.86 得分率 0.17

D1QO2NC1O3A1B1选择题中难度最大的一个

仔细品味：有直观感知（点B、D它们的中点）、

合情推理（直线BD上的任意点）的味。

CPO1【解析】

MB直线于上取一点，分别作于

垂直则DA分别作由三垂线定理可得，PN⊥等，所以PM⊥，垂足分别为M，N，Q，连PM，PN，PQ，；PQ⊥AB，由于正方体中各个表面、对等角全，∴PM=PN=PQ，即P到三条棱AB、CC1、A1D1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.

空间想象能力的考查要求学生平时就培养对事物观察、感知、分析、想象等能力。今后人才选拔的标准是更加侧重于能力和思维，通过死记硬背、题海战术等方式获取高分将越来越困难。这就要求我们在教学中更加注重培养学生个性化的思维能力、自己解决问题的能力。高考题想通过这类题型，逐步淘汰被人长久诟病的“填鸭式”教学。

x2y23（12）已知椭圆C:221(a＞b＞0)的离心率为，过右焦点F且斜率为k(k＞0)的2ab直线与C相交于A、B两点．若AF3FB，则k

（A）1 （B）2 （C）3 （D）2

【答案】B 是09年高考题第（11）题改编而来，用代数计算的方法解，计算量较大； 均分 1.49 得分率 0.30 二 0.70 0.14

【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.

【解析】设直线l为椭圆的右准线，e为离心率，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，B1为垂足，过B作BE垂直于AA1与E，由第二定义得，，

由，得，

∴AEAA1A1EAA1BB13BFeBFe2BFe

∴即k

2， 故选B.

另解：由ec33及a2b2c2得c2a23b2，………..(1)

a24设A(x1,y1),B(x2,y2)由AF3FB得4c3x2x1，……….(2)

yk(xc)2ca2k22ab21k222，……(3)

联立x得：x1,2y2222(bak)221ba将（1）、（3）代入（2）化简得：31k2，即k2.

很显然，这种方法计算量要大得多。去年考，今年又考，明显有一个导向：日常教学中留给学生一定的时间，引导学生多思考、多交流，平时就要养成解题方法的探究、在探究中进行解法的优化组合的习惯，少些埋头蛮干，这也是正在进行的课改所大力倡导的。

第Ⅱ卷

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

（13）已知a是第二象限的角，tan(2a)【答案】4，则tana ．

31

2【命题意图】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程，考查考生的计算能力.

442tan4得tan2a，又tan2a，

2331tan311解得tan或tan2，又a是第二象限的角，所以tan.

22a（14）若(x)9的展开式中x3的系数是84，则a ．

x【解析】由tan(2a)【答案】1

【命题意图】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法.

333【解析】展开式中x3的系数是C9(a)84a84,a1.

2（15）已知抛物线C:y2px(p＞0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为3的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B．若AMMB，则p ．

【答案】2

【命题意图】本题主要考查抛物线的定义与性质.

【解析】过B作BE垂直于准线l于E，

∵AMMB，∴M为中点，

∴BMyEBl1AB，

2OMx又斜率为3，BAE300，

1AB，∴BMBE，

2∴M为抛物线的焦点， ∴p2.

∴BE另解：

设B(x1,y1),A(x2,y2)则由AMMB得：A（1x2,0y2)(x11,y1) 而

x2∴x1p

24P3(P2)4p,) 代入L的方程

y3(x1) 得B(222 23(p2)4p2p将B点的坐标代入抛物线方程有

得p=2或p= -6(舍)

222或：

联立y2px与y3(x1)得：

3x23x2px30

x1,232p(32p)2433 显然麻烦，还与A点不好联系。

23

回顾第（8）、第（12）及本题可以看出考题对数学定义、概念及数学基本定理、性质的考查程度；同时也可以看出考题对平面几何知识的考查程度，这反映出命题者的一个思路：中学数学中的几何内容应该是一个整体，在高中教学中要想办法搞好衔接，把它们有机的连接起来。

今年、明年和后年正是大纲教材向课标教材过渡的时期。为了支持新一轮课程改革，高考数学试题的命制，已适度吸收新课程的理念。例如把平面几何、向量几何与解析几何综合作为整体考查就是一个很好的例证。此外，课标教材选修2-2中的合情推理也被试题命制所吸纳。

（16）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB4．若OMON3，则两圆圆心的距离MN ．

【答案】3

【命题意图】本试题主要考查球的截面圆的性质，解三角形问题.

第（16）题是立体几何题 ，需要比较好的空间感，才可以做好 ．

【解析】设E为AB的中点，如图，∵AB4，OA=4

OA42EBAB2∴OER23，

2∴ME2OE2OM2(23)2323

OM由球的截面性质，有OMME,ONNE，

0E 再加之O，E，M，N四点共面,可得MON60

N

∵OMON3，

MN3

三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分10分） ABC中，D为边BC上的一点，BD33，sinB53，cosADC，求AD．

135【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用，考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况及分析问题的能力.

【参考答案】

3A＞0，知B＜.

52124由已知得cosB=，sin∠ADC=.

135由cos∠ADC=从而 sin∠BAD

=sin（∠ADC-B）

=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB

=BDC4123533.

51351365由正弦定理得BD•sinBADBD， 所以ADsinBADsinBsinBAD30,

53351325.

3365另解一：

cosADC34cosADBcos(ADC)cosADC，sinADB.

55332AD2AB2故 有 ……①

233AD4ADAB552AD……② 又据 得：

AB5sinBsinBDA25133522222将②代入①得：233AD33AD()AD

525AD化简21AD2510AD11250

(AD25)(21AD1125)0

222AD25 或AD1125(舍).

21A另解二：如右图

过A作AE⊥BC交BC于E点，

30,

54AEB且sinADE……①

25AD4AEtanADE … …②

3DE在ADE中

cosADCBDEC 在ABE中

sinB55AE

tanB……③

131233DE由②、③得：

3AE4DE 解得：AE=20 将AE=20代入①得：AD=25.

12AE3355DE

【点评】题型来源于课本，但与往年相比有一定的新意，在思路上与往年试题有所不同,与去年相应的三角题（17）题比较

设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos(AC)cosBb2ac,求B.

解：

将B-(AC)代入cos(A-C)cosB3,.

23中有

2cos(AC)cos(AC)3

,利用和差角公式，化简得：23

433,或sinB(舍)22sinAsinC22又由bac及正弦定理得：sinBsinAsinC, 故

sinB于是

B3或B2.

又由b2ac知ba或bc，所以B

33

(今年均分4.40 难度 0.44； 09年均分4.67 难度约0.47)

小题(%)

0

19

1

9.7

2

9.19

3

11.5

4

6.3

5

6.3

6

9.5

7

2.2

8

7.9

9

1.79

10

16.59

以看出零分占有的比例很大（比（18）题、（19）题高），许多学生最基础的公式写不上。

统计： 抽样3324份试卷（理科试卷共计168667份）

占抽样的百分比

所得均分

解法一

41％

7.74

解法二

41％

3.83

解法三

12％

4.33

空卷或几个字符

6％

0

想通过公式与公式的变形来联立方程组解决问题，置三角形图形于不顾。

实际上三角函数考题大致为以下几类：一是三角函数的恒等变形，即应用同角变换和诱导公式，两角和差公式，二倍角公式，求三角函数值及化简、证明等问题；二是三角函数的图象和性质，即图像的平移、伸缩变换与对称变换、画图与视图，与单调性、周期性和对称性、最值有关的问题；三是三角形中的三角问题．

三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.

（18）（本小题满分12分）

2n已知数列an的前n项和Sn(nn)3．

（Ⅰ）求liman；

nSn（Ⅱ）证明：ana1a2n．

…＞322212ns1(n1)【命题意图】本试题主要考查数列基本公式an的运用，数列极限和数列ss(n2)nn1不等式的证明，考查考生学生的思维能力和计算能力.

【参考答案】

(1)limnnanSSn1limnSnnSnSn1)Snlim(11lim1lim23Sn1nSnn11•nn13a1(2)当n1时，2S163;1aa1a2,当n1时,22n12n2SSSSS21221n2n112n1111111(22)S1(22)S2()SSnn11223(n1)2n2n2Sn

n2n2nn33n2naa1a2n所以，当n1时,22n312n2 另解：

（Ⅱ）证明：anananan

122232n2ana1a2a3n2n2n2n2Snn2(n2n)3n

2n13n3nn3n.或用数学归纳法证明

证明：

1） 当n1时，左边23,右边3，显然不等式成立.

2） 假设当n=k时，不等式成立，即:

anananakk

32222123k那么在n=k+1时，有

anananakak1122232k2(k1)2ak13k(k1)223k(k1)(k2)3(k1)2k

43k323k13k23k3k1kk当nk1是不等式成立.

故由1）、2)可知原不等式对一切正整数均成立.

【点评】

小题(%)

0

11.9

1

6.3

2 3 4 5

2

6 7 8

3.29

9

2.7

10

2.7

11

2.6

12

4.5 11.1 8.39 10.4 30.89 3.2

今年均分4.72 难度 0.39；09年第（19）题为数列题 均分4.28 难度0.36

08年第（20）题为数列题 均分1.99 难度0.17

2010年高考数学全国Ⅱ试卷将数列题前置,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题（09年在第（19）、08年在第（20）、07年在第（21）、06年在第（22）位置处是压轴题）的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心.

估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续.

（19）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，AA1AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE3EB1．

（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；

（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1AC1B1的大小．

【命题意图】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力. 这是一道难度适中的题，着重是对基础知识的考查，包括三垂线定理，空间感要求高，也是来源于课本，是一道平时训练的重点与常规题，但更适合用空间向量解决．

C1C【参考答案】

K(19)

HDB

B1

GE

A

A1

解法一：

（I）连接A1B，记A1B与AB1的交点为F.

因为面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF=FB1，又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1.

作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点.

又由底面ABC⊥面AA1B1B.连接DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD.

所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线.

（II）因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG=45°

设AB=2，则AB1=22，DG=2，CG=2，AC=3.

作B1H⊥A1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C.又作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1-AC1-B1的平面角.

12A1B1A1C1(A1B1)2222B1H,A1C13

HC1B1C1B1H2233AC122(3)27,HKtanB1KHAA1HC123AC137

B1H14,HK所以二面角A1AC1B1的大小为arc14

另外，还有用等体积法的，也有用三面角公式的，还有用异面直线距离公式的。

解法二：

（I）以B为坐标原点，射线BA为X轴正半轴，

建立如图所示的空间直角坐标系（考卷上出现了七八种坐标系） 13设AB2,则A(2,0,0),B1(0,2,0),D(0,1,0),E(,,0),2211又设C(1,0,c),则DE(,,0),B1A(2,2,0)DC(1,1,c)

22于是DEB1A0,DEDC0故DEB1A,DEDC,所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线.

()因为B1A,DC等于异面直线AB1与CD的夹角，故，B1ADCB1ADCcos450,

2即22c24，22zC1C解得c2,故AC(-1,0,2)又AA1BB1(0,2,0),设平面AA1C1的法向量为m(x,y,z)则，mAC10,mAA10,即x2y2z0且2y0，xA

BDEB1yA1令x2,则z1,y0,故m(2,0,1)，设平面AB1C1的法向量为n(p,q,r),

则nAC10,nB1A0，即P2q2r0,2p2q0.令p2，则q2,r1,故n(2,2,1)

即p2q2r0,2p2q0.令p2,则q2,r1,故n(2,2,1)所以cosm,nmnmn115.

由于m,n等于A1-AC1-B1二面角的平面角所以二面角A1-AC1-B1的大小为arccos

【点评】

15.15

小题(%)

0

9.6

1

9.5

2 3 4 5 6 7

9.5

8

5

9

3.7

10

2.5

11

2

12

4 7.19 16.2 7.59 7.59 15.7

今年均分4.68 难度 0.39 ；09年（第18题）均分4.78 难度0.40

三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段.通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处.

但考题对空间想象能力的要求并为降低，从今年（11）题、（16）题，去年的（12）题（正方体的侧面展开）、（15）题（球体与线面所成角的问题）中都可以看出。

（20）（本小题满分12分）

如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．

（Ⅰ）求p；

（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率；

（Ⅲ）表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求的期望．

【命题意图】本试题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及数学期望，考查分类讨论的思想方法及考生分析问题、解决问题的能力.

第（20）题是一道概率的题，考查基础知识的一道常规题，在考查中融入了对电路图的应用，渗透了新课标的思想，增加了难度，失分比较多．

【参考答案】

记Ai表示事件：电流能通过Ti,i1,2,3,4,

A表示事件T1,T2,T3中至少有一个能通过电流，B表示事件：电流能在M与N之间通过.（Ⅰ）

AA1A2A3,A1,A2,A3相互独立，P(A)P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)(1-p)3又P(A)1-P(A)1-0.9990.001,3故（1p）0.001,p0.9.

（Ⅱ）

BA4A4A1A3A4A1A2A3,P(B)P(A4A4A1A3A4A1A2A3)P(A4)P(A4)P(A1)P(A3)P(A4)P(A1)P(A2)P(A3)

0.90.10.90.90.10.10.90.90.9891.或P(B)P(((A1A2)A3)A4),P(A1A2)1P(A1)P(A2)0.99,P((A1A2)A3)0.990.90.891,P(B)P(((A1A2)A3)A4)1P((A1A2)A3)P(A4)10.1090.10.9891（Ⅲ）

由于电流能通过各元件的概率都是0.9，且电流能否通过各元件互相独立故(4,0.9),E40.93.6.

【点评】

小题(%)

0

35

1

9

2

2

3 4 5 6

5.5

7

3.29

8

8.8

9

1.79

10

0.5

11

0.3

12

0.8 3.79 19.79 9.3

今年均分3.12 难度 0.26； 09年均分5.55 难度0.46

概率与统计也是每年的必考题，但对考试难度有逐年加强的趋势，已经由原来解答题的前3题的位置逐渐后移到第20题的位置，对考生分析问题的能力要求有所加强，这应引起高度重视.

（21）（本小题满分12分）

x2y2 己知斜率为1的直线l与双曲线C：221a＞0，b＞0相交于B、D两点，且abBD的中点为M1,3．

（Ⅰ）求C的离心率；

（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，DFBF17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．

【命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质，考查直线与圆的关系，既考查考生的基础知识掌握情况，又可以考查综合推理的能力.

【参考答案】 （Ⅰ）

由题设知，l的方程为:yx2.代入C的方程，并化简，得(b2a2)x24a2x4a2a2b20.设B(x1,y1)、D(x2,y2),

4a24a2a2b2则x1x22,x1x2（,1）222babax1x21,得2

由M(1,3)为BD的中点知14a221,即b23a2,(2)22ba故ca2b22a,c所以C的离心率e2a第一问，还可以用点差法来解，也有用参数方程解的考生。

（Ⅱ）

由（1）、（2）知，C的方程为：3xy3a,

22243a2A(a,0),F(2a,0),x1x22,x1x20,2故不妨设x1a,x2a.2BF（x12a）y1(x12a)23x13a2a2x1,22

FD(x22a)2y2(x22a)23x23a22x22a,BFFD(a2x1)(2x22a)4x1x22a(x1x2)a25a24a8又BFFD17,故5a24a817,9解得a1,或a(舍去)，5故BD2x1x22(x1x2)24x1x26.连接ＭＡ，则由Ａ（１，０），Ｍ（１，３）知

BOAFxy22

MDMA3，从而ＭＡ＝ＭＢ＝ＭＤ，且ＭＡx轴，

因此，以Ｍ为圆心，ＭＡ为半径的圆经过

Ａ、Ｂ、Ｄ三点，且在点Ａ处与ｘ轴相切。

所以过Ａ、Ｂ、Ｄ三点的圆与ｘ轴相切。

第二问解题过程中有用焦半径公式的、有用弦长公式的、还有用第二定义的。

【点评】

小题(%)

0 1 2 3 4 5 6 7

2.8

8

0.7

9

0.1

10

0

11

0

12

0 27.39 12.8 16.79 8.69 5.09 2.89 22.6

今年均分2.70 难度 0.23；09年均分3.64 难度0.30

（统计情况：11分及11分以上的有45份）

第（21）题考查双曲线的离心率和圆的性质，体现了数形结合与方程的思想方法，但运算量比较大，第一问是基础题，可以解方程组解决，也可以利用差分法得关系式，第二问难度较大，灵活性较强，能有效地区分不同能力层次的学生群体．

高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目，命题者将好多考点以圆锥曲线为背景来考查，如向量问题、三角形问题、函数问题等等，试题的难度相对比较稳定.

（22）（本小题满分12分）

设函数fx1e．

x （Ⅰ）证明：当x＞-1时，fx（Ⅱ）设当x0时，fxx；

x1x，求a的取值范围．

ax1【命题意图】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力；同时还要用到迁移转化、构造函数的解题技巧，所以应是全卷最难的一题，均分只有0.74分．

【参考答案】

（Ⅰ）

当x1时,f(x)x当且仅当ex1x.

x1令g(x)exx1,则g\'(x)ex1.

当x0时，g\'(x)0,g(x)在[0,)是增函数；当x0时，g\'(x)0,g(x)在(,0]是减函数。于是g(x)在x0处达到最小值，因而当xR时，g(x)g(0),即ex1xx所以当x1时,f(x).1x（Ⅱ）

由题设x0,此时f(x)0.1xx当a0时,若x,则0,f(x)不成立；aax1ax1当a0时,令h(x)axf(x)f(x)x,则xf(x)当且仅当h(x)1h\'(x)af(x)axf\'(x)f\'(x)1af(x)axf(x)axf(x).1(1)当0a时,由(I)知x(x1)f(x),2h\'(x)af(x)axf(x)a(x1)f(x)f(x),(2a1)f(x)0,h(x)在[0,)是减函数,h(x)h(0)0,即f(x)1 1(2)当a时，由（1）知xf(x),2h\'(x)af(x)axf(x)axf(x)af(x)axf(x)af(x)f(x)(2a1ax)f(x),当0x2a1x时，h\'(x)0,所以h(x)h(0)0,即f(x).aax11综上，a的取值范围是[0,].2

解法二：

由题设x0,此时f(x)0.1xx当a0时,若x,则0,f(x)不成立；aax1ax1xx当a0时,f(x),即1exax1ax1x1令h(x)1ex，则h\'(x)ex,ax1(ax1)2x要使f(x)，(x0)恒成立，即h(x)0恒成立；ax1而h(0)0,因此h(x)在x0上须单调递减，即h\'(x)0(x0)，11x2亦即x,即e(ax1)在x0下成立；2e(ax1)令F(x)ex(ax1)2,则F\'(x)ex2a(ax1),要使ex(ax1)2在x0下成立，即F(x)ex(ax1)20F(0)成立须F(x)在x0上单调递增，即F\'(x)ex2a(ax1)0(x0)；这样须F\'\'(x)ex2a20,且F\'(0)0,即有e02a20且e02a0,

1因此a21显然当a时，由以上的推理可知原不等式对x0是不能恒成立的。2

1综上得，0a2

【点评】

小题(%)

0 1 2

13

3

3.2

4

0.6

5

0.2

6

0.6

7

0.1

8

0

9

0

10

0

11

0

12

0 51.4 30.89

今年均分0.74 难度 0.06；09年均分2.77 难度0.23

（统计情况：6分及6分以上的有15*68+12=1032份，10分及10以上的无）

导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.