2023年12月27日发(作者：广东第三单元数学试卷)

§ 2.4 数学期望的定义及性质

我们已经知道离散型随机变量的分布全面地描述了这个随机变量的统计规律,但在许多实际总是中,这样的全面描述有时并不使人感到方便.举例来说,已知在一个同一品种的母鸡群中,一只母鸡的年产蛋量是一个随机变量,如果要比较两个品种母鸡的年产蛋量通只要比较这两个品种的母的年产蛋量的平均值就可以了。平均值大就意味着这个品种的母鸡产蛋量高，当然是较好的品种，这时如果不去比较它们的平均值，而只看它们的分布列，虽然全面，去合人不得要领，既难以掌握，又难以迅速地作出判断.这样的例子可以举出很多:例如要比较不同班级的学习成绩,通常就比较考试中的平均成绩;要比较不同地区的粮食收成,一般也只要比较平均亩产量等.既然平均值这么有用,那是值得花力气来研究一番的.

例 2.13 (略) 见P79

例 2.14 若随机变量服从二项分布b(k;n,p),试求它的数学期望E

解 这时

nPkP(k)pkqnk,0kn

k所以

nEkPkkpkqnk

k0k0knnn1k1(n1)(k1)

nPpqk0k1nnP(pq)n1np (2.22)

例 2.15 (略)P80

定义2.5 若离散型随机变量可能取值为ai(i1,2,),其分布列为Pi(i1,2,),则当

|ai1i|pi (2.24)

时,称存在数学期望,并且数学期望为

Eaipi (2.25)

i1如果

|ai1i|pi

则称的数学期望不存在.

对于这个定义,读者也许会问,既然数学期望Eapii1i,那么只要apii1i收剑就可

以了,为什么还要求

|ai1i|pi

是不是有点多余?我们已经知道,离散型随机变量的取值是可依某种次序一一列举的,对同一个随机变量,它的取值的列举次序可以有所不同,当改变列举次序时它的数学期望是不应该改变的,这就意味着无穷级数apii1i的求和次序可以改变而其和要保持不变,由无穷级数的理论知道,必须有响.

apii1i绝对收剑即|ai1i|pi,才能保证它的和不受求和次序变动的影定理 2.2 若是一个离散型随机变量,其分布列为

pi

a1

p1

a2

p2

…

…

又g(x)是实变量x的单值函数,如果|ai1i|pi,则有

Eg()g(ai)pi (2.26)

i0证明 令g(),则仍是一个离散型随机变量,设其可能取的值为bj(j1,2),于是由(2.20)式有

P(bj)由数学期望定义有

g(ai)bjP(a)

iEg()Ebjp(bi)

j1bjj1g(ai)bjp(a)

iiij1g(ai)bjg(a)p(a)

g(ai)p(ai)

i1即为所证

类似还可以证下述定理.

定理 2.3 若(,)是一个二维离散型随机变量,其联合分布列为

p(ai,bj)pij,i,j1,2

又g(x,y)是实变量x,y的单值函数,如果

|g(a,b)|piji1j1ij

则有

Eg(,)g(ai,bj)pij (2.27)

i1j1对一般的n维随变量的函数,也有相应的定理成立,这里就不再叙述了.由于这些定理,在求离散型随机变量函数的数学期望时,就可以直接利用原来随机变量的分布,而不必先求随机变量函数的分布列.

现在进一步讨论数学期望的性质.随机变量的数学期望具有下述基本性质:

(1) 若ab,则E存在,且有aEb.特别,若C是一个常数,则EC=C.

(2) 对于一二维离散型随机变量(,),若E,E存在,则对任意的实数k1,k2,E(k1,k2)存在且

E(k1k2)k1Ek2E (2.28)

(3) 又若,是相互独立的,则E存在且

E()EE (2.29)

性质(1)的证明是显然的,下面证明性质(2)和(3).

设(,)的联合分布列和边际分布列为:

P(ai,bj)pij,i,j,

P(ai)Pi,i1,2

P(bj)Pj,j1,2

由定理2.32有

E(k1k2)(k1aik2bj)Pij

i1j1

k1aipijk2bjpij

i1j1i1j1k1aipik2bjpj

i1j1k1Ek2E

这里级数(kai1j11ik2bj)pij绝对收剑是明显的,所以E(k1k2)存在且(2.28)式成立,性质(2)证得.仍得用定理2.3并由独立性有

E()aibjpijaipibjpjEE

i1j1i1j1这里级数abii1j1jpij的绝对收剑也是显然的,所以E存在且(2.28)式成立,性质(3)得证.

性质(2)和(3)都可以推广到任意n维随机变量的场合,当然,就性质(3)来说,要求这n维随机变量是相互独立的.

一个随机变量,如果它的分布列是0---1分布:

101pp

则显然有E=P

例 2.14 (略)见P87


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期望,数学,分布,性质,次序