2024年4月9日发(作者：焦作高一下数学试卷)
2005年全国高中数学联赛试题及详细解析
说明：
1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其
他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。
2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当
划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的
代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在
括号内），一律得0分。
1．使关于
x
的不等式
x36xk
有解的实数
k
的最大值是（ ）
A．
63
B．
3
C．
63
D．
6
2．空间四点A、B、C、D满足
|AB|3,|BC|7,|CD|11,|DA|9,
则
ACBD
的取值
（ ）
A．只有一个 B．有二个 C．有四个 D．有无穷多个
6.记集合
T{0,1,2,3,4,5,6},M{
a
1
a
2
a
3
a
4
|a
i
T,i1,2,3,4},
将M中的元素按从大到小的
7
7
2
7
3
7
4
1
顺序排列，则第2005个数是（ ）
55635562
2
3
4
B．
2
3
4
7
7
7
77777
11041103
C．
2
3
4
D．
2
3
4
7
7
7
77777
A．
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
7.将关于
x
的多项式
f(x)1xxxx
2319
x
20
表为关于
y
的多项式
g(y)
a
0
a
1
ya
2
y
2
a
19
y
19
a
20
y
20
,
其中
yx4.
则
a
0
a
1
a
20
.
8.已知
f(x)
是定义在
(0,)
上的减函数，若
f(2aa1)f(3a4a1)
成立，则
a
的取值范
围是 。
22
12.如果自然数
a
的各位数字之和等于7，那么称
a
为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列
a
1
,
a
2
,
a
3
,
,
若
a
n
2005,
则
a
5n
.
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13.数列
{a
n
}
满足：
a
0
1,a
n1
2
7a
n
45a
n
36
2
,nN.
证明：（1）对任意
nN,a
n
为正整数；(2)对任意
nN,a
n
a
n1
1
为完全平方数。
14.将编号为1,2，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球.
设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要S.求使S达到最小值的放法的概率.（注：如果某种放
法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法）
15.过抛物线
yx
上的一点A（1,1）作抛物线的切线，分别交
x
轴于D，交
y
轴于B.点C在抛物线
2
2
上，点E在线段AC上，满足
AEBF
1
;点F在线段BC上，满足
2
，且
1
2
1
，线段CD与EF
ECFC
交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程.
2005年全国高中数学联赛试题（二）及参考答案
二、（本题满分50分）
设正数
a
、b、c、
x
、y、z满足
cybza,azcxb;bxayc.
x
2
y
2
z
2
求函数
f(x,y,z)
的最小值.
1x1y1z
三、（本题满分50分）
当n为平方数,
0
对每个正整数n，定义函数
f(n)
1
[]当n不为平方数.
{n}
（其中[
x
]表示不超过
x
的最大整数，
{x}x[x]).
试求：
f(k)
的值.
k1
240
2005年全国高中数学联赛解答
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
3
本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的
代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在
括号内），一律得0分。
1．使关于
x
的不等式
x36xk
有解的实数
k
的最大值是（ ）
A．
63
B．
3
C．
63
D．
6
2．空间四点A、B、C、D满足
|AB|3,|BC|7,|CD|11,|DA|9,
则
ACBD
的取值
（ ）
A．只有一个 B．有二个 C．有四个 D．有无穷多个
【答案】A
2
2
DADA
【解析】注意到
311113079,
由于
ABBCCDDA0,
则=
2222
(ABBCCD)
2
AB
2
BC
2
CD
2
2(ABBCBCCDCDAB)AB
2
BC
2
CD
2
2(BCABBCBCCDCDAB)AB
2
BC
2
CD
2
2(AB
2
BC)(BCCD),
即
2ACBDAD
2
BC
2
AB
2
CD
2
0,ACBD
只有一个值得0，故选A。
3．
ABC
内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于
A
1
、
B
1
、
C
1
。则
AA
1
cos
ABC
BB
1
cosCC
1
cos
222
的值为（ ）
sinAsinBsinC
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【解析】如图，连
BA
1
，则
AA
1
2sin(B
AABCBC
)2sin()
2222
2cos(
BC
).
22
4
AA
1
cos
ABCAABCACB
2cos()coscoscoscos(C)cos(B)
22222222
BCA
sinCsinB,同理BB
1
cossinAsinC,CC
1
cossinAsinB,AA
1
cosBB
1
222
BC2(sinAsinBsinC)
cosCC
1
cos2(sinAsinBsinC),原式2.选A.
22sinAsinBsinC
5.方程
x
2
sin2sin3
y
2
cos2cos3
1
表示的曲线是（ ）
A．焦点在
x
轴上的椭圆 B．焦点在
x
轴上的双曲线
C．焦点在
y
轴上的椭圆 D．焦点在
y
轴上的双曲线
【答案】C
【解析】
23
,0
2
23
2
,cos(2)cos(3),
即
222
sin2sin3.
又
0
圆。
2
,3
,cos20,cos30,cos2cos30,
方程表示的曲线是椭
22
5
(sin2sin3)(cos2cos3)22sin
2323
sin()()
224
2323
0,sin0,
2222
23
sin()0,()式0.
24
233
3
,
244
23
.
24
即
sin2sin3cos2cos3.
曲线表示焦点在
y
轴上的椭圆，选C。
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
7.将关于
x
的多项式
f(x)1xxxx
2319
x
20
表为关于
y
的多项式
g(y)
a
0
a
1
ya
2
y
2
a
19
y
19
a
20
y
20
,
其中
yx4.
则
a
0
a
1
a
20
.
5
21
1
【答案】
6
【解析】由题设知，
f(x)
和式中的各项构成首项为1，公比为
x
的等比数列，由等比数列的求和公
6
(y4)
21
1
(x)
21
1x
21
1
,
取
y1,
.
令
xy4,
得
g(y)
式，得：
f(x)
y5
x1x1
有
a
0
a
1
a
2
a
20
5
21
1
g(1).
6
9.设
、
、
满足
0
2
，若对于任意
xR,cos(x
)cos(x
)
cos(x
)0,
则
。
【答案】
4
.
3
【解析】设
f(x)cos(x
)cos(x
)cos(x
),
由
xR
，
f(x)0
知，
f(
)0,f(
)0,f(
)0,
即
cos(
)cos(
)1,cos(
)
cos(
)1,cos(
)cos(
)1.cos(
)cos(
)cos(
)
12
4
.0
2
,
,
,
{,},
又
,
233
2
4
.
只有
.
.
33
7
10.如图，四面体DABC的体积为
AC
1
3,
则
CD
. ，且满足
ACB45,ADBC
6
2
【答案】
3
【解析】
即
111
AD(BCACsin45)V
DABC
,
326
ADBC
AC
2
1.
又
3ADBC
AC
2
3
ADBC
AC
2
AC
2
3,
等号当且仅当
ADBC1
时成立，这时
AB1,AD
面ABC，
DC3
.
2
11.若正方形ABCD的一条边在直线
y2x17
上，另外两个顶点在抛物线
yx
上.则该正方形面积
的最小值为 .
【答案】80
【解析】设正方形的边AB在直线
y2x17
上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为
C(x
1
,y
1
)
、
D(x
2
,y
2
)
，则CD所在直线
l
的方程
y2xb,
将直线
l
的方程与抛物线方程联立，得
x
2
2xbx
1,2
1b1.
令正方形边长为
a,
则
a(x
1
x
2
)(y
1
y
2
)5(x
1
x
2
)20(b1).
①
在
y2x17
上任取一点（6，,5），它到直线
y2xb
的距离为
a,a
2222
|17b|
5
②.
①、②联立解得
b
1
3,b
2
63.a80,
或
a1280.a
min
80.
222
8
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13.数列
{a
n
}
满足：
a
0
1,a
n1
2
7a
n
45a
n
36
2
,nN.
【解析】证明：（1）对任意
nN,a
n
为正整数；(2)对任意
nN,a
n
a
n1
1
为完全平方数。
证明：（1）由题设得
a
1
5,
且
{a
n
}
严格单调递增.将条件式变形得
2a
n1
7a
n
22
平方整理得
a
n1
7a
n
a
n1
a
n
90
①
22
a
n
7a
n1
a
n
a
n1
90
②
2
45a
n
36,
两边
①-②得
(a
n1
a
n1
)(a
n1
a
n1
7a
n
)0,a
n1
a
n
,a
n1
a
n1
7a
n
0
a
n1
7a
n
a
b1
.
③
由③式及
a
0
1,a
1
5
可知，对任意
nN,a
n
为正整数.
9
14.将编号为1,2，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球.
设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要S.求使S达到最小值的放法的概率.（注：如果某种放
法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法）
【解析】九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上，每点放一个，相当于九个不同元素在圆周上
的一个圆形排列，故共有8！种放法，考虑到翻转因素，则本质不同的放法有
8!
种. …5分
2
下求使S达到最小值的放法数：在圆周上，从1到9有优弧与劣弧两条路径，对其中任一条路径，设
x
1
,x
2
,
,x
k
是依次排列于这段弧上的小球号码，则
|1x
1
||x
1
x
2
|||x
k
9||(1x
1
)(x
1
x
2
)(x
k
9)||19|8.
上式取等号当
且仅当
1x
1
x
2
x
k
9
，即每一弧段上的小球编号都是由1到9递增排列.
因此
S
最小
2816
.
由上知，当每个弧段上的球号
{1,x
1
,x
2
,x
k
,9}
确定之后，达到最小值的排序方案便唯一确定.
在1,2，…，9中，除1与9外，剩下7个球号2,3，…，8，将它们分为两个子集，元素较少的一个
01236
子集共有
C
7
C
7
C
7
C
7
2
种情况，每种情况对应着圆周上使S值达到最小的唯一排法，即有利事
2
6
1
.
件总数是
2
种，故所求概率
P
8!
315
2
6
15.过抛物线
yx
上的一点A（1,1）作抛物线的切线，分别交
x
轴于D，交
y
轴于B.点C在抛物线
上，点E在线段AC上，满足
2
AEBF
1
;点F在线段BC上，满足
2
，且
1
2
1
，线段CD与EF
ECFC
交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程.
10
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