2023年12月15日发(作者：高考2023数学试卷数列)

《 高等数学(一) 》复习资料

一、选择题

x2  x  k

1.

若 lim

 5

，则 k 

（

）

x  3

x3

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

x2  k

2.

若 lim

 2

，则 k 

（

）

x1

x  1

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

3.

曲线 y  e

x  3sin x  1

在点（0，2）处的切线方程为(

)

A. y  2 x  2

B. y  2 x  2

C. y  2 x  3

D. y  2 x  3

4.

曲线 y  e

x  3sin x  1

在点（0，2）处的法线方程为(

)

1

1

1

1

A. y 

x  2

B. y  

x  2

C. y 

x  3

D. y  

x  3

2

2

2

2

x2  1

5. lim

(

)

x1

sin x

A. 0

B. 3

C. 4

D. 5

6.设函数 f ( x) 

x (t  1)(t  2)dt

，则 f (3)

=（

）

0

A

1

B 2

C 3

D 4

7.

求函数 y  2 x

4  4 x3  2

的拐点有（

）个。

A

1

B 2

C 4

D 0

8.

当 x  

时，下列函数中有极限的是（

）。

A. sin x

B.

1ex 

x

C.x

1

D.

2  1

arctan

x

9.已知 f \'(3)=2

， lim

f

(3

h)f(3)) 。

h0

2h

(

A.

3

3C.1

D. -1

2

B.

2

10.

设 f ( x)=x

4  3x

2  5

,则 f (0)

为 f ( x)

在区间 [2,2]

上的（

）。

A. 极小值

B. 极大值

C. 最小值

D. 最大值

11.

设函数 f ( x)

在 [1,2]

上可导，且 f \'(x)  0, f (1)  0, f (2)  0,

则 f ( x)

在 (1,2)

内(

A.至少有两个零点

B. 有且只有一个零点

C. 没有零点

D. 零点个数不能确定

12.

[

f

(

x)

xf

\'(x)]dx

 (

).

A. f ( x)  C

B. f \'(x)  C

C.

xf ( x)  C

D. f

2 ( x)  C

13.

已知 y  f

2 (ln x

2 )

，则 y 

(

C

)

A.

2 f (ln x2 ) f (ln x

2 )

4 f (ln x2 )

4 f (ln x2 ) f (ln x

2 )

2 f (ln x2 ) f ( xx2B.C.D.)

x

x

x2

14. d

 f ( x)

=(

B)

)

A. f \'(x)  C

B. f ( x)

C. f

( x)

D. f ( x)  C

2ln x

15. 

dx 

(

D

)

x

A. 2x ln x  C

ln x

 C

C. 2ln x  C

D.

ln x

2  C

B.

x

x2  1

16. lim

(

)

x1

ln x

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

17.

设函数 f ( x) 

x (t  1)(t  2)dt

，则 f

(2)

=（

）

0

A

1

B

0

C 2

D 2

18.

曲线 y  x3的拐点坐标是(

)

A.(0,0)

B.( 1,1)

C.(2,2)

D.(3,3)

19.

已知 y  f (ln x)

，则 y 

(

A

)

f (ln x)

f (ln x)

B. f (ln x)

C. f (ln x)

D.

A.

x

x

20. d

 df ( x) 

(

A)

A. df ( x)

B. f ( x)

C. df

( x)

D. f ( x)  C

21.

 ln xdx 

(

A

)

A. x ln x  x  C

B. ln x  x  C

C. ln x  x

D. ln x

二、求积分（每题 8 分，共 80 分）

1．求  cos x sin xdx

．

2. 求 

3 4  3ln

x

x

dx

．

3.

求  arctan xdx

．

4.

求

 e

3xdx

x35.

求 

dx

．

x

2  5x  6

dx

6.

求定积分 ．

0

1 

3 x

8

7. 计算

 x2 cos xdx ．

0

8.

求 

1

x2  2 x  8

dx

dx

．

9.

求 

1 

3 x  2

．

11. 求

2 2 xe

x2dx

1

12.

求  3x2 3  x3 dx

ln

2 x

13.

求 dx

x

1

e

14.求  x 3  x2 dx

三、解答题

1

1.

若 lim 3x  ax2  x  1 

,求 a

6

x

1

32.讨论函数 f ( x) 

x  2 x2  3x  3

的单调性并求其单调区间

3

x2  x  2

的间断点并确定其类型

3.

求函数 f ( x) 

x  2

4. 设 xy

2  sin x  e

xy ,

求y.

( x  1)3 x  2

5. 求 y 

的导数．

5( x  3)

x

a

cos

t

6.

求由方程 

ybsint 

确定的导数

y

.

x

1

e

x

,

x

0

7.函数

f

(

x)

1,

x

0

在

x

0

处是否连续？

tan x, x  0



1

e

x

,

x

0

1,x0在x0处是否可导？8.函数f(x)

tan x, x  0



9.

求抛物线

y

x2

与直线

y

x

所围成图形

D

的面积 A

.

10.

计算由抛物线

y

2

2

x

与直线

y

x

4

围成的图形 D

的面积 A

.

11.

设 y

是由方程 y  sin y  xe

y

确定的函数，求 y

12.求证： ln x  x  1, x  1

13.

设 y

是由方程 y  1  xe

y

确定的函数，求 y

14.

讨论函数 f ( x)  2 x3  9 x

2  12 x  3

的单调性并求其单调区间

15.求证： e

x  2 x  1,

x(1x)16.

求函数 f ( x) 

的间断点并确定其类型

x  x3

五、解方程

1.

求方程 y

2 dx  ( x

2  xy)dy  0

的通解.

2.求方程 yy  y2  0

的通解.

3.

求方程 y   2 y   y  x

2

的一个特解.

4.

求方程 y   5 y   9 y  5xe3x

的通解.

高数一复习资料参考答案

一、选择题

1-5： DABAA

6-10：DBCDD

11-15： BCCBD

16-21：ABAAAA

二、求积分

1．求  cos x sin xdx

．

2

解：  cos x

sin xdx  

sin xd (sin x) 

sin x  C 

sin

3 x  C

3

3

3

22

2.

求 

3

4  3ln x

dx

．

x

解： 

3

1 1

4  3ln x

1

3

3(43lnx)dx   (4  3ln x)

d (ln x)   

d

(4 

3ln

x)

x

3

3.

求  arctan xdx

．

4

1

 (4  3ln x) 3  C

．

4

解：设 u  arctan x

， dv  dx

，即

v 

x

，则

1

 x arctan x 

ln(1 x

2 )  C

．

2

4. 求

 e

3xdx

解： 

x  t

3x e

dx

3 e

3t

dt  3 te

dt  3tet2

2t2

t

 3 et  2tdt  3t

2et  6 tet dt

 3e3x (

3 x2  2

3 x  2)  C

．

x35.

求

dx

．

x2  5x  6

x  3

5

6

解：由上述可知

，所以

x

2  5x  6

x  2

x  3

 5ln x  2  6ln x  3  C

．

6.

求定积分 dx

．

0 1 

3 x

8

解：令

3 x  t

，即 x  t

3

，则 dx  3t

2dt

，且当 x  0

时， t  0

；当 x  8

时， t  2

，于是

8

dx

3t

2dt



2

1

2

 0

3

t2tln(1t)23ln3．

7. 计算

 x2 cos xdx ．

0

解：令 u  x

2

， dv  cos xdx

，则 du  2xdx

， v  sin x

，于是

 x0

2

cos xdx  

x2d sin x  ( x2 sin x)

0

0

 

2 x sin xdx  2

x sin xdx

．

0

0

再用分部积分公式，得

2 (

x

cos

x)

 sin x

  2

．

0 

0

1

8.

求

x2  2 x  8

dx

．

11

1

3  ( x  1)

解： 

dx  

d ( x  1) 

ln

 C

x2  2 x  8

( x  1)2  9

6

3  ( x  1)

1

2  x

 C

．

ln

6

4  x

9.

求 

dx1 

3 x  2

．

解：令 u 

3 x  2

，则 x  u

3  2

， dx  3u

2du

，从而有

11. 求

2 2 xe

x2dx

1

解： 

2 2 xe

x2 dx  

2 e

x2 dx2  e

x2

2  e4  e1

1

1

1

12.

求  3x2 3  x3 dx

解：  3x

2

3  x dx  

3

3

2

d (3  x3

)   (3  x

3 ) 2  C

3  x3

3

ln

2 x

13.

求 dx

x

1

e

解： e

1

e

ln2 x

e

21

1

1

dx  

ln

xd

(ln

x) 

ln

x 

ln

e 

x

3

3

3

1

1

14.求  x 3  x2 dx

3

1

1 2

3

1

解：  x 3  x dx  

3  x2 d (3  x2 )    (3  x2 ) 2  C   (3  x2 ) 2  C

2

2 3

3

2三、解答题

1

1.

若 lim 3x  ax  x  1 ,求

2

x

6

a

2ax2x19x解：因为 3x  ax2  x  1 

，所以 a  9

3x  ax2  x  1

否则极限不存在。

2.讨论函数 f ( x) 

1

x3  2 x2  3x  3

的单调性并求其单调区间

3

解： f \'(x)  x

2  4 x  3

由 f \'(x)  x2  4 x  3  0

得 x  1,

1

x  3

2

所以 f ( x)

在区间 (,1)

上单调增，在区间 (1,3)上单调减，在区间 (3, )

上单调增。

x2  x  2

3.

求函数 f ( x) 

的间断点并确定其类型

x  2

解：函数无定义的点为 x  2

，是唯一的间断点。

因 lim f ( x)  3

知 x  2

是可去间断点。

x2

4. 设 xy

2  sin x  e

xy ,

求y.

解： y

2  2 xy  y  cos x  e

xy ( y  y) ,

故

y(e

xy  y)  cos x

y 

x(2 y  e

xy )

( x  1)3 x  2

5. 求 y 

的导数．

5( x  3)

解：对原式两边取对数得：

于是

y

3

1

1

5

 

,

y

x  1 2 x  2

x  3

(

x 

1)3

x 

2

3

1

1

5

[

 

].

y 

( x  3)5

x

1

2

x

2

x

3

确定的导数

yx

.

故

x

a

cos

t

6.

求由方程

y

b

sin

t

解:

y(t )

b cos t

b2 x

y 

 .

x

2

y

x(t )

a sin t

a

1

e

x

,

x

0

1,

x07.

函数

f

(

x)

 

在

x

0

处是否连续？

tan x, x  0



解： lim f ( x)  lim e  0

x0 x0

1

x

故在 x  0

处不连续。

1

e

x

,

x

0

1,

x08.

函数

f

(

x)

 

在

x

0

处是否可导？

tan x, x  0



f ( x)  f (0)e  1

解：因为 lim



 limx

x

x0

x0

所以在 x  0

处不可导。

1

x

y

x

所围成图形 D

的面积 A

.

2

9.

求抛物线

y

x

与直线

解:

y

x

x

0

x

1

求解方程组 得直线与抛物线的交点为 

， 

，见图

6-9，所以该图

y  x2

y  0

y  1

形

在

直

线

x

0

与

x

=1

之

间

， y  x2

为

图

形

的

下

边

界

，

y

x

为

图

形

的

上

边

界

，

故

111321A

x2

x

1

xx

dx

  

.

6

0

2

3 

0

0

10.

计算由抛物线

y

2

2

x

与直线

y

x

4

围成的图形 D

的面积 A

.

 y

2  2 x

解：求解方程组 

得抛物线与直线的交点

(2,

2)

和

(8,4)

，见图

6-10，下面分两种

y

x

4

方法求解.

方法

1

y

2

图形 D

夹在水平线 y  2

与 y  4

之间，其左边界 x 

，右边界 x  y  4

，故

2

4232y

dy

 y

4yy 

A

4

y4

 

6 18

.

2 

2

2 

2

方法

2

图形 D

夹在直线 x  0

与 x  8

之间，上边界为 y 

2 x

，而下边界是由两条曲线

y   2 x

与 y  x  4

分

段

构

成

的

，

所

以

需

要

将

图

形 D

分

成

两

个

小

区

域 D

， D

，

故

A2x(2x)dx2xx48dx

0

2

2

832

2

2

2x 

2

2

x

2

x4x

18

.

3

2

32

0

23

2

1

2

11.

设 y

是由方程 y  sin y  xe

y

确定的函数，求 y

解：两边对 x 求导得

e

y

整理得 y \' 

1  cos y  xe

y

12.求证： ln x  x  1,

x  1

证明：令 f ( x)  ( x  1)  ln x

1

x  1

 0

x

x

x  1

。

因为 f \'(x)  1 

所以 f ( x)  0

，

13.

设 y

是由方程 y  1  xe

y

确定的函数，求 y

解：两边对 x 求导得

e

y

整理得 y \' 

1  xe

y

14.

讨论函数 f ( x)  2 x3  9 x

2  12 x  3

的单调性并求其单调区间

解： f \'(x)  6 x

2  18 x  12

由 f \'(x)  6 x2  18 x  12  0

得 x  1,

1

x  2

2

所以 f ( x)

在区间 (,1)

上单调增，在区间 (1,2)

上单调减，在区间 (2,  )

上单调增。

15.求证： e

x  2 x  1

证：令 f ( x)  e

x  2 x  1

因为 f \'(x)  e

x  2  0

得 x  ln 2

，又因为 f (ln 2)  2  2ln 2  1  0

所以 f ( x)  0

。

x(1x)16.

求函数 f ( x) 

的间断点并确定其类型

x  x3

解：由分母 x  x3  0

得间断点 x  0, x  1

。

因 lim f ( x)  1

知 x  0

是可去间断点；

因 lim f ( x)  lim

1  x

1

知 x  1

也是可去间断点

2

x1 x1

1

x2

x0

因 lim f ( x)  lim

1  x

1也是可去间断点

知 x  1

2

x1 x1

1

x2

四、解方程

1.

求方程 y

2 dx  ( x

2  xy)dy  0

的通解.

解

原方程可化为

dy

y

2

，

dx

xy  x

2

上式右边分子分母同除 x

2得

y

( )

2

dy

x

，

dx

y

 1

x

此为齐次方程，因而令 u 

，则

dy

 u  x

du

代入上式得

x

dx

dx

du

u

2

，

u  x

dx

u  1

y

分离变量得

dxu  1

du

，

x

u

两边积分得

ln x  u  ln u  ln C

，

eu

x  c

，

u

从而有

y

用 u 

回代即得原方程的通解

x

y  Ce

.y

x

2. yy  y2  0

解：原方程可化为：

积分得： yy \'  c

………………………………………………4

分

1

dy

2

即

 c

1

dx

积分得 y

2  c x  c

………………………………………………8

分

1

2

3.

求方程 y   2 y   y  x

2

的一个特解.

解

由于方程中 q  1  0

且 P ( x)  x

2

，故可设特解为

2

y  Ax

2  Bx  C

,

则

y  2 Ax  B, y  2 A

.

代入原方程有

Ax

2  (4 A  B) x  (2 A  2B  C )  x

2

.

A

1

比较两边同次幂的系数得 4

A

B

0

，

2 A  2B  C  0

解得

A  1, B  4, C  6

,

所以，所求的特解为

y  x2  4 x  6

.

4.

求方程 y   5 y   9 y  5 xe3x

的通解.

解

分两步求解.

（1） 求对应齐次方程的通解.

对应齐次方程 y   5 y   9 y  0

,

特征方程为

r

2  6r  9  0

,

解得

r1  r  3

2

.

于是得到齐次方程 y   5 y   9 y  0

的通解为

Y  (C  C

2

x)e31

x

.

（2） 求原方程的一个特解

因为

  3

是特征方程的重根, Pn ( x)  5 x

是一次式，所以可设

求导得

y  e3x 

3 Ax3  (3 A  3B) x2  2Bx 

,

代入原方程并约去 e3

x

得

6 Ax  2B  5x

,

比较等式两边的系数得

6

A

5



,

2B  0

解得

5

A

6

.



B

0

从而得原方程的一个特解

y 

x3e3x

.

6

于是原方程的通解为

5

5

3y  y  Y  ( x  C x  C )e3x

.

2 1

6


更多推荐

方程,函数,确定