2024年4月13日发(作者：新疆初三三模数学试卷)

立体几何常用二级结论及解题方法梳理

1.从一点

O

出发的三条射线

OA

、

OB

、

OC

.若

AOBAOC

,则点

A

在平面

BOC

上的

射影在

BOC

的平分线上；

2.立平斜三角余弦公式：(图略)

AB

和平面所成的角是

1

,

AC

在平面内,

AC

和

AB

的射影

AB

1

成

2

,设

BAC

3

,则

cos

1

cos

2

cos

3

；

3.异面直线所成角的求法：⑴平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条

的平行线.

⑵补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,

其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；

4.直线与平面所成角：过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,是产生线面角的关键.

5.二面角的求法：⑴定义法；⑵三垂线法；⑶垂面法；⑷射影法：利用面积射影公式

其中

为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；

S

射

S

斜

cos

，

6.空间距离的求法：⑴两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线,所以一般先利用垂直

作出公垂线,然后再进行计算.⑵求点到直线的距离,一般用三垂线定理作出垂线再求

解.

⑶求点到平面的距离,一是用垂面法,借助面面垂直的性质来作.因此,确定已知面的垂面

是关键；二是不作出公垂线,转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程求解.

7.用向量方法求空间角和距离：



⑴求异面直线所成的角：设

a

、

b

分别为异面直线

a

、

b

的方向向量,





|

a

b

|

则两异面直线所成的角

arccos



.⑵求线面角：设

l

是斜线

l

的方向向量,

n

是平

面

的



法向量,则斜线

l

与平面

所成的角

arcsin



.⑶求二面角(法一)在

内

|

l

n

|

|

l

|

|

n

|

|

a

|

|

b

|





a

b

al

,在

内

bl

,其方向如图(略),则二面角

l

的平面角

arccos



.(法

|

a

|

|

b

|



二)设

n

1

,

n

2

是二面角

l

的两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则二面角



l

的平面角

arccos



n

1

n

2







|

AB

n

|

取一点

B

,则

A

到

的距离

d

|

AB

||cos

|

(即

AB

在

n

方向上投影的绝对值).

|

n

|

8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等,记为

,则

S

侧

cos

S

底

.

|

n

1

|

|

n

2

|



.（4)求点面距离：设

n

是平面

的法向量,在

内

S

\'

\'

面积射影定理:

S

(平面多边形及其射影的面积分别是

S

、

S

，它们所在平面

cos

所成锐二面角的为

).

9.正四面体(设棱长为

a

)的性质：

①全面积

S

3

a

2

；②体积

V

2

12

a

3

；③对棱间的距离

d

2

2

a

；④相邻面所成二面角

arccos

；

3

1

⑤外接球半径

R

6

4

a

；⑥内切球半径

r

6

12

a

；⑦正四面体内任一点到各面距离之和为定

值

h

6

3

a

.

10.直角四面体的性质：(直角四面体—三条侧棱两两垂直的四面体).在直角四面体

OABC

中,

OA,OB,OC

两两垂直,令

OAa,OBb,OCc

,则⑴底面三角形

ABC

为锐角三角形；

⑵直角顶点

O

在底面的射影

H

为三角形

ABC

的垂心；⑶

S

BOC

S

BHC

S

ABC

；

2222

⑷

S

AOB

S

BOC

S

COA

S

ABC

；⑸

2

1

OH

2

1

a

2

1

b

2

1

c

2

；⑹外接球半径

R=

R

1

2

abc

.

222

11.已知长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为

,

,

因此有

cos

2

cos

2

cos

2

1

或

sin

2

sin

2

sin

2

2

；若长方体的体对角线与过

同一顶点的三侧面所成的角分别为

,

,

,则有

sin

2

sin

2

sin

2

1

或

cos

2

cos

2

cos

2

2

.

12.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；

13.球的体积公式

V

R

3

,表面积公式

S4

R

2

；掌握球面上两点

A

、

B

间的距离求法：

3

4

⑴计算线段

AB

的长；⑵计算球心角

AOB

的弧度数；⑶用弧长公式计算劣弧

AB

的长.

14.立体几何常切接问题模型

类型一、三垂直模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）

方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式

(2R)abc

，即

2R

2222

a

2

b

2

c

2

，

求出

R

类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）

1．题设：如图5，

PA

平面

ABC

解题步骤：

第一步：将

ABC

画在小圆面上，

A

为小圆直径的一个端点，作小圆的直

径

AD

，连接

PD

，则

PD

必过球心

O

；


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