2024年4月2日发(作者：中考数学试卷河北模拟)
2015年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1+z
（1） 设复数z满足＝i，则|z|＝
1z
(A)1 (B)
2
(C)
3
(D)2
(2)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝
(A)
33
11
(B) (C)
(D)
22
22
(3)设命题P：
n
N，
n
2
>
2
n
，则
P为
(A)
n
N，
n
2
>
2
n
(B)
n
N，
n
2
≤
2
n
(C)
n
N，
n
2
≤
2
n
(D)
n
N，
n
2
＝
2
n
(4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中
的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为
(A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312
(5)已知M(x
0
，
y
0
)是双曲线C：
=1
上的一点，F
1
、F
2
是C的两个焦点，若
MF
1
MF
2
＜0，则y
0
的取值范围是
(A)(－
33
，)
33
(B)(－
33
，)
66
(C)(
22222323
，) (D)(
，)
3333
(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如
下问题“今有委米依垣内角，:下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”
其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之
一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和
堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率
约为3，估算出堆放的米约有
(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛
(7)设D为ABC所在平面内一点,
BC3CD
，则
1414
ABAC
(B)
ADABAC
3333
4141
(C)
ADABAC
(D)
ADABAC
3333
(8)函数
f（x）=cos（ωx+ϕ）
的部分图像如图所示，
则f(x)的单调递减区间为
(A)
AD
A．
（kπ﹣，kπ+，），k∈z
C．
（k﹣，k+），k∈z
B．
（2kπ﹣，2kπ+），k∈z
D．
（，2k+），k∈z
(9)执行右面的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
（10）
(xxy)
的展开式中，
xy
的系数为
(A)10 (B)20 (C)30 (D)60
（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何
体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的
表面积为16 ＋ 20
，则r＝
(A)1 (B)2 (C)4 (D)8
2552
12.设函数f(x)＝e
x
(2x－1)－ax＋a,其中a1,若存在
唯一的整数x
0
，使得f(x
0
)0，则a的取值范围是( )
3333
33
，1) B. [
,
) C. [
,
) D. [，1)
2e42e4
2e2e
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
A.[
(13)若函数f(x)＝xln(x＋
ax
2
)为偶函数，则a＝ .
(14)一个圆经过椭圆
=1
的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准
方程为 ______________________ .
x10
y
(15)若x，y满足约束条件
xy0
，则的最大值为 .
x
xy40
(16)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是
______________________ .
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分) S
n
为数列{a
n
}的前n项和.已知a
n
>0，
a
n
2
2a
n
4S
n
3
(Ⅰ)求{a
n
}的通项公式；(Ⅱ)设
b
n
1
，求数列
a
n
a
n1
}的前n项和.
(18) (本小题满分12分)如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC＝120°
E
E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，
F
DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
(Ⅰ)证明：平面AEC⊥平面AFC;
A D
(Ⅱ)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
C
B
(19) (本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年
宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8
年的年宣传费x
i
和年销售量y
i
(i＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点
图及一些统计量的值.
x
y
w
6.8
(xx)
i
i1
8
2
(ww)
i
i1
8
2
(xx)(yy)
(ww)(y
ii
8
8
ii
y)
i1
i1
46.6 563 289.8 1.6 1469 108.8
1
8
表中
w
i
x
i
，
w
w
i
8
i1
(Ⅰ)
根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋
dx
哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回
归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(Ⅲ)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(Ⅱ)的结果回答下列
问题：
（ⅰ）年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u
1
v
1
)，(u
2
v
2
)…….. (u
n
v
n
)，其回归线v＝
u的斜
率和截距的最小二乘估计分别为：
n
(uu)(vv)
ii
i1
(uu)
i
i1
n
,
v
u
2
(20)(本小题满分12分)
x
2
在直角坐标系xoy中，曲线C：y＝与直线y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点.
4
(Ⅰ)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
(Ⅱ)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由.
(21)(本小题满分12分)
1
已知函数f(x)＝
x
3
ax,g(x)lnx
.
4
(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线
yf(x)
的切线；
(Ⅱ)用
min
m,n
表示m，n中的最小值，设函数
h(x)min
f(x),g(x)
(x0)
，
讨论h(x)零点的个数.
请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分.
(22)(本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲
如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．
（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；
（Ⅱ）若OA= CE，求∠ACB的大小．
(23)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线
C
1
: x＝－2，圆
C
2
：(x－1)
2
＋(y－2)
2
＝1，以坐标原点为
极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求
C
1
，
C
2
的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线
C
3
的极坐标方程为
△C
2
MN的面积 .
4
R
，设
C
2
与
C
3
的交点为
M
，
N
，求
(24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知函数＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(Ⅰ)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(Ⅱ)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.
2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I）
理科数学答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
题号
答案
1
A
2
D
3
C
4
A
5
A
6
B
7
A
8
D
9
C
10
C
11
B
12
D
【部分试题解析】
2．【解析】原式
sin20cos10cos20sin10sin30
1
，故选D．
2
223
4．【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为
C
3
0.60.40.6=0.648
，故
选A．
5．【解析】由题知
F
1
3,0
，
F
2
x
0
2
y
0
2
1
，所以
MF
1
•MF
2
3x
0
,y
0
•
3,0
且
2
222
3x
0
,y
0
x
0
y
0
33y
0
10
，解得
33
y
0
，故选A．
33
6．【解析】设圆锥底面半径为
r
，则
2
116
23r8
，得
r
。所以米堆的体积为
43
320
11320
16
，故堆放的米约为
1.6222
，故选B．
3
5
9
439
3
12．【解析】设
g(x)e(2x1)
，
yaxa
，由题知存在唯一的整数
x
0
，使得
g(x
0
)
在直线
x
11
yaxa
的下方．因为
g
(x)e
x
(2x1)
，所以当
x
时，
g
(x)0
，当
x
时，
22
1
1
g
(x)0
；当
x
时，
g(x)
max
2e
2
．当
x0
时，
g(0)1
，
g(1)3e0
，直线
2
yaxa
恒过点
1,0
且斜率为
a
，故
ag(0)1
，且
g(1)3e
1
aa
，解得
3
a1
，故选D．
2e
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13.
1
3
25
14.
x
y
2
2
4
2
15.
3
16.
62,62
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