2010年江苏省高考数学试卷

2024年4月12日发(作者：初二福建数学试卷)

2010年江苏省高考数学试卷

一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）

1．（5.00分）设集合A={﹣1，1，3}，B={a+2，a+4}，A∩B={3}，则实数a= ．

2．（5.00分）设复数z满足z（2﹣3i）=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为 ．

3．（5.00分）盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球

颜色不同的概率是 ．

4．（5.00分）某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度

（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方

图如图所示，则其抽样的100根中，有 根在棉花纤维的长度小于20mm．

2

5．（5.00分）设函数f（x）=x（e+ae）（x∈R）是偶函数，则实数a= ．

6．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线

则M到双曲线右焦点的距离是 ．

7．（5.00分）如图是一个算法的流程图，则输出S的值是 ．

上一点M，点M的横坐标是3，

x﹣x

8．（5.00分）函数y=x（x＞0）的图象在点（a

k

，a

k

）处的切线与x轴交点的横坐标为a

k+1

，

k为正整数，a

1

=16，则a

1

+a

3

+a

5

= ．

9．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x+y=4上有且仅有四个点到直线12x﹣5y+c=0

第1页（共21页）

22

22

的距离为1，则实数c的取值范围是 ．

10．（5.00分）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为

P，过点P作PP

1

⊥x轴于点P

1

，直线PP

1

与y=sinx的图象交于点P

2

，则线段P

1

P

2

的长为 ．

11．（5.00分）已知函数

的范围是 ．

12．（5.00分）设实数x，y满足3≤xy≤8，4≤

2

，则满足不等式f（1﹣x）＞f（2x）的x

2

≤9，则的最大值是 ．

13．（5.00分）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若+=6cosC，则

的值是 ．

+

14．（5.00分）将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块

是梯形，记

二、解答题（共9小题，满分110分）

15．（14.00分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣2）、B（2，3）、C（﹣2，﹣1）．

（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；

（2）设实数t满足（）•=0，求t的值．

，则S的最小值是 ．

16．（14.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，

∠BCD=90°．

（1）求证：PC⊥BC；

（2）求点A到平面PBC的距离．

17．（14.00分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），如示意图，垂直放置的标

第2页（共21页）

杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．

（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值；

（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使

α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，

α﹣β最大？

18．（16.00分）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆=1的左、右顶点为A、

B，右焦点为F．设过点T（t，m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M（x

1

，y

1

）、N（x

2

，y

2

），

其中m＞0，y

1

＞0，y

2

＜0．

（1）设动点P满足PF﹣PB=4，求点P的轨迹；

（2）设x

1

=2，x

2

=，求点T的坐标；

（3）设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）．

22

19．（16.00分）设各项均为正数的数列{a

n

}的前n项和为S

n

，已知2a

2

=a

1

+a

3

，数列

是公差为d的等差数列．

（1）求数列{a

n

}的通项公式（用n，d表示）；

（2）设c为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式S

m

+S

n

＞cS

k

都成立．求

证：c的最大值为．

第3页（共21页）

20．（16.00分）设f（x）是定义在区间（1，+∞）上的函数，其导函数为f′（x）．如果

存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f′

（x）=h（x）（x﹣ax+1），则称函数f（x）具有性质P（a），设函数f（x）=

其中b为实数．

（1）①求证：函数f（x）具有性质P（b）；

②求函数f（x）的单调区间．

（2）已知函数g（x）具有性质P（2），给定x

1

，x

2

∈（1，+∞），x

1

＜x

2

，设m为实数，α

=mx

1

+（1﹣m）x

2

，β=（1﹣m）x

1

+mx

2

，α＞1，β＞1，若|g（α）﹣g（β）|＜|g（x

1

）﹣

g（x

2

）|，求m的取值范围．

21．（10.00分）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作

答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A：AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，

求证：AB=2BC．

B：在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，0），B（﹣2，0），C（﹣2，1）．设k为非零实

数，矩阵M=，N=，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A

1

、B

1

、

2

，

C

1

，△A

1

B

1

C

1

的面积是△ABC面积的2倍，求k的值．

C：在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值．

D：设a、b是非负实数，求证：．

22．某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一

等品率为90%，二等品率为10%．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二

等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2

万元．设生产各种产品相互独立．

（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；

（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．

23．（10.00分）已知△ABC的三边长都是有理数．

第4页（共21页）

（1）求证cosA是有理数；

（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数．

第5页（共21页）

2010年江苏省高考数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）

1．（5.00分）设集合A={﹣1，1，3}，B={a+2，a+4}，A∩B={3}，则实数a= 1 ．

【解答】解：∵A∩B={3}∴3∈B，又∵a+4≠3∴a+2=3 即 a=1

2．（5.00分）设复数z满足z（2﹣3i）=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为 2 ．

【解答】解：z（2﹣3i）=2（3+2i），

|z||（2﹣3i）|=2|（3+2i）|，

|2﹣3i|=|3+2i|，z的模为2．

故答案为：2

3．（5.00分）盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球

颜色不同的概率是 ．

2

2

【解答】解：考查古典概型知识．

∵总个数n=C

4

=6，∵事件A中包含的基本事件的个数m=C

3

=3∴

21

故填：．

4．（5.00分）某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度

（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方

图如图所示，则其抽样的100根中，有 30 根在棉花纤维的长度小于20mm．

【解答】解：由图可知，棉花纤维的长度小于20mm段的频率为0.01+0.01+0.04，

则频数为100×（0.01+0.01+0.04）×5=30．

故填：30．

第6页（共21页）

5．（5.00分）设函数f（x）=x（e+ae）（x∈R）是偶函数，则实数a= ﹣1 ．

【解答】解：因为函数f（x）=x（e+ae）（x∈R）是偶函数，

所以g（x）=e+ae为奇函数由g（0）=0，得a=﹣1．另解：由题意可得f（﹣1）=f（1），

即为﹣（e+ae）=e+ae，即有（1+a）（e+e）=0，解得a=﹣1．故答案是﹣1

6.（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线

则M到双曲线右焦点的距离是 4 ．

【解答】解：=e=2，d为点M到右准线x=1的距离，则d=2，∴MF=4．

上一点M，点M的横坐标是3，

﹣1﹣1﹣1

x﹣x

x﹣x

x﹣x

7．（5.00分）如图是一个算法的流程图，则输出S的值是 63 ．

【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，

再根据流程图所示的顺序，可知：

该程序的作用是利用循环求满足条件S=1+2+2+…+2≥33的最小的S值

∵S=1+2+2+2+2=31＜33，不满足条件．

S=1+2+2+2+2+2=63≥33，满足条件

故输出的S值为：63．

故答案为：63

8．（5.00分）函数y=x（x＞0）的图象在点（a

k

，a

k

）处的切线与x轴交点的横坐标为a

k+1

，

k为正整数，a

1

=16，则a

1

+a

3

+a

5

= 21 ．

【解答】解：在点（a

k

，a

k

）处的切线方程为：y﹣a

k

=2a

k

（x﹣a

k

），

当y=0时，解得

所以

故答案为：21．

9．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x+y=4上有且仅有四个点到直线12x﹣5y+c=0

的距离为1，则实数c的取值范围是 （﹣13，13） ．

第7页（共21页）

22

22

22

2345

234

2n

，

．

【解答】解：圆半径为2，圆心（0，0）到直线12x﹣5y+c=0的距离小于1，即

c的取值范围是（﹣13，13）．

10．（5.00分）定义在区间

，

上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为

． P，过点P作PP

1

⊥x轴于点P

1

，直线PP

1

与y=sinx的图象交于点P

2

，则线段P

1

P

2

的长为

【解答】解：线段P

1

P

2

的长即为sinx的值，

且其中的x满足6cosx=5tanx，即6cosx=，化为6sinx+5sinx﹣6=0，解得sinx=．线

2

段P

1

P

2

的长为

11．（5.00分）已知函数，则满足不等式f（1﹣x）＞f（2x）的x

2

的范围是 （﹣1，﹣1） ．

【解答】解：由题意，可得

故答案为：

2

12．（5.00分）设实数x，y满足3≤xy≤8，4≤≤9，则的最大值是 27 ．

【解答】解：因为实数x，y满足3≤xy≤8，4≤

2

≤9，

第8页（共21页）

则有：，，

再根据 ，即当且仅当x=3，y=1取得等号，

即有的最大值是27．

13．（5.00分）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若+=6cosC，则

的值是 4 ．

【解答】解：∵+=6cosC，

由余弦定理可得，

∴

则

=

+=

=

=

=

+

==

14．（5.00分）将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块

是梯形，记，则S的最小值是 ．．

x，则：【解答】解：设剪成的小正三角形的边长为

（方法一）利用导数求函数最小值．，

=

第9页（共21页）

，

当

故当

时，S′（x）＜0，递减；当

时，S的最小值是．

时，S′（x）＞0，递增；

（方法二）利用函数的方法求最小值．

令，

则：

故当

时，S的最小值是．

二、解答题（共9小题，满分110分）

15．（14.00分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣2）、B（2，3）、C（﹣2，﹣1）．

（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；

（2）设实数t满足（

从而得：

）•=0，求t的值．

．

，则【解答】解：（1）（方法一）由题设知

．

所以

故所求的两条对角线的长分别为、

．

．

（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则：

E为B、C的中点，E（0，1）

又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）

故所求的两条对角线的长分别为BC=

（2）由题设知：

由（）•

=（﹣2，﹣1），

=0，得：（3+2t，5+t）（﹣2，﹣1）=0， •

、AD=；

．

第10页（共21页）

从而5t=﹣11，所以．

或者：，，

16．（14.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，

∠BCD=90°．

（1）求证：PC⊥BC；

（2）求点A到平面PBC的距离．

【解答】解：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC．

由∠BCD=90°，得CD⊥BC，

又PD∩DC=D，PD、DC⊂平面PCD，

所以BC⊥平面PCD．

因为PC⊂平面PCD，故PC⊥BC．

（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：

易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等．

又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍．

由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，

因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．

易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于．

（方法二）等体积法：连接AC．设点A到平面PBC的距离为h．

因为AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°．

从而AB=2，BC=1，得△ABC的面积S

△ABC

=1．

由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P﹣ABC的体积

因为PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PD⊥DC．

第11页（共21页）

．

又PD=DC=1，所以

由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面积

由V

A﹣PBC

=V

P﹣ABC

，

故点A到平面PBC的距离等于

，得

．

．

．

，

17．（14.00分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），如示意图，垂直放置的标

杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．

（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值；

（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使

α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，

α﹣β最大？

【解答】解：（1）

AD﹣AB=DB，故得

得：H==

=tanβ⇒AD=

﹣=

，同理：AB=

，

=124．

，BD=．

因此，算出的电视塔的高度H是124m．

（2）由题设知d=AB，得tanα=，tanβ===，

tan（α﹣β）====

d+

故当d=55

≥2，（当且仅当d===55时，取等号）

时，tan（α﹣β）最大．

第12页（共21页）

因为0＜β＜α＜

故所求的d是55

，则0＜α﹣β＜

m．

，所以当d=55时，α﹣β最大．

18．（16.00分）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆=1的左、右顶点为A、

B，右焦点为F．设过点T（t，m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M（x

1

，y

1

）、N（x

2

，y

2

），

其中m＞0，y

1

＞0，y

2

＜0．

（1）设动点P满足PF﹣PB=4，求点P的轨迹；

（2）设x

1

=2，x

2

=，求点T的坐标；

（3）设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）．

22

【解答】解：（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（﹣3，0）．

由PF﹣PB=4，得（x﹣2）+y﹣[（x﹣3）+y]=4，化简得

故所求点P的轨迹为直线

（2）将

得M（2，）、N（，

直线MTA方程为：

．

222222

．

分别代入椭圆方程，以及y

1

＞0，y

2

＜0，

）

，即，

直线NTB方程为：，即．

联立方程组，解得：，

所以点T的坐标为

．

（3）点T的坐标为（9，m）

第13页（共21页）

直线MTA方程为：

直线NTB方程为：

，即

，即

，

．

分别与椭圆联立方程组，同时考虑到x

1

≠﹣3，x

2

≠3，

解得：

（方法一）当x

1

≠x

2

时，

、．

直线MN方程为：

令y=0，解得：x=1．此时必过点D（1，0）；

当x

1

=x

2

时，直线MN方程为：x=1，与x轴交点为D（1，0）．

所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）．

（方法二）若x

1

=x

2

，则由

此时直线MN的方程为x=1，过点D（1，0）．

及m＞0，得，

若x

1

≠x

2

，则，直线MD的斜率，

直线ND的斜率，得k

MD

=k

ND

，所以直线MN过D点．

因此，直线MN必过x轴上的点（1，0）．

第14页（共21页）

19．（16.00分）设各项均为正数的数列{a

n

}的前n项和为S

n

，已知2a

2

=a

1

+a

3

，数列

是公差为d的等差数列．

（1）求数列{a

n

}的通项公式（用n，d表示）；

（2）设c为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式S

m

+S

n

＞cS

k

都成立．求

证：c的最大值为．

【解答】解：（1）由题意知：d＞0，

∵2a

2

=a

1

+a

3

，

∴3a

2

=S

3

，即3（S

2

﹣S

1

）=S

3

，

∴

化简，得：

当n≥2时，a

n

=S

n

﹣S

n﹣1

=nd﹣（n﹣1）d=（2n﹣1）d，适合n=1情形．

故所求a

n

=（2n﹣1）d

（2）（方法一）S

m

+S

n

＞cS

k

⇒md+nd＞c•kd

⇒m

+n＞c•k，

222222222

2

22222

=+（n﹣1）d=+（n﹣1）d，

，

，

恒成立．

又m+n=3k且m≠n，，

故，即c的最大值为．

及，得d＞0，S

n

=nd．

．

22

（方法二）由

于是，对满足题设的m，n，k，m≠n，有

所以c的最大值

另一方面，任取实数

且

于是，只要9k+4＜2ak，即当

所以满足条件的，从而

22

．

．设k为偶数，令，则m，n，k符合条件，

．

时，

．

第15页（共21页）

．

因此c的最大值为．

20．（16.00分）设f（x）是定义在区间（1，+∞）上的函数，其导函数为f′（x）．如果

存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f′

（x）=h（x）（x﹣ax+1），则称函数f（x）具有性质P（a），设函数f（x）=

其中b为实数．

（1）①求证：函数f（x）具有性质P（b）；

②求函数f（x）的单调区间．

（2）已知函数g（x）具有性质P（2），给定x

1

，x

2

∈（1，+∞），x

1

＜x

2

，设m为实数，α

=mx

1

+（1﹣m）x

2

，β=（1﹣m）x

1

+mx

2

，α＞1，β＞1，若|g（α）﹣g（β）|＜|g（x

1

）﹣

g（x

2

）|，求m的取值范围．

②根据第一问令φ（x）=x﹣bx+1，讨论对称轴与2的大小，当b≤2时，对于x＞1，φ（x）

＞0，所以f′（x）＞0，可得f（x）在区间（1，+∞）上单调性，当b＞2时，φ（x）图

象开口向上，对称轴，可求出方程φ（x）=0的两根，判定两根的范围，从而确定

2

2

，

φ（x）的符号，得到f′（x）的符号，最终求出单调区间．

（2）先对函数g（x）求导，再m分m≤0，m≥1，0＜m＜1进行，同时运用函数的单调性即

可得到．

【解答】解：（1）①f′（x）=

∵x＞1时，

∴函数f（x）具有性质P（b）；

②当b≤2时，对于x＞1，φ（x）=x﹣bx+1≥x﹣2x+1=（x﹣1）＞0

所以f′（x）＞0，故此时f（x）在区间（1，+∞）上递增；

当b＞2时，φ（x）图象开口向上，对称轴，

222

恒成立，

方程φ（x）=0的两根为：，而

第16页（共21页）

当时，φ（x）＜0，f′（x）＜0，

故此时f（x）在区间上递减；

同理得：f（x）在区间上递增．

综上所述，当b≤2时，f（x）的单调增区间为（1，+∞）；

当b＞2时，f（x）的单调减区间为；f（x）的单调增区间为

．

（2）由题设知：g（x）的导函数g′（x）=h（x）（x﹣2x+1），其中函数h（x）＞0对于任

意的x∈（1，+∞）都成立，所以，

当x＞1时，g′（x）=h（x）（x﹣1）＞0，

从而g（x）在区间（1，+∞）上单调递增．

①当m∈（0，1）时，有α=mx

1

+（1﹣m）x

2

＞mx

1

+（1﹣m）x

1

=x

1

，α＜mx

2

+（1﹣m）x

2

=x

2

，

得

α∈（x

1

，x

2

），同理可得β∈（x

1

，x

2

），

所以由g（x）的单调性知g（α），g（β）∈（g（x

1

），g（x

2

）），

从而有|g（α）﹣g（β）|＜|g（x

1

）﹣g（x

2

）|，符合题设；

②当m≤0时，α=mx

1

+（1﹣m）x

2

≥mx

2

+（1﹣m）x

2

=x

2

，β=mx

2

+（1﹣m）x

1

≤mx

1

+（1﹣m）

x

1

=x

1

，

于是由α＞1，β＞1及g（x）的单调性知g（β）≤g（x

1

）＜g（x

2

）≤g（α），所以|g（α）

﹣g（β）|≥|g（x

1

）﹣g（x

2

）|，与题设不符．

③当m≥1时，同理可得α≤x

1

，β≥x

2

，进而得|g（α）﹣g（β）|≥|g（x

1

）﹣g（x

2

）|，

与题设不符

因此，综合①、②、③得所求的m的取值范围为（0，1）．

21．（10.00分）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作

答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

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2

2

A：AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，

求证：AB=2BC．

B：在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，0），B（﹣2，0），C（﹣2，1）．设k为非零实

数，矩阵M=，N=，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A

1

、B

1

、

C

1

，△A

1

B

1

C

1

的面积是△ABC面积的2倍，求k的值．

C：在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值．

D：设a、b是非负实数，求证：．

【分析】A、连接OD，则OD⊥DC，又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，再证明

OB=BC=OD=OA，即可求解．

B、由题设得，根据矩阵的运算法则进行求解．

C、在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，由题意将圆和直

线先化为一般方程坐标，然后再计算a值．

D、利用不等式的性质进行放缩证明，

然后再进行讨论求证．

【解答】解：A：（方法一）证明：连接OD，则：OD⊥DC，

又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，

∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，

所以∠DCO=30°，∠DOC=60°，

所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC．

（方法二）证明：连接OD、BD．

第18页（共21页）

因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=90°，AB=2OB．

因为DC是圆O的切线，所以∠CDO=90°．

又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，

于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO．

即2OB=OB+BC，得OB=BC．

故AB=2BC．

B满分（10分）．由题设得

由

，可知A

1

（0，0）、B

1

（0，﹣2）、C

1

（k，﹣2）．

计算得△ABC面积的面积是1，△A

1

B

1

C

1

的面积是|k|，则由题设知：|k|=2×1=2．

所以k的值为2或﹣2．

C解：ρ=2ρcosθ，圆ρ=2cosθ的普通方程为：x+y=2x，（x﹣1）+y=1，

直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：3x+4y+a=0，

又圆与直线相切，所以，

22222

解得：a=2，或a=﹣8．

D（方法一）证明：

=

=

因为实数a、b≥0

，

所以上式≥0．即有．

（方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得

=

第19页（共21页）

=

当a≥b时，

当a＜b时，

所以

，从而

，从而

，得

，得

．

；

；

22．某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一

等品率为90%，二等品率为10%．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二

等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2

万元．设生产各种产品相互独立．

（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；

（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．

【分析】（1）根据题意做出变量的可能取值是10，5，2，﹣3，结合变量对应的事件和相互

独立事件同时发生的概率，写出变量的概率和分布列．

（2）设出生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4﹣n件，根据生产4件甲产品所

获得的利润不少于10万元，列出关于n的不等式，解不等式，根据这个数字属于整数，得

到结果，根据独立重复试验写出概率．

【解答】解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，﹣3，且

P（X=10）=0.8×0.9=0.72，P（X=5）=0.2×0.9=0.18，

P（X=2）=0.8×0.1=0.08，P（X=﹣3）=0.2×0.1=0.02．

∴X的分布列为：

X

P

10

0.72

5

0.18

2 ﹣3

0.08 0.02

（2）设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4﹣n件．

由题设知4n﹣（4﹣n）≥10，

解得，

又n∈N，得n=3，或n=4．

所求概率为P=C

4

×0.8×0.2+0.8=0.8192

答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192．

第20页（共21页）

334

23．（10.00分）已知△ABC的三边长都是有理数．

（1）求证cosA是有理数；

（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数．

【解答】解：（1）证明：设三边长分别为a，b，c，

222

，

∵a，b，c是有理数，b+c﹣a是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法的具

有封闭性，

∴必为有理数，

∴cosA是有理数．

（2）①当n=1时，显然cosA是有理数；

当n=2时，∵cos2A=2cosA﹣1，因为cosA是有理数，∴cos2A也是有理数；

②假设当n=k（k≥2）时，结论成立，即coskA、cos（k﹣1）A均是有理数．

当n=k+1时，cos（k+1）A=coskAcosA﹣sinkAsinA，

，

，

解得：cos（k+1）A=2coskAcosA﹣cos（k﹣1）A

∵cosA，coskA，cos（k﹣1）A均是有理数，∴2coskAcosA﹣cos（k﹣1）A是有理数，

∴cosA，coskA，cos（k﹣1）A均是有理数．

即当n=k+1时，结论成立．

综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数．

2

第21页（共21页）