追“本”溯源,品味“最短问题”

2024年4月1日发(作者：数学试卷怎么检查有效)

法探究　２０１４年３月　

追“本”溯源　，品味“最短问题’’　

⑩江苏省苏州学府中学范建兵　

生活数学，提升数学视野，强化数学应用，追求长远利　

一

、

专家引领　

益，追求思想的领悟、经验的积累、创新意识的培养．七、　

由江苏省中小学教研室组织实施，江苏省特级教师　

八年级课本中“最短问题”就是一个很好的生活数学的　

模型，这类问题的解决既是数学知识与技巧的体现，也　

授课和参与专题研讨的教学新时空“名师课堂”第６场于　

２０１３年９月１２下午在南师附中进行，通过江苏省中小学　

教研室网站和凤凰数学网全程直播．本次网络直播由特　

级教师赵齐猛执教，课题为“一类最短路程问题”，这节　

是思维与能力的融合。纵观２０１３年数学中考试题，“最短　

问题”的位置与往年一样突出、重要，如苏州第ｌ０题等数　

十个省市的中考题中都涉及了这一个低起点、多角度、　

重应用、高质量的中考热点话题．　

课赵老师从“过两定点找最短路径——过两定点一定线　

段找最短路径——过一定点两动点找最短路径”由易到　

难、南浅人深循序渐进地引导学生探寻方法、解决问题，　

学生在不知不觉中形成合理必然的思维方式，能力得以　

大幅提升，巧妙之至，真乃大师典范．　

二、追“本”溯源　

“以本（课本）为本（根本）”一直是中考数学命题的　

一

大特色，最短问题同样在课本上有着明确的例题或影　

坚持为理解而教，应成为每位教师的毕生追求．根　

据课程标准的理念，让数学课堂生活化、生动化、生本化　

已成为数学教学的新动向．初中数学教学借助课本阅　

读、数学实验、活动探究这些平台，让学生在活动中认识　

子，中考中形式各异的考题一般都是从课本出发，寻求　

典型题、热点题，再加以引申和改编．笔者查看了人教版　

和苏科版两种教材七、八年级的课本，发现了几个与“最　

短问题”有关的例题或习题，整理如下．　

ｔａｎ／＿ＡＦＥ后求ｔａｎＺ＿ＡＣＢ等；　

（８）不会将角度进行转化而导致思维回路反复，虽　

然做对却耗时耗力，体现在为数不少的考生的图是上述　

各图的综合，很多解法也是上述简解的组合等．　

后，将梯形割补成特殊的三角形和四边形也体现了转化　

的思想．也就是说，无论从宏观的解题思路而言，还是从　

微观的解题策略来说，该问的解答都充分地体现了转化　

与化归的数学思想方法．第二问其实不难，却仅有不到　

１５％的考生得满分，考生分析问题与解决问题的能力有　

待提高，初中数学教学对转化思想的渗透落实需要进一　

四、总结与思考　

从题目的解法和上述典型失误分析来看，对于第二　

问，若直接求解ｔａｎ／＿ＡＣＢ，需要知道ＡＢ、ＡＣ的长度（与已　

步加强，考生思维的灵活性不容乐观！第一问虽然简单，　

却依然有大量得０分的考生，甚至不会却将题目抄写一　

遍，难道这就是我们未来公民的几何基础和数学素养　

吗？建议在日常教学中，加强基本功的训练，注重基础知　

知相差较远）；若转化为求ｔａｎ厶４ＦＥ，需要知Ｊ￣＿ＡＥ、ＡＦ的　

长度（已知ＥＦ＝ＩＯ），仍然有困难；若通过添加辅助线后转　

化为求ｔａｎ／＿＿ＢＥＧ（图２）或ｔａｎ／ＥＧＯ（图３）或ｔａｎ　ＧＯＤ　

（图４）或ｔａｎ　ＧＢＥ（图５）等，问题解决将变得简单而直　

接．另一方面，直接求ｔａｎ　Ｚ．Ａ　ＣＢ计算线段长而不得时，能　

及时进行等角转化是果敢且明智的；在实现等角转化　

识的理解和推理能力的训练，注意将数学思想方法的渗　

透落到实处并教给学生分析问题与解决问题的方法，以　

及对学生实事求是、有几分证据讲几分道理等理性精神　

的培养！圆　

２０１４年３月　

新人教版八年级数学上册第４２页“管道供气问题”　

作为课堂探究活动，将对称性应用于于生活，强化学生　

的最短意识．　

解法探　

第３７页刊有著名的造桥选址问　

题：　如图２，Ａ和Ｂ两地在一条河　

的两岸，现要在河上造一座桥　

新人教版八年级数学上册第４７页“牧马问题”作为　

拓展训练，考查学生的动感、对称感和思维力．　

ＥＦ．桥造在何处才能使从Ａ　ＮＢ的　

路径ＡＥＦＢ最短？（假定河的两岸　

是平行的直线，桥要与河垂直）　

图２　

，＼．、Ｂ　

新苏科版七年级数学上册第１５１页第８题的“抽水站　

问题”让学生进一步认识“两点之间，线段最短”这一基　

本事实．　

这是一道有趣的造桥选址问题，充分体现了利用平　

移变换实现问题转化，从而有效求解．我们可以参考以　

下几个解题思路来探究．　

新苏科版七年级数学上册第１７２页第１题的“污水　

厂问题”让学生进一步认识“垂线段最短”这一基本事　

实．　

新苏科版八年级数学上册第７５页第１６题的“养鸡场　

问题”与人教版中的“管道供气问题”类似，但增加了一　

个分类讨论的数学思想．　

三、经典模型　

结合七、八年级所学知识，我们知道“最短问题”通　

常是以“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”两个基本　

事实为原则，其最典型题是“将军饮马问题”和“造桥选　

址问题”．　

１．将军饮马问题　

传说早在古罗马时代，亚历山大城有一位精通数学　

和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜　

访他，向他请教一个百思不得其解的问题．　

如图１，将军每天从军营Ａ出歪营４　。军营Ｂ　

发，先到河边饮马，然后再去河　

岸同侧的军营　开会，应该怎样　

走才能使路程最短？　图１　

从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．这　

个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决了它，　

展现了他的个人智慧．　

通过学习我们知道，人教版的“管道供气问题”，苏　

科版的“养鸡场问题”等都是由“将军饮马”改编而来，情　

境不同，本质不变，都能够抓住“轴对称”来解决问题．赵　

老师所授课堂的第一个例题就是这个问题．在２０１３年中　

考数学考题中，“将军饮马问题”的考查较为普遍，如苏　

州第ｌ０题、鄂州第１０题、张家界第２５题、内江第１６题、巴　

中第２４题等．　

２．造桥问题　

原人教版数学课本（２００７版）七年级下册（第二版）　

（１）如果把河流看成一条直线ｆ，那么我们就直接连　

接　、Ｂ两点，利用“两点之间，线段最短”可知线段４　的　

长就是最短距离．　

（２）把直线功Ⅱ宽，宽度是一个定值，即桥长是一个　

定值．只要两瑞的两条线段和最小就行了．问题要求的　

“路径ＡＥＦＢ最短”实际上就是“ＡＥ＋ＢＦ最小”，因为本题　

中附加条件是“桥要与河垂直”，也就是说桥的长度就是　

河两岸的距离了（题中假定了河的两岸是平行的直线）．　

（３）怎样做到“ＡＥ＋ＢＦｚｆｉ￣小”呢？　

过点Ａ作直线垂直于河边，在直线上截取Ａ　Ｃ等于桥　

长，然后连接ＣＢ交河边于点Ｆ，最后过点矸乍肛垂直于河　

边．则ＥＦ即为所求的架设桥的地点彳艮显然，从上面的分　

析与作图来看，通过平移把桥的固定长度巧妙地化解开　

去，分析出“ＡＥ＋Ｂ腽小”为ＣＦ＋ＦＢ（也就是点ｃＮ点Ｂ之　

间的线段最短），从而实现了问题的求解．　

造桥选址问题，要使所得到的路径最短，就是要通　

过平移变换，使除桥长不变外所得到的其他路径经平移　

后在一条直线上，２０１３年湖北省鄂州市中考数学第１０题　

等就考查了这一经典模型．　

四、盘点提升　

除了以上两个经典问题，生活中还有不少这样的　

“最短问题”，我们在研究时常常利用平移、轴对称、旋转　

等变换，将诸多如三角形周长最小、四边形周长最小等　

问题转化成基本最短路径模型．《中学数学｝２０１３年第１２　

期曾有文章从“四向”变式上描述了此类最短问题，笔者　

看了很受启发．尽管中考中试题的形式多样，但本质都　

是寻求“最短点”，且万变不离其宗，这个宗就是最短问　

题的核心思想“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”．　

１．两条线段的和最小　

拓展１：已知：如图３，点　在锐　

角　Ａ彻的内部，在船边上求作０　

一

点尸，使得点尸到点　的距离与点　Ｂ　

图３　

初中版十’？擞・？　

法探究　

ＰＮＯＡ边的距离之和最小．　

思路分析：本题中两条线段都　

２０１４年３月　

具体作法（如图８）：（１）作点　

Ａ关于直线ｌ的对称点Ａ　；　

是变化的，且点Ｐ比较隐蔽，不容易　

（２）连接Ａ　ｃ，交直线Ｚ于点　

Ｐ，则点Ｐ为所求作点，此时四边　

形ＡＰＣＢ的周长最小．　

：　

、

发现．利用轴对称性可将ＰＭ＋ＰＱ转　

化为线段Ｑ　（如图４），即把两条变Ｏ　Ｐ、

、

、

Ｂ　

＿　，，　

，，　Ｐ　

图８　

。　

Ａ　

化的线段放在一条直线上．这一问　图４　

２０１３年中考数学试题中有　

题与“将军饮马问题”有相同点，也有不同点，相同点是　

都是表示两条线段的和最短，不同点是“将军饮马问题”　

不少这样的考题，如张家界的第２５题、内江的第ｌ６题、巴　

中的第２４题等，本题中的周长最短其实就是两条线段的　

的基本依据是“两点之间，线段最短”，而这一问题的基　

本依据是“垂线段最短”．　

具体作法（如图４）：（１）作点　关于直线ＯＢ的对　

称点Ｍｌ；　

（２）作Ｍ。Ｑｊ＿　，交ＯＢ于点Ｐ，则点Ｐ为所求作，连接　

删，此Ｈ￣ＰＭ＋ＰＱ为最小．　

２０１３年山东省日照市第２０题考查了这一拓展．　

２．三角形的周长最小　

拓展２：已知：如图５，点　在锐　

角厶４ＯＢ的内部，在　边上求作一　

具体作法（如图６）：（１）作点　

关于直线ＯＡ的对称点　，作点　关　

于直线ＯＢ的对称点Ｍ２；　

（２）连接　．　，分别交　、Ｄ曰于　

Ｑ　：

、

　Ｂ　

ｔ

：　

点ＪＰ、Ｑ，则点Ｐ、Ｑ为所求作点，此时　

ＡＭｐＱ的周长最小．　

图６．　

２０１３年贵州省六盘水中考数学第２４题就考查了这　

一

拓展．　

３．四边形的周长最小　

拓展３：已知：如图７，点Ａ、　

Ｂ、Ｃ在直线ｆ的同侧，在直线Ｚ上　

・Ｃ　

求作一点Ｐ，使得四边形ＡＰＣＢ　

的周长最小．　图７　

思路分析：本题四边形ＡＰＣＢ中有两条边ＡＢ和ＢＣ是　

固定常量，另外两条边ＡＰ和ＰＣ是变化的，类比“将军饮　

马问题”中的思路，我们不难发现解题的关键是利用对　

称将ＡＰ和ＰＣ这两条变化的线段放到同一条直线上来，　

依据是“两点之间，线段最短”．　

辫　中。７擞・？初中版　

和最短，本质还是“将军饮马问题”．　

拓展４：已知：如图９，点Ｍ、Ｎ　

在锐角厶４ＯＢ的内部，在ＯＡ边上　

求作一　Ｏ，Ｐ，在ＯＢ边上求作一点　

Ｑ，使得四边形ＭＰＱＮ的周长最０　

小．　图９　

思路分析ｉ本题四边形ＭＰＱＮ中边　Ⅳ是固定常量，　

其他三条边都是变化的，类比拓展２中的思路，关键还是　

利用对称将三条线段放到同一条直线上来．这一问题的　

解题依据是“两点之间，线段最短”．　

具体作法（如图１０）：（１）作　

点　关于直线ＤＡ的对称点　，作　

点Ⅳ关于直线ＯＢ的对称点Ⅳ。；　

（２）连接ＭｌⅣ　，分别交ＯＡ、ＯＢ　０　

于点Ｐ、Ｑ，则点Ｐ、Ｑ为所求作点，　

Ｑ’、ｊ　Ｂ　

Ⅳ　

此时四边形ＭＰＱＮ的周长最小．　

图ｌ０　

拓展５：已知：如图１１，线　

段ａ，点Ａ、Ｂ在直线ｆ的同侧，在　．

．　

直线ｆ上，求作两点Ｐ、Ｑ（点Ｐ在　

点Ｑ的左侧）且ＰＱ＝ａ，使得四边——　

形Ａ　日的周长最小．　

图１１　

思路分析：本题四边形Ａ　曰中有两条边ＡＢ和即是　

固定量，但它们不在同一条直线上，另外两条边是变化　

的，因此四边形Ａ邢Ｂ的周长最小其实是ＡＰ＋　ｐ最小，相　

比于上几题，本题思考难度加大，将平移与轴对称融合，　

相当于将“将军饮马问题”与“造桥选址问题”两个问题　

综合起来．　

具体作法（如图１２）：（１）过　

点日作平行于直线ｆ的直线，并取　

点Ｅ，使ＢＥ＝ａ；　

（２）作点Ｅ关于直线ｆ的对称　

Ｆ　

点Ｆ，连接Ａ　Ｆ，交直线Ｚ于点Ｐ；　

图１２　

（３）在直线ｆ取点Ｑ，使ＰＱ：ｎ，则点Ｐ、Ｑ为所求作点，　

连接ＢＱ、ＡＢ，此时四边形ＡＰＱＢ的周长最小．　

２０１４年３月　

２０１３年四川省成都市中考数学第２８题考查了这一　

思路分析：本题解题关键有两个，一是用活“厶４＝　

拓展．　

４．折线和最小　

拓展６：已知：如图１３，　ＭＯＮ＝　

３０。，Ａ为ＯＭ上一点，ＯＡ＝５，Ｄ为　

ＯＮ上一点，０／）＝１２，Ｃ为射线ＡＭ　

上任意一点，Ｂ为线段ＯＤ上任意一ｕ　

Ｂ　Ｄ　Ｎ　

点，求折线　ｃ＿ｃＤ的长度　

冈１３　

的最小值．　

思路分析：折线Ａ　一　Ｃ一∞中三条线段均不固　

定，同定的只是Ａ、Ｄ两个点，因此我们要通过对称性把　

ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ三条线段放到同一条直线上．在计算方面，还　

综合了勾股定理等知识点，思考难度较大　

简要说明：如图１４，作点Ｄ关　

于ＯＭ的对称点Ｐ，作点Ａ关于ＯＮ　

的对称点Ｑ，连接　，分别交　

ＯＭ、Ｄ＾吁点Ｃ、Ｂ，则折线长最小０　

中，　Ｃ＝９０。，点　、腥　Ｃ边上　

的两点，且ＢＥ＝ＣＦ，点　、Ⅳ分别　

是ＡＢ、Ａｃ边上的两个动点，求Ｂ　

Ｃ　

Ｅ　Ｆ　

证、：ＥＭ＋ＭＮ＋ＮＦ≥ＢＣ．　

图１５　

思路分析：根据上述几个拓展题，对于本题，可以利　

用轴对称的性质先找出　＋　ｖ＋Ｍ嘬小时的点　、／ｖ，确　

定好四边形后再证明．本题类似于拓展４的问题，将ＥＭ、　

ＭＮ、ⅣｊＥ条线段变换到一条直线上・　Ａ　

简要说明：如图ｌ６，作点Ｅ　

关于，４曰的对称点Ｐ，作点联于　

Ａ　Ｃ的对称点Ｑ，连接　、ＣＱ、　

户Ｑ，ＪＰＱ分别交ＡＢ、ＡＣ于点　、　图１６　

点Ⅳ，根据轴对称的性质可得此时的ＥＭ＋ＭＮ＋Ｍ啪值最　

小，为线段　的长．再证明／＿ＰＢＥ＋ＬＦＣＱ＝１８０。，Ｉ￣Ｉ　ＰＢ＝　

ＢＥ＝ＦＣ＝ＣＱ，得到四边形ＢＣＱＰ－￣平行四边形，从而说明　

ＰＱ＝ＢＣ，因此，ＥＭ＋ＭＮ＋ＮＦ＞￣Ｂ隅证．　

拓展８：已知：如图１７。ＡＡＢＣ中，　

／＿Ａ＝４５ｏ，点Ｄ、Ｅ、盼别是三边ＡＢ、ＢＣ、　

ｃＡ上的点，ＡＢ＝６，ＡＣ＝４、／　，求ＡＤＥＦ　Ｂ　

的周长的最小值．　图ｌ７　

４５。’’这一条件，二是用轴对称建立最小值．根据上述拓展　

２，若先确定ＢＣ上一点Ｅ，分别作点Ｅ关于直线ＡＢ、直线　

ＡＣ的对称点　、Ⅳ，连接ＭＮ，分别　

交ＡＢ、ＡＣ于点Ｄ、　此时易得　

△珊胸周长最小，等于线段ＭＮ　

的长，且ＡＡＭＮ为等腰直角三角　

形，ＭＮ＝、／２　ＡＭ＝、／２　ＡＮ＝　

图１８　

、／　ＡＥ，所以求ＡＤＥＦ和周长　

的最小值　转化为求线段Ａ　Ｅ　

的最小值．如图１９，当ＡＥ上ＢＣ时，　

ＡＥ取得最小值，理南是垂线段最　

尸　

短。作ＡＥ上ＢＣ，ＢＰ＿ＬＡＣ，由　Ａ＝　

Ｃ　

４５　ｏ，ＡＢ＝６，可知ＢＰ＝ＡＰ＝３　

图ｌ９　

、／　．又因为ＡＣ＝４Ｖ　，所以ＰＣ＝Ｖ　．在ＡＢＰＣ中，南　

勾股定理，可得ＢＣ＝２、／了．南面积法可知ＡＥ＝　

ＡＣ・ＢＰ　４　

ＢＣ　２、／

・３、／　

了　

１　

２＿Ｖ广３－

，

△。Ｅ，的周长最小　

为　．在本题的解答过程中，我们运用到了两个最　

短问题的核心依据：“两点之间，线段最短”和“垂线段最　

短”．　

在初中数学七、八年级的几何学习中，借助平移、旋　

转、翻折等变换，利用作图、计算、推理等为抓手，在课堂　

中展示以“生活・数学”，“活动・思考”为主线的数学活　

动，强化标准要求，理论联系实际，给学生们提供了一个　

很好地认识最短问题的平台，深入研究，可以进一步为　

学生的数学学习夯实基础，提高思维力．作为一个中考　

热点话题，现已常考常新，不断地融合了不同题型、不同　

知识体系、不同问题情境、不同的数学思想方法等．这种　

注重考查学生学习过程、思维能力、灵活运用、创新意识　

的立意，符合新课标的理念及宗旨，值得推广和学习，也　

必将会受到广大师生的认识和喜爱．　

参考文献：　

１．义务教育教科书・数学八年级上册［Ｍ］．南京：江　

苏科学技术出版社。２０ｌ３．　

２．吉裕艳．一个常见几何基本图形的“四向”变式［Ｊ］．　

中学数学（下），２０１３（１２）．　

３．罗增儒．中学数学解题的理论与实践［Ｍ］．南京：广　

西教育出版社，２００８．田