一元二次方程与增长率问题

2024年4月13日发(作者：清华中学数学试卷)

一元二次方程与增长率问题

一元二次方程是初中数学中的重要知识，在学习了一元二次方程的解法后，

学会用一元二次方程解决与一元二次方程有关的生活中的应用问题，即列一元二

次方程解应用题，是每个学生必须具备的一项技能，其中增长率问题是主要题型

之一.部分学生在遇到这类问题总是难以下笔，现就列一元二次方程解应用题中

遇到的常见的典型题型之一--------增长率问题，举例说明.

对于增长率的相关知识，在小学里我们就学过.例如.某汽车厂第一年的量是

100万辆，第二年的产量是120万辆，第二年比第一年增加的百分数.（120-100）

/100=0.2=20%即为增长率.如果每年比上一年增加的百分数相同，就称它为年平

均增长率.那么上例中，如果年平均增长率为20%，第三年（即经过两年）的产

量100（1+20%）（1+20%）=100（1+20%）2=144（万辆）.一般来说，设原来的

年产量为 a， 若平均增长（或降低）百分率为x，那么经过一年的年产量等于 a

（1+x），经过两年的年产量等于 a（1+x）2，经过三年的年产量等于 a（1+x）3，

经过 n 年的年产量等于 a（1+x）n.增长（或降低）n次后的量是b，则它们的

数量关系可表示为a（1+x）n=b， 注意：1、其中增长取+，降低取-。2、1与x

的位置不要调换。3、解这类问题列出的方程一般用直接开平方法。

问题1 某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，

这两个月利润的月平均增长率是多少？

分析：对于增长率问题，若增长前的量为a， 平均增长率为x，经过连续两

次增长后的量为b，则a（1+x）2=b.

解：设这两个月利润的月平均增长率是x，则

2500（1+x）2=3600

解之，得x1=0.2或x2=-2.2（不合题意，舍去）

所以，这两个月利润的月平均增长率是20%.

问题2、某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元.已知两次降

价的百分率相同，求两次降价的百分率.

分析：对于降低率问题，与增长率问题类似，若降低前的量为a，平均降低

率为x，经过连续两次降低后的量为b，则a（1―x）2=b.

解：设每次降价的百分率为x，根据题意得：

100（1-x）2=81

解得： =0.1， =1.9

经检验 =1.9（不符合题意），∴x=0.1=10%

答：每次降价百分率为10%.

问题3 恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，

商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额

达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.

分析：这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数

和问题中每一个数据的意义，即可利用公式a（1+x）2=b求解，其中ab.

解 设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得200（1-20%）（1+x）

2=193.6，

即（1+x）2=1.21，解这个方程，得x1=0.1，x2=-2.1（舍去）.

答 这两个月的平均增长率是10%.

问题4、某校2003年捐款1万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2005

年共捐款4.75万元，问该校捐款的平均年增长率是多少？

分析：若设平均增长率为x， 2003年捐款1万元，则2004年捐款1 *（1+x）

万元，2005年捐款 1*（1+x）2万元，根据“到2005年共捐款4.75万元”可列方

程.解题时要特别注意4.75万元是三年捐款的总数，而不是某一年的捐款数.

解：设该校捐款的平均年增长率为x.根据题意得：

根据题意列方程：1+1*（1+x）+ 1*（1+x）2=4.75，

整理得：x2+3x-1.75=0

解得：x1=-7/2（舍去），x2=1/2=50%.

答：该校捐款的平均年增长率为50%.