高数级数求和公式

2024年4月11日发(作者：今年白城市中考数学试卷)

高数级数求和公式

1，高等数学级数求和函数 ： 解:由ρ=lim (n→∞) |a(n+1)/an|=lim

(n→∞) (n+1)(n+2)/[n(n+1)]=1,r=1/ρ→r=1 易证:当x=±1时,级

数都发散. 故:此级数的收敛域为(-1,1). 令s(x)=∑(n:1→∞)

n(n+1)x^n 则:∫(上限x,下限0)s(x)dx=∑(n:1→∞) (n+2)x^(n+1) -

2∑(n:1→∞) ...

2， 高数等比级数求和 ： 所有这几个无穷极数都是一个等比数列,

求和式有一个前提:|x|<1; ④首项 x^4,公比x^4<1; {n=1→∞}Σ

x^(4n)=lim{n→∞}{[x^4-x^(4n)*x^4]/(1-x^4)}

=x^4/(1-x^4)lim{1-x^(4n)}=x^4/(1-x^4)=首项/(1-公比); ①首

项 x²/2,公比 x²/2;{n=1→∞}Σ2^(2n-1)/2n}...

3， 高数幂级数的和函数 ： ∑(n+1)^2 x^n = ∑

∞>(n+2)(n+1)x^n - ∑(n+1)x^n= [∑

∞>x^(n+2)]\'\' - [∑x^(n+1)]\'= [x^2/(1-x)]\'\' - [x/(1-x)]\'

= = 2/(1-x)^3 - 1/(1-x)^2 = (1+x)/(1-x)^3收敛域 -1 < x < 1

4， 高等数学 幂级数求和 ： 解:分享一种解法,转化成微分方程求解.

设S(x)=∑x^(2n)/[(2n)!]=1+x²/2+…+x^(2n)/[(2n)!]+….连续两次

由S(x)对x求导,得S\'\'(x)=S(x).∴S\'\'(x)-S(x)=0.其特征方程为,r²-1=0,

∴r=±1.其通解为,S(x)=(c1)e^x+(c2)e^(-x).又,S(0)=1、S\'(0)=0,∴

c1=c2=1/2,∴S(x)=(1/2)[e^x+e^(-x)].

5，高等数学级数求和问题 ： 因为n=0,无穷大.故n分为偶数跟奇

数. 当n为偶数,则n=2m(m>=0,m为整数)则有1-(-1)^n=0,故求

和公式中当n=2m的时候所以的分项都为0. 而当n为奇数的时候,

则n=2m-1(m>=1,m为整数)则有1-(-1)^n=2. 故左边求和公式可

以简化为只有n为奇数的情况下的分项相加.可得上面的式子.