《高等数学》第八章 重积分(电子讲稿)

2023年12月27日发(作者：2001年数学试卷难度)

第八章 重积分

本章和下一章是多元函数积分学的内容．在一元函数积分学中我们知道，定积分是某种确定形式的和的极限．这种和的极限的概念推广到定义在区域、曲线及曲面上多元函数的情形，便得到重积分、曲线积分及曲面积分的概念．本章将介绍重积分（包括二重积分和三重积分）的概念、性质、计算以及它们的一些应用．

第一节 二重积分的概念与性质

一、二重积分的概念

1．曲顶柱体的体积

设有一个立体，它的底是xOy面上的闭区域D（为简便起见，本章以后除特别说明外，都假定平面闭区域和空间闭区域是有界的，且平面闭区域有有限面积，空间闭区域有有限体积），它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面，它的顶是曲面，这种zf(x,y)，这里f(x,y)0且在D上连续（图81）立体叫做曲顶柱体．现在我们来讨论如何计算上述曲顶柱体的体积V.

我们知道，平顶柱体的高是不变的，它的体积可以用公式

体积=底面积×高

来定义和计算．关于曲顶柱体，当点(x,y)在区域D上变动时，高度f(x,y)是个变量，因此它的体积不能直接用上式来计算．但如果回忆起第五章中求曲边梯形面积的问题．就不难想到，那里所采用的解决方法，原则上可以用来解决目前的问题．

首先，用一组曲线网把D分成n个小闭区域

1,2,,n,

分别以这些小闭区域的边界曲线为准线，作母线平行于z轴的柱面，这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体．当这些小闭区域的直径（一个闭区域的直径是指区域上任意两点间距离的最大值）很小时，由于f(x,y)连续，对同一个小闭区域来说，f(x,y)变化很小，这时细曲顶柱体可近似地看作平顶柱体．我们在每个i（这小闭区域的面积也记作i）中任取一点(i,i)，以f(i,i)为高而底为i的平顶柱体（图82）的体积为

f(i,i)i(i1,2,,n).

这n个平顶柱体体积之和

f(,)iii1ni

可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值．令n个小闭区域的

直径中的最大值（记作）趋于零，取上述和的极限，所得的极限便自然地定义为所讨论曲顶柱体的体积V，即

Vlimf(i,i)i.

0i1n2. 平面薄片的质量

设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D，它在点(x,y)处的面密度为(x,y)，这里(x,y)0且在D上连续．现在要计算该薄片的质量M.

我们知道，如果薄片是均匀的，即面密度是常数，则薄片的质量可以用公式

质量=面密度×面积

来计算．现在面密度(x,y)是变量，薄片的质量就不能直

接用上式来计算．但是前面用来处理曲顶柱体体积问题的

方法完全适用于本问题．

由于(x,y)连续，把薄片分成许多小块后，只要小块

所占的小闭区域i的直径很小，这些小块就可以近似地

看作均匀薄片．在i上任取一点(i,i)，则

可看作第i个小块的质量的近似值（图83）．通过求和、取极O限得出M=lim(i,i)i.

0i1ny(i,i)i(i,i)i(i1,2,,n)

图8-3

x上面两个问题的实际意义虽然不同，但所求量都归结为同一形式的和的极限．在物理、力学、几何和工程技术中，有许多物理量或几何量都可归结为这一形式的和的极限．因此，我们有必要研究这种和的极限的一般形式，抽象出下述二重积分的定义．

设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数．将闭区域D任意分成n个小闭区域

1,2,f(i,i)i(i1,2,n,n,

其中i表示第i个小闭区域，也表示它的面积．在每个i上任取一点(i,i)，作乘积

并 作 和

f(i,i)i． 如果当每个小闭区域的直径中的最大值趋,n)，i1于零时，这和的极限总存在， 则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记作f(x,y)d，即

D

f(x,y)dlimf(i,i)i. (1)

Dn0i1其中f(x,y)叫做被积函数，f(x,y)d叫做被积表达式，d叫做面积元素，x与y叫做积分变量，D叫做积分区域，f(i,i)i叫做积分和．

i1n 在二重积分的定义中对闭区域D的划分是任意的，如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D，那么除了包含边界点的一些小闭区域外（求和的极限时，这些小闭区域所对应的项的和的极限为零，因此这些小闭区域可以略去不计），其余的小闭区域都是矩形闭区域．设矩形闭区域i的边长为xj和yk，则ixjyk，因此在直角坐标系中，有时也把面积元素d记作dxdy，而把二重积分记作

f(x,y)dxdy,

D其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素．

这里我们要指出，当f(x,y)在闭区域D上连续时，（1）式右端的和的极限必定存在，也就是说，函数f(x,y)在D上的二重积分必定存在．如无特别说明，本章总是假定函数f(x,y)在闭区域D上连续，所以f(x,y)在D上的二重积分都是存在的．

由二重积分的定义可知，曲顶柱体的体积是函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分

Vf(x,y)d,

D平面薄片的质量是它的面密度(x,y)在薄片所占闭区域D上的二重积分

M(x,y)d.

D一般地，如果f(x,y)0，被积函数f(x,y)可解释为曲顶柱体的顶在点(x,y)处的竖坐标，所以二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积．如果f(x,y)是负的，曲顶柱体就在xOy面的下方，二重积分的绝对值仍等于曲顶柱体的体积，但二重积分的值是负的．如果f(x,y)在D的若干部分区域上是正的，而在其他的部分区域上是负的，那么，f(x,y)在D上的二重积分就等于xOy面上的曲顶柱体体积减去xOy面下方的曲顶柱体体积所得之差．

二、二重积分的性质

比较定积分与二重积分的定义可以想到，二重积分与定积分有类似的性质，现叙述如下：

性质1 设、为常数，则

[f(x,y)g(x,y)]df(x,y)dg(x,y)d.

DDD性质2 如果闭区域D被有限条分段光滑曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在各个部分闭区域上的二重积分的和．

例如分D为两个闭区域D1与D2， 则

f(x,y)df(x,y)df(x,y)d.

DD1D2该性质表示二重积分对于积分区域具有可加性．

性质3 如果在D上，f(x,y)1，为D的面积，则

1dd.

DD该性质表明被积函数为1的二重积分在数值上就等于积分区域D的面积．

性质4 如果在D上，f(x,y)(x,y)，则有

f(x,y)d(x,y)d.

DD特殊地，由于

f(x,y)f(x,y)f(x,y),

又有

f(x,y)dDDf(x,y)d.

性质5 设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，是D的面积，则有

mf(x,y)dM.

D上述不等式是对于二重积分估值的不等式．因为mf(x,y)M，所以由性质4有

mdf(x,y)dMd,

DDD再应用性质1和性质3，便得此估值不等式．

性质6 （二重积分的中值定理） 设函数f(x,y)在闭区域D上连续，是D的面积，则在D上至少存在一点(,)，使得f(x,y)df(,).

D证 显然0．把性质5中不等式除以，得

1mf(x,y)dM.

Df(x,y)d介于函数f(x,y)的最大值M与最小值m之间．根据闭D区域上连续函数的介值定理，在D上至少存在一点(,)使得函数在该点的值与这个确定的数值相等，即

这就是说，确定的数值11所以f(x,y)df(,).

Df(x,y)df(,).

D2●●例1 设D是圆环域：1x2y24，证明3πeexDy2d3πe4.

证 在D上，f(x,y)ex2y2的最小值me，最大值Me4．而D的面积S(D)

24ππ3π．由性质５得3πeexDy2d3πe4.

习 题 8-1

1．设有一个面薄板（不计其厚度），占有xOy面上的闭区域D，薄板上分布有面密度为(x,y)的电荷，且(x,y)在D上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q．

2. 设I1(x2y2)3d其中D1{(x,y)1x1,2y2}；又I2(x2y2)3d其D1D2中D2{(x,y)0x1,0y2}．试利用二重积分的几何意义说明I1与I2之间的关系．

3. 利用二重积分定义证明：

（1）

d(其中为D的面积)；

D（2）

（3）

kf(x,y)dkf(x,y)dDD(其中k为常数)；

1f(x,y)df(x,y)df(x,y)d,其中DDDD1D2D2，D1，D2为两个无公共内点的闭区域.

4. 根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：

（1）

(xy)2d与(xy)3d，其中积分区域D是由x轴、y轴与直线xy1所DD围成；

（2）

成；

（3）

ln(xy)d与[ln(xy)]2d，其中D是三角形闭区域，三个顶点分别为(1,0),

DD(xy)D2d与(xy)3d，其中积分区域D是由圆周(x2)2(y1)22所围D(1,1),(2,0)；

（4）

ln(xy)d与[ln(xy)]2d，其中D{(x,y)3x5,0y1}.

DD5. 利用二重积分的性质估计下列积分的值：

(1)

Ixy(xy)d其中D{(x,y)0x1,0y1}；

D(2)

Isin2xsin2yd其中D{(x,y)0xπ,0yπ}；

D(3)

I(xy1)d其中D{(x,y)0x1,0y2}；

D(4)

I(x24y29)d其中D{(x,y)x2y24}.

D第二节 二重积分的计算方法

按照二重积分的定义来计算二重积分，对少数特别简单的被积函数和积分区域来说是可行的，但对一般的函数和区域来说，这种方法不是最优方法，有时甚至行不通．为此，本节介绍一种将二重积分化为二次积分（即二次定积分）的计算方法．

一、利用直角坐标计算二重积分

下面用几何观点来讨论二重积分f(x,y)dxdy的计算问题．在讨论中假定f(x,y)0．

D 设积分区域D可以用不等式

1(x)y2(x),axb

来表示（图84），其中1(x)，2(x)函数在区间[a,b]上连续．

按照二重积分的几何意义，f(x,y)dxdy的值等于以D为底，以曲面zf(x,y)为顶的D曲顶柱体（图85）的体积．下面我们应用第五章中计算“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法，来计算这个曲顶柱体的体积．

先计算截面面积．为此，在区间[a,b]上任意取定一点x0，作平行于yOz面的平面xx0．这平面截曲顶柱体所得的截面是一个以区间[1(x0),2(x0)]为底、曲线zf(x0,y)为曲边的曲边梯形（图8-5中阴影部分），所以这截面的面积为

A(x0)2(x0)1(x0)f(x0,y)dy.

一般地，过区间[a,b]上任一点x且平行于yOz面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为

A(x)2(x)1(x)f(x,y)dy.

再计算曲顶柱体的体积．应用计算平行截面面积为已知的立体体积的方法，得曲顶柱体体积为

VA(x)dx[aabb2(x)1(x)f(x,y)dy]dx.

b这个体积也就是所求二重积分的值，从而有等式

Df(x,y)dxdy[a2(x)1(x)f(x,y)dy]dx. （1）

上式右端的积分叫做先对y、后对x的二次积分，就是说，先把x看作常数，把f(x,y)只看作y的函数，并对y计算从1(x)到2(x)的定积分；然后把算得的结果(是x的函数)再对x计算在区间[a,b]上的定积分，这个先对y、后对x的二次积分也常记作

因此，等式(1)也写成

badxb2(x)1(x)f(x,y)dy.

Df(x,y)dxdydxa2(x)1(x)f(x,y)dy, （1）

这就是把二重积分化为先对y、后对x的二次积分的公式.

在上述讨论中，我们假定f(x,y)0，但实际上公式(1)的成立并不受此条件限制.

类似地，如果积分区域D可以用不等式

1(y)x2(y),cyd

来表示(图86)，其中函数1(y)，2(y)在区间[c,d]上连续，则有

Df(x,y)d[cd2(y)1(y)f(x,y)dx]dy. （2）

上式右端的积分叫做先对x、后对y的二次积分，这个积分也常记作

因此，等式(2)也可写成

dcdy2(y)1(y)f(x,y)dx,

Df(x,y)ddycd2(y)1(y)

f(x,y)dx, （2）这就是把二重积分化为先对x、后对y的二次积分的公式.

以后我们称图84所示的积分区域为X-型区域，图86所示的积分区域为Y-型区域，应用公式(1)时，积分区域必须是X-型区域，

X-型区域D的特点是:穿过D内部且平行于y轴的直线与D的边界相交不多于两点；而用公式（2）时，积分区域必须是Y-型区域，Y-型区域D的特点是：穿过D内部且平行于x轴的直线与D的边界相交不多于两点．如果积分区域D如图87那样，既有一部分，使穿过D内部且平行于y轴的直线与D的边界相交多于两点；又有一部分，使穿过D内部且平行于x轴的直线与D的边界相交多于两点，即D既不是X-型区域，又不是Y-型区域．对于这种情形，我们可以把D分成几部分，使每个部分是X-型区域或是Y-型区域．例如，在图87中，把D分成三个部分，它们都是X-型区域，从而在这三部分上的二重积分都可应用公式（1）．各部分上的二重积分求得后，根据二

重积分的性质2，它们的和就是在D上的二重积分．

yIIIIydDIIcxO图8-7Oab图8-8x

如果积分区域D既是X-型的，又是Y-型的，既可用不等式1(x)≤y≤2(x)，a≤x≤b表示，又可用不等式1(y)≤x≤2(y)，c≤y≤d表示(图88)，则由公式（1）及（2）就得

badx2(x)1(x)f(x,y)dydycd2(y)1(y)f(x,y)dx. （3）

上式表明，这两个不同次序的二次积分相等，因为它们都等于同一个二重积分f(x,y)d.

D●●例1 计算积分Dydxdy，其中D是正方形区域:

1≤x≤2,0≤y≤1.

2x 解

21yy1211dxdydxdydx.

210x21x2x24D

●●例2 计算y1x2y2d，其中D是由直线yx，x1和y1所围成的闭区域．

D 解 画出积分区域D（图8-9），若把D看成X型，则利用公式（1）得

2222y1xyddxy1xydyD1x3112221[(1xy)]xdx31

11(|x|31)dx31211(x31)dx.302若把D看成Y型（图810），则利用公式（２）得

1122y1xydydyD11y11x2y2dx,

其中关于x的积分计算比较麻烦，所以这里用公式（1）计算较为方便．

●●例3 计算xyd，其中D是由抛物线y2xD及直线yx2所围成的闭区域．

解 画出积分区域D（如图811），若把D看成Y型，则利用公式（２）得

xydD21dyy2y2x2xydx122ydyy2y212[y(y2)2y5]dy212

1y443y6452y2y.243618若把D看成X型利用公式（1），则由于在区间[0,1]及[1,4]上表示1(x)的式子不同，所以要用经过交点(1,1)且平行于y轴的直线x1把区域D分成D1和D2两部分（图812），其中

D1{(x,y)|xyx,0x1},D2{(x,y)|x2yx,1x4}.

因此，根据二重积分的性质2，就有

xydxydxydDD1D2

4x1x2dx01xxxydydxxydy. 由此可见，这里用公式（1）来计算比较麻烦．

11sinx●●例4 求dydx.

0yxsinxsinx解 由不定积分可知，因为的原函数不能用初等函数表示，因dx的被积函数xx此依题中所给积分次序不能计算出二重积分．对此类问题考虑采用交换积分次序的方法来解决，计算如下：

11sinx1xsinx1sinxx1sinxdydxdxdydxdy0yx00x0x00xxdx1cos1.

交换积分次序方法的一般步骤为：

（1）先依给定的二次积分限，写出积分区域D的范围，并依此作出D的图形；

（2）再依区域D的图形确定出另一种积分次序的积分限．

上述几个例子说明，在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序．这时，既要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数f(x,y)的特性.

●●例5 求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积.

解 设这两个圆柱面的方程分别为x2y2R2及x2z2R2.利用立体关于坐标平面的对称性，只需算出它在第一卦限部分(图813(a))的体积V1，然后再乘以8就行了.

所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为

D(x,y)|0yR2x2,0xR,

如图8-13(b)所示，它的顶是柱面zR2x2.于是

V1RxdRxddxDD02222RR2x20R2x2dy[yR2x2]0R0R2x2dxR02(R2-x2)dxR3.3

从而所求立体的体积为V8V1163R.

3

二、利用极坐标计算二重积分

有些二重积分，积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，且被积函数用极坐标变量，表达比较简单．这时，我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分f(x,y)d．

D 按二重积分的定义

f(,),

f(x,y)dlimD0iiii1n下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式．

假定从极点O出发且穿过闭区域D内部的射线与D的边界曲线相交不多于两点．我们用以极点为中心的一族同心圆：常数，以及从

极点出发的一族射线：常数，把D分成n个

小闭区域（图814）．除了包含边界点的一些

小闭区域外，其余小闭区域的面积i可计算如下：

11ii(ii)2ii2i221(2ii)ii2

(ii)iii图8-142iiiiiiii

iii,_其中i表示相邻两圆弧的半径的平均值，在这小闭区域内取圆周i上的一点(i,i)，该点的直角坐标设为(i,i)，则由直角坐标与极坐标之间的关系有iicosi ，iisini，于是

limf(i,i)ilimf(icosi,isini)iii,

0i1nn_____________0i1即

f(x,y)df(cos,sin)dd．

DD由于在直角坐标系中f(x,y)d也常记作f(x,y)dxdy，所以上式又可写成

DD （4）

这就是二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式，其中D是区域D径极坐标变换后在极坐标系下的区域，dd就是极坐标系中的面积元素．

DDf(x,y)dxdyf(cos,sin)dd.公式（4）表明，要把二重积分中的变量从直角坐标转换为极坐标，只要把被积函数中的x，y分别换成cos，sin，并把直角坐标系中的面积元素dxdy换成极坐标系中的面积元素dd．

极坐标系中的二重积分，同样可以化为二次积分来计算．

设积分区域D可以用不等式

1()2(),

来表示（图815），其中函数1()，2()在区间[,]上连续．

2()1()2()D1()O(a)O(b)图8-15

先在区间[,]上任意取定一个值，对应这个值，

D上的点(图816中这些点在线段EF上)的极径从1()变到2()．又是在[,]上任意取定的，所以的变化范围是区间[,]．这样就可以看出，极坐标系中的二重积分化为二次积分的公式为

Df(cos,sin)dd[2()1()

f(cos,sin)d]d. （5）上式也写成

Df(cos,sin)ddd2()1()

f(cos,sin)d. （5）DEFDO图8-161()2()O图8-17

如果积分区域D是图817所示的曲边扇形，那么可以把它看作图815(a)中当1()0，2()()时的特例．这时闭区域D可以用不等式

0(),

来表示，而公式（5）成为

f(cos,sin)ddD()

d()0f(cos,sin)d.DO图8-18如果积分区域D如图818所示，极点在D的内部，

则可以把它看作图817中当0，2π时的特例，

这时闭区域D可以用不等式

0≤≤(),0≤≤2π

来表示，而公式（5）成为

Df(cos,sin)ddd0D2π()0f(cos,sin)d.

●●例6 计算二重积分ln(1x2y2)dxdy，其中D是单位圆域：x2y21．

解 采用极坐标

ln(1xD2y2)dxdyln(12)dd,

D原点在D内部，故02π，而01．故

22ln(1)dddln(1)dD002π1π[(12)ln(12)]102d

01π(2ln21).●●例7 计算exD2y2dxdy，其中D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域．

解 在极坐标系中，闭区域D可表示为

0a,02π.

由公式（4）及（5）有

xeD2y2dxdyedddedD0022πa211ed(1ea)dπ(1ea).002202π22a

2π2本题如果用直角坐标计算，由于积分exdx不能用初等函数表示，所以算不出来．现在我们利用上面的结果来计算工程上常用的广义积分exdx．

022设

D1{(x,y)|x2y2R2,x0,y0},D2{(x,y)|x2y22R2,x0,y0},

S{(x,y)|0xR,0yR}.显然D1SD2（图819），由于ex式

xeD122y20，从而在这些闭区域上的二重积分之间有不等y2dxdyexSR2y2dxdyexD2R2y2dxdy. （６）

因为

xeS2y2dxdyexdxeydy(exdx)2,

0002π(1eR),

42π(1e2R),

4R222由例７知

xeD12y2dxdyxeD22y2dxdy于是不等式（６）可写成

R222ππ(1eR)(exdx)2(1e2R).

044

令R，上面两端趋于同一极限π，从而

4π.

02●●例8 求球体x2y2z24a2被圆柱面x2y22ax(a0)所截得的（含在圆柱面内exdx2的部分）立体的体积（图820）．

zy2acosODDy2axOa2ax(a)(b)

解 由对称性，

图8-20

V44a2x2y2dxdy,

D其中D为半圆周y2axx2及x轴所围成的闭区域，在极坐标系中，闭区域D可用不等式

π02acos,0

2来表示．于是

V44add4dD22π202acos04a22d32a3π320

(1sin3)d323π2a().323 习 题 8-2

1. 计算下列二重积分：

(1)

(x2y2)d，其中D{(x,y)||x| 1,|y| 1}；

D(2)

(3)

(3x2y)d，其中D是由两坐标轴及直线xy2所围成的闭区域；

D(xDD33x2yy3)d，其中D{(x,y)|0x1,0y1}；

（4）

xcos(xy)d其中D是顶点分别为(0,0)，(π,0)和(π,π)的三角形闭区域．

2. 画出积分区域，并计算下列二重积分：

(1)

xDyd，其中D是由两条抛物线yx，yx2所围成的闭区域；

(2)

(3)

(4)

xyd，其中D是由圆周xD22y24及y轴所围成的右半闭区域；

eDDxyd，其中D{(x,y)||x||y| 1}；

(x2y2x)d，其中D是由直线y2，yx及y2x所围成的闭区域．

3. 化二重积分If(x,y)d为二次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两

D个二次积分），其中积分区域D是：

(1) 由直线yx及抛物线y24x所围成的闭区域；

(2) 由x轴及半圆周x2y2r2(y0)所围成的闭区域；

1(3) 由直线yx，x2及双曲线y(x0)所围成的闭区域；

x22(4) 环形闭区域{(x,y)|1xy4}．

4. 改换下列二次积分的积分次序：

（1）

dyf(x,y)dx ；

001y

(2)

(4)

202dydx2yy2f(x,y)dx ；

f(x,y)dy ； （3）

（5）

dy011y21y2lnxf(x,y)dx ；

2xx212xe1dx0f(x,y)dy ； (6)

π0dxsinxx2sinf(x,y)dy ．

5. 计算由四个平面x0，y0，x1，y1所围成柱体被平面z0及2x3yz6截得的立体的体积．

6. 求由曲面zx22y2及z62x2y2所围成的立体的体积．

7. 画出积分区域，把积分f(x,y)d表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域DD是：

(1)

{(x,y)|x2y2a2}(a0)； (2)

{(x,y)|x2y22x}；

(3)

{(x,y)|a2x2y2b2}，其中0ab； (4)

{(x,y)|0≤y≤1x,0≤x≤1}．

8. 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：

(1)

dxf(x,y)dy ； (2)

0011201dx3xxf(x,y)dy ；

(3)dx02a11x21xf(x,y)dy ； (4)

dx0x20f(x,y)dy ．

9. 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：

(1)

dx01x0x2axx202(x2y2)dy ； (2)

122a0adxx0x2y2dy ；

a2y2(3)

dx2(xy)dy ； (4)

0dy0(x2y2)dx ．

10. 利用极坐标计算下列各题：

22(1)

exyd，其中D是由圆周x2y24所围成的闭区域；

Dy(2)

arctand，其中D是由圆周x2y24，x2y21及直线y0，yx所围成xD

的在第一象限内的闭区域.

11. 选用适当的坐标计算下列各题：

x2(1)

2d，其中D是由直线x2，yx及曲线xy1所围成的闭区域；

Dy(2)

D1x2y2d，其中D是由圆周x2y21及坐标轴所围成的在第一象限内的闭221xy区域；

(3)

(x2y2)d，其中D是由直线yx，yxa，Dya，y3a(a0)所围成的闭区域；

(4)

x2y2d，其中D是圆环形闭区域

D{(x,y)|a2≤x2y2≤b2}．

12. 求由平面y0，ykx(k0)，z0以及球心在原点、半径为R的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积（图821）．

第三节 三重积分

一、三重积分的概念

定积分及二重积分作为和的极限的概念，可以很自然地推广到三重积分.

设f(x,y,z)是空间有界闭区域上的有界函数．将任意分成n个小闭区域，其

v1,v2,f(i,i,i)vi(i1,2,n,vn,

中vi表示第i个小闭区域，也表示它的体积，在每个vi上任取一点(i,i,i)，作乘积并作和f(i,i,i)vi．如果当各小闭区域直径中的最大值趋,n)，i1于零时，这个和的极限总存在，则称此极限为函数f(x,y,z)在闭区域上的三重积分，记作f(x,y,z)dv，即



f(x,y,z)dvlimf(i,i,i)vi, （1）

n0i1其中dv叫做体积元素.

在直角坐标系中，如果用平行于坐标面的平面来划分，那么除了包含的边界点的一些不规则小闭区域外，得到的小闭区域vi为长方体．设长方体小闭区域vi的长、宽、高为xi，yi，zi，则vixiyizi，因此在直角坐标系中，有时也把体积元素dv记作dxdydz，此时也把三重积分记作

f(x,y,z)dxdydz,

其中dxdydz叫做直角坐标系中的体积元素.

当函数f(x,y,z)在闭区域上连续时，（1）式右端的极限必定存在，也就是函数f(x,y,z)

在闭区域上的三重积分必定存在．以后我们总假定函数f(x,y,z)在闭区域上是连续的．关于二重积分的一些术语，例如被积函数、积分区域等，也可相应地用到三重积分上．三重积分的性质也与本章第一节中所叙述的二重积分的性质类似，这里不再重复了.

如果用f(x,y,z)表示某物体在点(x,y,z)处的密度，是该物体所占有的空间闭区域，

若f(x,y,z)在上连续，则f(i,i,i)vi是该物体的质量M的近似值，当0时，这i1n个和的极限就是该物体的质量M，所以

Mf(x,y,z)dv.

如果f(x,y,z)1时，用V表示空间闭区域的体积，则V1dvdv.

二、三重积分的计算

计算三重积分的基本方法是将三重积分化为三次积分来计算.下面在不同的坐标系下分别讨论将三重积分化为三次积分的方法，且只限于叙述方法.

1.在直角坐标系中计算三重积分

假设平行于z轴且穿过闭区域内部的直线与闭区域的边界曲面相交不多于两点．把闭区域投影到xOy面上，得一平面闭区域Dxy (图8-22)．以Dxy的边界为准线作母线平行于z轴的柱面．这柱面与曲面S的交线从S中分出的上、下部分，它们的方程分别为

S1:zz1(x,y),

S2:zz2(x,y),

其中z1(x,y)与z2(x,y)都是Dxy上的连续函数，且z1(x,y)z2(x,y)．过Dxy内任一点(x,y)作平行于z轴的直线，这直线通过曲面S1穿入内，然后通过曲面S2穿出外，穿入点与穿出点的竖坐标分别为z1(x,y)与z2(x,y)．

在这种情形下，积分区域可表示为

(x,y,z)|z1(x,y)zz2(x,y),(x,y)Dxy.

先将x，y看作定值，将f(x,y,z)只看作z的函数，在区间[z1(x,y),z2(x,y)]上对z积分．积分的结果是x，y的函数，记为F(x,y)，即

F(x,y)z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz.

然后计算F(x,y)在闭区域Dxy上的二重积分

DxyF(x,y)d[Dxyz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]d.

假如闭区域

Dxy(x,y)|y1(x)yy2(x),axb,

把这个二重积分化为二次积分，于是得到三重积分的计算公式:

f(x,y,z)dvdxaby2(x)y1(x)dyz2(x,y)z1(x,y)

f(x,y,z)dz. （2）公式⑵把三重积分化为先对z、次对y、最后对x的三次积分.

如果平行于x轴或y轴且穿过闭区域内部的直线与的边界曲面S相交不多于两点，也可把闭区域投影到yOz面上或xOz面上，这样便可把三重积分化为按其他顺序的三次积分．如果平行于坐标轴且穿过闭区域内部的直线与边界曲面S的交点多于两个，也可像处理二重积分那样，把分成若干部分，使上的三重积分化为各部分闭区域上的三重积分的和．

●●例1 计算三重积分xdxdydz，其中为三个坐标面及平面x2yz1所围成的闭区域．

解 作闭区域如图823所示.

将投影到xOy面上，得投影区域Dxy为三角形闭区域OAB．直线OA，OB及AB的方程依次为y0，x0及x2y1，所以

1x,0x1}.

2在Dxy内任取一点(x,y)，过此点作平行于z轴的直线，该直线通过平面z0穿入内，Dxy{(x,y)|0y然后通过平面z1x2y穿出外．

于是，由公式⑵得

11x201x201x2yxdxdydzdx010dy0xdzdxx(1x2y)dy

11123(x2xx)dx.4048有时，我们也可以把一个三重积分化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分，即有下述计算公式．

设空间闭区域

{(x,y,z)|(x,y)Dz,c1zc2},其中Dz是竖标为z的平面截闭区域所得到的一个平面闭区域(图824)，则



f(x,y,z)dvdzf(x,y,z)dxdy. （3）c1Dz2c2x2y2z2●●例2 计算三重积分zdxdydz，其中是由椭球面2221所围成的空间闭abc区域.

解 空间闭区域可表为

x2y2z2{(x,y,z)|2212,czc},

abc如图825所示．由公式（3）得

z224zdxdydzzdzdxdyπab(1)zdzπabc3.

2ccc15Dz2c2c2.在柱面坐标系中计算三重积分

设M(x,y,z)为空间内一点，并设点M在xOy面上的投影P的这样的数组,,z就叫做点M的柱面

坐标(图826)，这里规定,,z的变化范围为:

zz极坐标为(,)，则0≤,0≤≤2π,三组坐标面分别为

常数，即以z轴为轴的圆柱面；

常数，即过z轴的半平面；

z常数，即与xOy面平行的平面.

z.

M(x,y,z)O 显然，点M的直角坐标与柱面坐标的关系为

xcos,

ysin, （4）

zz.现在要把三重积分f(x,y,z)dv中的积分变量变换为柱

xP()y图8-26z

dd面坐标．为此，用三组坐标面常数，常数，z常数，

把分成许多小闭区域，除了含的边界点的一些不规则小

闭区域外，这种小闭区域都是柱体．今考虑由,,z各取得微

小增量d,d,dz所成的柱体的体积(图827)．这个体积等于

高与底面积的乘积．现在高为dz、底面积在不计高阶无穷小

时为dd (即极坐标系中的面积元素)，于是得

dvdddz,

dzOxyd图8-27这就是柱面坐标系中的体积元素．再注意到关系式⑷，并设经变换后，变为，得



f(x,y,z)dxdydzF(,,z)dddz, （5）



其中F(,,z)f(cos,sin,z)．（５）式就是把三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式．至于积分变量变换为柱面坐标后的三重积分的计算，则可化为三次积分来进行．化为三次积分时，积分限是根据,,z在积分区域中的变化范围来确定的，下面通过例子来说明．

●●例3 利用柱面坐标计算三重积分zdxdydz，其中是由曲面zx2y2与平面z4所围成的闭区域.

解 把闭区域投影到xOy面上，得半径为2的圆形闭区域

Dxy{(,)|02,02π}.

在Dxy内任取一点(,)，过该点作平行于z轴的直线，此直线通过曲面zx2y2穿入内，然后通过平面z4穿出外．因此闭区域可用不等式

2z4,02,02π

来表示．于是

zdxdydzzdddzdd2zdz002π2411642164d(16)d2π8π.02026302π22

3.在球面坐标系中计算三重积分

设M(x,y,z)为空间内一点，则点M也可用这样三个有

次序的数r,,来确定，其中r为原点O与点M间的距离，

zrM为有向线段OM与z轴正向所夹的角，

为从正z轴来看

自x轴按逆时针方向转到有向线段OP的角，这里P为点M

在xOy面上的投影(图828).这样的三个数r,,叫做点

OzM的球面坐标，这里r,,的变化范围为

0≤r,0≤≤π,0≤≤2π,

三组坐标面分别为

xAyPy

r常数，即以原点为球心的球面；

x

常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面；

图8-28

常数，即过z轴的半平面.

设点M在xOy面上的投影为P，点P在x轴上的投影为A，则OAx，APy，

PMz.又OPrsin,zrcos.

因此，点M的直角坐标与球面坐标的关系为

xOPcosrsincos,

yOPsinrsinsin,

zrcos.z为了把三重积分中的变量从直角坐标变换为球面坐

标，用三组坐标面r常数，常数，常数，把积分

区域分成许多小闭区域.考虑由r,,各取得微小增量

dr,d,d所成的六面体的体积(图829).不计高阶无穷

（6）

rsinddrsinrdrrdd小，可把这个六面体看作长方体，其经线方向的长为rd

，纬线方向的宽为rsind，向径方向的高为dr，于是得

dvr2sindrdd,

O这就是球面坐标系中的体积元素.再注意到关系式（6），

并把区域在球坐标系下的区域记为，就有

xydf(x,y,z)dxdydzF(r,,)r2sindrdd, （7）

其中F(r,,)f(rsincos,rsinsin,rcos).⑺式就

是把三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式.

要计算积分变量变换为球面坐标后的三重积分，可把它化及对的三次积分.

若积分区域的边界曲面是一个包围原点在内的闭曲面，标方程为rr(,)，则

z图8-29

为对r、对其球面坐2aOxrMy图8-30

IF(r,,)r2sindrdddd002ππ2ππr(,)

0F(r,,)r2sindr.特别地，当积分区域为球面ra所围成时，则

IddF(r,,)r2sindr.

000a更特别地，当F(r,,)1时，由上式即得球的体积

a343Vdsindrdr2π2πa.

00033●●例4 求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体(图8-30)的体积.

2ππa2 解 设球面通过原点O，球心在z轴上，又内接锥面的顶点在原点O，其轴与z轴重合，则球面方程为r2acos，锥面方程为.因为立体所占有的空间闭区域可用不等式

0r2acos,0,02π

来表示，所以

Vr2sindrdddd002π2acos0r2sindr2πsind02acos016πa3rdr320cos3sind

4πa3(1cos4).3 习 题 8-3

1. 化三重积分If(x,y,z)dxdydz为三次积分，其中积分区域分别是:

(1) 由双曲线抛物面xyz及平面xy10，z0所围成的闭区域；

(2) 由曲面zx2y2及平面z1所围成的闭区域；

(3) 由曲面zx22y2及z2x2所围成的闭区域；

x2y2(4) 由曲面czxy(c0)，221，z0所围成的在第一卦限内的闭区域.

ab2. 计算xy2z3dxdydz，其中是由曲面zxy，与平面yx，x1和z0所围成的闭区域.

3. 计算dxdydz，其中为平面x0，y0，z0，xyz1所围成的(1xyz)3四面体.

4. 计算xyzdxdydz，其中为球面x2y2z21及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域.

5.计算xzdxdydz，其中是由平面z0，zy，y1以及抛物柱面yx2所围成的

闭区域.

6. 计算zdxdydz，其中是由锥面zh2xy2与平面zh(R0,h0)所围成的R闭区域.

7. 利用柱面计算下列三重积分:

(1)

zdv，其中是由曲面z2x2y2及zx2y2所围成的闭区域；

(2)

(x2y2)dv，其中是由曲面x2y22z及平面z2所围成的闭区域.

8. 利用球面坐标计算下列三重积分:

(1)

(x2y2z2)dv，其中是由球面x2y2z21所围成的闭区域;

(2)

zdv，其中闭区域由不等式x2y2(za)2a2，x2y2z2所确定.

9. 选用适当的坐标计算下列三重积分:

(1)

xydv，其中为柱面x2y21及平面z1，z0，x0，y0所围成的在第一卦限内的闭区域；

(2)

x2y2z2dv，其中是由球面x2y2z2z所围成的闭区域；

(3)

(x2y2)dv，其中是由曲面4z225(x2y2)及平面z5所围成的闭区域;

(4)(x2y2)dv，其中闭区域由不等式0ax2y2z2A，z0所确定.

第四节 重积分的应用

由前面的讨论可知，曲顶柱体的体积、平面薄片的质量可用二重积分计算，空间物体的质量可用三重积分计算.本节中我们将把定积分应用的元素法推广到重积分应用中，利用重积分的元素法来讨论重积分在几何、物理上的一些其它应用．

zMTSdA

一、曲面的面积

设曲面S由方程zf(x,y)给出，D为曲面S在xOy

面上的投影区域，函数f(x,y)在D上具有连续偏导数

fx(x,y)和fy(x,y).我们要计算曲面S的面积A.

xOPdy图8-31在闭区域D上任取一直径很小的闭区域d(这小闭区域的面积也记作d)．在d上取一点P(x,y)，对应地曲面S上有一点M(x,y,f(x,y))，点M在xOy面上的投影即点P.点M处曲面S的切平面设为T(图831).以小闭区域d的边界为

准线作母线平行于z轴的柱面，这柱面在曲面S上截下一小片曲面，在切平面T上截下一小片平面.由于d的直径很小，切平面T上的那一小片平面的面积dA可以近似代替相应的那小片曲面的面积.设点M处曲面S上的法线(指向朝上)与z轴所成的角为，则

dAd.

cos1,

因为

cos1f(x,y)f(x,y)2x2y所以

dA1fx2(x,y)fy2(x,y)d.

这就是曲面S的面积元素，以它为被积表达式在闭区域D上积分，得

A1fx2(x,y)fy2(x,y)d.

D上式也可写成

ADzz1dxdy.

xy22这就是计算曲面面积的公式.

设曲面的方程为xg(y,z)或yh(z,x).可分别把曲面投影到yOz面上(投影区域记

作Dyz)或zOx面上(投影区域记作Dzx)，类似地可得

ADyzxxyy1dydz 或

A1dzdx.

zxyzDzx2222●●例1 求半径为a的球的表面积.

解 上半球面的方程为za2x2y2，则它在xOy面上的投影区域

zx,222xaxy由D{(x,y)|x2y2a2}.

zy,得

222yaxyazz1.

222xyaxy22因为这函数在闭区域D上无界，我们不能直接应用曲面面积公式.所以先取区域

D1{(x,y)|x2y2≤b2}(0ba)

为积分区域，算出相应于D1上的球面面积A1后，令ba取A1的极限就得半球面的面积.

aA1dxdy,

222axyD1利用极坐标，得

A1D1aa22ddad02πbda2202πabda2202πa(aa2b2).

于是

limA1lim2πa(aa2b2)2πa2.

baba这就是半个球面的面积，因此整个球面的面积为A4πa2.

二、质心

先讨论平面薄片的质心.

设在xOy平面上有n个质点，它们分别位于点(x1,y1)，(x2,y2)，量分别为m1，m2，，mn.由力学知道，该质点系的质心的坐标为

，(xn,yn)处，质

xMyMmxi1nnii,mi1Mxyi1nMnmiyi,

iimi1其中Mmi为该质点系的总质量，

i1nMymixi,Mxmiyi,

i1i1nn分别为该质系对y轴和x轴的静矩.

设有一平面薄片，占有xOy面上的闭区域D，在点(x,y)处的面密度为(x,y)，假定(x,y)在D上连续.现在要找该薄片的质心的坐标.

在闭区域D上任取一直径很小的闭区域d(这小闭区域的面积也记作d)，(x,y)是这小闭区域上的一个点．由于d的直径很小，且(x,y)在D上连续，所以薄片中相应于d的部分的质量近似等于(x,y)d，这部分质量可近似看作集中在点(x,y)上，于是可写出静矩元素dMy及dMx：dMyx(x,y)d,dMxy(x,y)d.

以这些元素为被积表达式，在闭区域D上积分，便得

Myx(x,y)d,Mxy(x,y)d.

DD又由第一节知道，薄片的质量为

M(x,y)d.

D所以，薄片的质心的坐标为

xMyMx(x,y)dD(x,y)dD,MyxMy(x,y)dD(x,y)dD.

如果薄片是均匀的，即面密度为常量，则上式中可把提到积分记号外面并从分子、分母中约去，这样便得到均匀薄片的质心的坐标为

11

xxd,yyd, （１）

ADAD其中Ad为闭区域D的面积.这时薄片的质心完全由闭区域D的形状所决定.我们把均D匀平面薄片的质心叫做这平面薄片所占的平面图形的形心.因此，平面图形D的形心的坐标，就可用公式⑴计算.

●●例2 求位于两圆2sin和4sin之间的均匀薄片的质心(图832).

解 因为闭区域D对称于y轴，所以质心C(x,y)必位于y

轴上，于是x0.再按公式

y1yd

AD计算y.由于闭区域D位于半径为1与半径为2的两圆之间，所以它的面积等于这两个圆的面积之差，即A3π.再利用极坐标计算积分:

56π4sind7π.307π77因此y, 所求质心是C0,.

3π33 类似地，占有空间有界闭区域、在点(x,y,z)处的密度为(x,y,z)（假定(x,y,z)在2ydsinddsindDD0π4sin2sin2d上连续）的物体的质心坐标是

x(x,y,z)dvx,yM 其中M(x,y,z)dv.

y(x,y,z)dvM,zz(x,y,z)dvM.

●●例3 求均匀半球体的质心.

解 取半球体的对称轴为z轴，原点取在球心上，又设球半径为a，则半球体所占空间闭区域

{(x,y,z)|x2y2z2a2,z0}.

显然，质心在z轴上，故xy0.

11zzdvzdv,

MV其中V23πa为半球体的体积.

33zdvrcosrsindrdddcossindrdr00π222ππ20a

44sinaπa2π.2440233因此za，质心为0,0,a.

88三、转动惯量

先讨论平面薄片的转动惯量.

设在xOy平面上有n个质点，它们分别位于点(x1,y1)，(x2,y2)，分别为m1，m2，Ixymi,Iyxi2mi.

2ii1i1nn，(xn,yn)处，质量，mn.由力学知道，该质点系对于x轴以及对于y轴的转动惯量依次为:

设有一薄片，占有xOy面上的闭区域D，在点(x,y)处的面密度为(x,y)，假定(x,y)

在D上连续.现在要求该薄片对于x轴的转动惯量Ix以及对于y轴的转动惯量Iy.

应用元素法.在闭区域D上任取一直径很小的闭区域d(这小闭区域的面积也记作d)，(x,y)是这小闭区域上的一个点.因为d的直径很小，且(x,y)在D上连续，所以薄片中相应于d部分的质量近似等于(x,y)d，这部分质量可近似看作集中在点(x,y)上，于是可写出薄片对于x轴以及对于y轴的转动惯量元素:

dIxy2(x,y)d,dIyx2(x,y)d.

以这些元素为被积表达式，在闭区域D上积分，便得

Ixy2(x,y)d,Iyx2(x,y)d.

DD●●例4 求半径为a的均匀半圆薄片(面密度为常量)对于其直径边的转动惯量.

解 取坐标系如图833所示，则薄片所占闭区域

D{(x,y)|x2y2a2,y0},

而所求转动惯量即半圆薄片对于x轴的转动惯量Ix.

Ixy2d3sin2ddd3sin2dDD00πaa44π0sin2d14π1a.Ma2.424

1其中Mπa2为半圆薄片的质量.

2类似地，占有空间有界闭区域、在点(x,y,z)处的密度为(x,y,z)（假定(x,y,z)在上连续）的物体对于x、y、z轴的转动惯量为

Ix(y2z2)(x,y,z)dv,

Iy(z2x2)(x,y,z)dv,

Iz(x2y2)(x,y,z)dv.

●●例5 求高为2h、半径为R的均匀正圆柱体对其中央横截面的一条直径的转动惯量．

解 取圆柱体的轴作为z轴，其中央横截面在xOy平面上，它的一条直径在x轴上．

Ix(y2z2)dv2π00Rhh(z22sin2)dzdd2π1142232232h2hsinddhRhRsind

003032R22π32π4222hRhRπhRh.23232πRm22R2因为圆柱的质量m2πRh，故Ixh.

2322四、引力

现在，我们来讨论空间一物体对于物体外一点P0(x0,y0,z0)处的单位质量的质点的引力问题.

设物体占有空间有界闭区域，它在点(x,y,z)处的密度为(x,y,z)，并假定(x,y,z)在上连续.在物体内任取一直径很小的闭区域dv(这闭区域的体积也记作dv)，(x,y,z)为这一小块中的一点.把这一小块物体的质量dv近似地看作集中在点(x,y,z)处.于是按两质点

间的引力公式，可得这一小块物体对位于P0(x0,y0,z0)处的单位质量的质点的引力近似地为

dF(dFx,dFy,dFz)

(x,y,z)(xx0)(x,y,z)(yy0)(x,y,z)(zz0)(Gdv,Gdv,Gdv),r3r3r3其中dFx，dFy，dFz为引力元素dF在三坐标轴上的分量，

r(xx0)2(yy0)2(zz0)2，

G为引力常数.将dFx，dFy，dFz在上分别积分，即得

F(Fx,Fy,Fz)(G(x,y,z)(xx0)r3dv,G(x,y,z)(yy0)r3dv,G(x,y,z)(zz0)r3dv).

如果我们考虑平面薄片对薄片外一点P0(x0,y0,z0)处的单位质量的质点的引力，设平面薄片占有平面xOy上的有界闭区域D，其面密度为(x,y)，那么只要将上式中的密度(x,y,z)换成面密度(x,y)，将上的三重积分换成D上的二重积分，就可得到相应的计算公式.

●●例6 设半径为R的匀质球占有空间闭区域{(x,y,z)|x2y2z2R2}.求它对位于M0(0,0,a)(aR)处的单位质量的质点的引力.

解 设球的密度为0，由球体的对称性及质量分布的均匀性知FxFy0，所求的引力沿z轴的分量为

FxG0za222xy(za)32dvG0(za)dzRRx2y2dxdy222xy(za)32

R2z2

G0(za)dzdR0R2πRz22d(za)22320

R112πG0(za)dzR22azR2aza1R2R3222πG02R(za)dR2aza2πG02R2R3

aR3a4πR31MG02G2,

3aa4R3其中M0为球的质量.上述结果表明:匀质球对球外一质点的引力如同球的质量集中3于球心时两质点间的引力.

习 题 8-4

1. 求球面x2y2z2a2含在圆柱面x2y2ax内部的那部分面积.

2. 求锥面zx2y2被柱面z22x所割下部分的曲面面积.

3. 求底圆半径相等的两个直交圆柱面x2y2R2及x2z2R2所围立体的表面积.

4. 设薄片所占的闭区域D如下，求均匀薄片的质心:

(1)

D由y2px,xx0,y0所围成；

x2y2(2)

D是半椭圆形闭区域(x,y)|221,y0；

ab(3)

D是介于两个圆racos,rbcos(0ab)之间的闭区域.

5. 设平面薄片所占的闭区域D由抛物线yx2及直线yx所围成，它在点(x,y)处的面密度(x,y)x2y，求该薄片的质心.

6. 设有一等腰直角三角形薄片，腰长为a，各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方，求这片薄片的质心.

7. 利用三重积分计算下列由曲面所围立体的质心(设密度1):

(1)

z2x2y2,z1；

(2)

zA2x2y2,za2x2y2(Aa0),z0；

(3)

zx2y2,xya,x0,y0,z0．

8. 设球体占有闭区域{(x,y,z)|x2y2z22Rz}，它在内部各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方，试求这球体的质心.

9. 设均匀薄片(面密度为常数1)所占闭区域D如下，求指定的转动惯量:

x2y2(1)

D(x,y)|221，求Iy；

ab9x与直线x2所围成，求Ix和Iy；

2(3)

D为矩形闭区域{(x,y)|0xa,0yb}，求Ix和Iy.

(2)

D由抛物线y210. 已知均匀矩形板(面密度为常量)的长和宽分别为b和h，计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量.

11. 一均匀物体(密度为常量)占有的闭区域由曲面zx2y2和平面z0,|x|a,|y|a所围成.

(1) 求物体的体积；(2) 求物体的质心；(3) 求物体关于z轴的转动惯量.

12. 求半径为a、高为h的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量(设密度1).

13. 设面密度为常量的匀质半圆环形薄片占有闭区域

D{(x,y,0)|R1x2y2R2,x0}，

求它对位于z轴上点M0(0,0,a)(a0)处单位质量的质点引力F.

14. 设均匀柱体密度为，占有闭区域{(x,y,z)|x2y2R2,0zh}，求它对于位于点M0(0,0,a)(ah)处的单位质量的质点的引力.

第五节 数学模型

●●例1 怎样计算水桶的最大容水量

某仪器上有一只圆柱形的无盖容器，容器高6cm，半径为1cm. 器壁上钻有两个小孔用于安装支架，使容器可以自由倾斜.两个水孔距桶底2cm，且两孔连线恰为直径，水可以从两个小孔向外流出.当容器以不同角度倾斜放置且没有水漏出时，这只容器最多可装多少水？

解 如图834建立直角坐标系．

设M(0,1,t)为圆柱母线CD上任意一点，

两孔位置分别为A(1,0,2)，B(1,0,2).设当容器倾斜时，水平面恰好通过A,B,M三点，此平面的方程为

x1y0z22000

11t2整理可得

z(t2)y2,由z0, 知y2.

t2容器容量为圆柱位于水平面下方的体积.设D{(x,y)x2y2≤1,y

V(t)[(t2)y2]dxdyD12t22}，则

t2dy1y21y2[(t2)y2]dx212t21[(t2)y2]1y2dyy1y2dy412t2

2t2t2(1y)1y2dy于是

1dv12212222y1y2dy2t1411

2222dtt2(t2)(t2)t2(t2)(t2)t23222222y1ydy(1y)3t21321324[1]223(t2)2t2

2[t(t4)]3(t2)2(2t6)dvdv0,当4t6时,0，可知在驻点t4处,V(t)取得极小值，dtdt因此最大值只能在t2或t6处取得，计算可知

334π1V(2)=πr2h2π,V(6)(4y2)dxdy，其中D1{(x,y)x2y2≤1,y

}

232D1由于当2t4时，334π.

23●●例2 小岛在涨潮与落潮之间的面积变化.

所以，容器的最大容水量Vmax设在海湾中，海潮的高潮与低潮之间的差是2m．一个小岛的陆地高度

x2y2z301（m）.

610并设水平面z0对应于低潮的位置．求高潮与低潮时小岛露出水面的曲面面积之比.

x2y2解 本题是求曲面面积问题．由题设，已知曲面的方程是z301．根据求曲610面面积的公式SDxy1zxzydxdy，关键是找出高潮与低潮时的Dxy．低潮时，22x2y2为x2y2≤106.

z0，所以0301．故Dxy(低）610x2y2在高潮时，z2，

2301为x2y2106，故Dxy(高）6101614110

1515因为1zxzy2236(x2y2)1，用极坐标计算低潮时面积

10101210331022102231036r36r1010236r104S低=2ππ110π5404857

110d110072101036310540同样可算得S低=2π103Dxy(低）2π10336(x2y2)36r21dxdyd110rdr

00101010S高d0141501036r236r210110rdrπ11054101032π50442313

54面积比S高S低=0.9333.

习 题 8-5

设容器壁上液体表面下深为h的位置P处有一个孔口，它的面积为q，那么根据托里斯利原理，液体在P处的水平流速v就用公式v2gh来表示，通过灌注液体的办法，可以使h保持不变，那么在孔口处流速为常数．于是单位时间内通过q流出的液体量（密度设为1）等于qv，其中v是孔口某点处P处的平均速度．今设孔口是垂直于底且是xOy面上的域（D）.如何求单位时间内通过孔口D的总流量Q？

第六节 数学实验

首先介绍用Matlab软件作二重积分的符号计算的方法.因为二重积分可以转化为二次积分运算，即

Dxyf(x,y)ddxaby2(x)y1(x)f(x,y)dy 或

f(x,y)ddyDxycdx2(y)x1(y)f(x,y)dx

所以，我们可以用Matlab中的积分命令int计算两个定积分的方法计算二次积分.具体步骤

参见实例.

同样地，三重积分可化为三次积分，所以我们可以将数值计算和符号计算二重积分的方法推广到三重积分的计算.

sin(xy)d，其中Dxy由曲线xy2，yx2所围成的平面区域. ●●例1 计算(xy)Dxy解 (1) 画出积分区域的草图，输入程序

>> syms x y;

>> f1=x-y^2;f2=x-y-2;

>> ezplot(f1),hold on; %保留已经画好的图形，如果下面再画图，两个图形合并在一起

>>ezplot(f2),hold off

>> axis([-0.5 5 -1.5 3])

运行结果如图8-35.

（1）确定积分限，输入程序

>> syms x y;

>>

y1=(\'x-y^2=0\');y2=(\'x-y-2=0\');

>> [x,y]=solve(y1,y2,x,y)

运行后得到两曲线xy2，yx2的交点如下

x = y = 图8-35

[1] [-1]

[4] [2]

（2）输入求积分的程序

>> syms x y

>> f=sin(x+y)/(x+y);x1=y^2;x2=y+2;jfx=int(f,x,x1,x2);

>> jfy=int(jfx,y,-1,2);I=vpa(jfy,5)

运行结果为

sin(xy)d1.9712. I =1.9712 ， 即(xy)Dxy●●例2 计算xyzdxdydz，其中为平面2x3yz2与三个坐标面所围成的空间区域.

解 相应的Matlab程序为

>> syms x y z

>> f=x*y*z;

>> z1=0;z2=(2-2*x-3*y);

>> y1=0;y2=(2-2*x)/3;

>> fz=int(f,z,z1,z2);

>> fy=int(fz,y,y1,y2);

>> I=int(fy,x,0,1)

结果为I =1/405 ，即xyzdxdydz1.

405

●●例3 计算抛物面zx2y2在平面z1下方的面积.

解 （1）首先作图，相应的Matlab程序为

>> [x,y]=meshgrid(-1:0.1:1);

>> z=x.^2+y.^2;

>> z1=ones(size(z)); %产生一个由元素1组成的与z同维的向量

>> surf(x,y,z) %画抛物面zx2y2的图形

>> hold on

>> mesh(x,y,z1) %画平面z1的图形

运行后显示如图8-36所示

（2）计算面积，相应的Matlab程序为

>> syms x y z r t

>> z=x^2+y^2;

>> f=sqrt(1+diff(z,x)^2+diff(z,y)^2);

>> x=r*cos(t);

>> y=r*sin(t);

>> f1=subs(f); %将f中的x,y变量用新定义的x,y表达式替换

>> f2=int(f1*r,r,0,1);

>> s=int(f2,t,0,2*pi)

结果为s =-1/6*pi+5/6*5^(1/2)*pi，即所求曲面面积为S66.



551图8-36

本章复习题A

一、填空题

1. 设D是正方形区域{(x,y)|0x1,0y1}，则xydxdy_________.

D2. 已知D是长方形区域{(x,y)|axb,0y1}，又已知yf(x)dxdy1，则Dbaf(x)dx___________.

3. 若D是由xy1和两坐标轴围城的三角形区域，则二重积分f(x)dxdy可以表示D为定积分f(x)dxdy(x)dx，那么(x)___________.

D014. 若dxf(x,y)dydy0001x1x2(y)x1(y)f(x,y)dx，那么区间[x1(y),x2(y)]_________.

a05. 若dxa0a2x20f(x,y)dydrf(rcos,rsin)dr，则区间(,)_________.

二、选择题

1. 设D是由ykx(k0),y0和x1所围成的三角形区域，且xy2dxdyD1，则15k( ).

412 C.

3 D.

3

51552. 设D1是正方形区域，

D2是D1的内切圆区域，

D3是D1的外接圆区域，

D1的中心A.

1 B.

3点在(1,1)点，记I1e2yxD12y2dxdy,I2e2yxD22y2dxdy,I3e2yxD32y2dxdy,则I1,I2,I3的大小顺序为( ).

A.

I1I2I3 B.

I2I1I3 C.

I3I1I2 D.

I3I2I1

3. 将极坐标系下的二次积分:Id0π2sin0rf(rcos,rsin)dr化为直角坐标系下的二次22xx22xx2积分，则I( ).

A.

Idy11111y211y22yy2f(x,y)dx B.

I0dx1f(x,y)dy

f(x,y)dy C.

Idy12yy2f(x,y)dx D.

I1dx111x21x24. 设D是第二象限内的一个有界闭区域，而且0y1.记

I1yxd,I2yxd,I3yxd,

DDD212则I1,I2,I3的大小顺序为( ).

A.

I1I2I3 B.

I2I1I3 C.

I3I1I2 D.

I3I2I1

x2y25. 计算旋转抛物面z1在1z3那部分曲面的面积的公式是( ).

2A.

C.

x2y211x2y2d B.

1x2y2d D.

x2y241x2y2d

1x2y2d

x2y24x2y21三、计算题

1. 计算exdxdy，其中D是由x0,yex和y2所围成的区域.

D2. 计算Dx2dxdy，其中D是由x2,yx和xy1所围成的区域.

y2

3. 计算(xy)dxdy，其中D是由x2y22和x2y22x所围成的区域.

D4. 将二重积分f(x,y)d化为两种顺序的二次积分，积分区域D给定如下:

D(1)

D是以(0,0),(1,0),(0,2)为顶点的三角形区域;

x2y2(2)

D是区域{(x,y)|221,y0}(a0,b0);

ab2(3)

D是区域{(x,y)|yx,y1x2};

(4)

D是由yx和yx3所围成的区域;

(5)

D是由y0,y1,yx和yx2所围成的区域.

5. 将二重积分f(x,y)d化成在直角坐标下两种顺序的二次积分，并进一步化成在极D坐标下的二次积分，其中积分区域D给定如下:

(1)

D是区域{(x,y)|x2y22y}; (2)

D是区域{(x,y)|x2y21,xy1};

(3)

D是区域{(x,y)|1x2y24}; (4)

D是由yx,y0和x1所围成的区域.

6. 设D是长方形区域{(x,y)|axb,cyd}，试证明:

baf(x)dxg(x)dxf(x)g(y)d (设f(x),g(x)连续).

cDDd7. 将二重积分f(x2y2)d化为二次积分，其中D是半圆区域{(x,y)|0yR2x2}.

8. 交换下列积分的顺序:

(1)

(4)

1yy0dyf(x,y)dx; (2)

22x10e1dxlnx0f(x,y)dy; (3)

20dx2xxf(x,y)dy;

22x1010dxf(x,y)dydx0xf(x,y)dy; (5)

2axx210dxx20f(x,y)dydxf(x,y)dy.

9. 交换下列积分的顺序，并化为极坐标下的二次积分:

(1)

(3)

dy011y21y22xx2f(x,y)dx; (2)

f(x,y)dy; (4)

a0dx0f(x,y)dy(a0);

10dxx10dy2yyf(x,y)dx.

10. 用二重积分计算以下图形D的面积:

(1)

D由yex,ye2x,x1所围成; (2)

D由y2x,xy2所围成;

(3)

D由极坐标下不等式ra(1cos)及ra所确定.

11. 用二重积分计算下列曲面所围立体的体积:

(1)

z1x2y2及z0; (2)

zx2y2及x2y2z22z;

(3)

zx2y2，三坐标平面及平面xy1.

12. 求均匀半圆环4x2y9x2的质心.

13. 求I(x2y2z2)dv, 其中G为球体x2y2z2≤2z.

G14. 将下列各题中三重积分f(x,y,z)dv在直角坐标系化为累次积分：



（1）f(x,y,z)dv，其中:1≤x≤2,2≤y≤1,0≤z≤1；

2（2）f(x,y,z)dv，其中:xyz≤1,x≥0,y≥0,z≥0；

（3）f(x,y,z)dv，其中:yx,y0,z0,xzπ所围区域；

2（4）f(x,y,z)dv，其中:zx2y2,yx2,y1,z0所围区域.

115. 计算三重积分(x2y2)dxdydz，其中为抛物面z(x2y2)与平面z2所围.

216. 将下列累次积分化为柱面或球面坐标的累次积分，并计算它们的值：

（1）dx011x21xaRR2x22dyzx2y2dz(a0)； （2）dx20RRxdy2R2x2y20x2y2z2dz.

本章复习题B

1. 证明:

aya0dyem(ax)f(x)dx(ax)em(ax)f(x)dx.

002. 把积分f(x,y,z)dxdydz化为三次积分，其中积分区域是由曲面zx2y2,yx2及平面y1,z0所围成的闭区域.

3. 计算下列二重积分:

(1) 计算(axbyc)dxdy(a,b,c是常数) ，其中D是区域{(x,y)|x2y2≤R2}.

D(2) 计算(x2y2)dxdy，其中D是区域{(x,y)|(x2y2)2a2(x2y2)}.

Dy(3) 计算arctand，其中D是区域{(x,y)|1≤x2y2≤4,0≤y≤x}.

xD4. 计算下列三重积分:

(1)

z2dxdydz，其中是两个球：x2y2z2R2和x2y2z22Rz(R0)的公共部分;

zln(x2y2z21)222xyz1所围成的闭区域; (2)

，其中是由球面dv222xyz1(3)

(y2z2)dv，其中是由xOy平面上曲线y22x绕x轴旋转而成的曲面与平面x5所围成的闭区域.

xyz5. 求平面1被三坐标面所割出的有限部分的面积.

abcx2y26. 求均匀半椭圆22≤1,y≥0的质心.

ab

7. 在均匀的半径为R的半圆形薄片的直径上，要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片，为了使整个均匀薄片的质心恰好落在圆心上，问接上去的均匀矩形薄片另一边的长度应是多少?

8. 求由抛物线yx2及直线y1所围成的均匀薄片(面密度为常数)对于直线y1的转动惯量.

9. 设在xOy面上有一质量为M的匀质半圆形薄片，占有平面闭区域

D{(x,y)|x2y2R2,y0}，

过圆心O垂直于薄片的直线上有一质量为m的质点P，OPa.求半圆形薄片对质点P的引力.