2018全国初中数学竞赛试题与参考答案

2024年4月9日发(作者：盐城2023二模数学试卷答案)

;.

.

中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”

2018 年全国初中数学竞赛试题

题 号

一

二

三

～

总 分

～

11

12

13

14

1

5

得 分

6

10

评卷人

复查人

答题时注意：

1．用圆珠笔或钢笔作答；

2．解答书写时不要超过装订线；

3．草稿纸不上交 .

一、选择题 <共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分. 每道小题均给出了代号为

A， B， C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的 . 请将正确选项的代号

填入题后的括号里 ，不填、多填或错填都得 0 分）

qfRgF4dw27

1．设

a

7

1

，则代数式

3a

3

12a

2

6a

12

的值为

(

>.

4 7

10

4

7

12

2．对于任意实数 a，b， c，d ，定义有序实数对（ a， b）与（c， d）之间的运算

“△”为： < a，b ）△ < c，d ）＝ < ac

bd，ad bc ）．如果对于任意实数

u， v，

u， v

都有 <

）△ < x，y ）＝ <

u， v

），那么 < x，y ）为 (

>.

qfRgF4dw27

3．若 x

1

，

y

0

，且满足

xy

x

y

，

x

x

3 y

，则

x

y 的值为 (

>.

9

y

11

2

2

4 ．点 D，E 分别在△

ABC 的边 AB， AC上， BE， CD相交于点

F ，设

S

S

，

SS

，

SS

，

S

四边形 EADF

1 BDF 2 BCF

3 CEF

S

4

，则

S

1

S

3

与

S

2

S

4

的大小关系为

(>.

S

1

S

3

S

2

S

4

S

1

S

3

S

2

S

4

S

1

S

3

S

2

S

4

10．如图，在

;.

.

5．设S

11

1

1

3

3 3 3

，则 4S的整数部分等于 (

>.

1

2

3

99

二、填空题 <共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）

6．若关于

x

的方程

( x

2)(x

2

4x m) 0

有三个根，且这三个根恰好可

以作为一个三角形的三条边的长，则

m

的取值范围是.

7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是

1，2，2，3，3，

4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是

1， 3， 4， 5， 6， 8.

同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率

是.

NW2GT2oy01

8．如图，点 A， B 为直线

y

x

上的两点，过

A，B

两点分别作

y 轴的平行

线交双曲线

1

y

<

x＞0

）于 C，D 两点 . 若 BD

2AC ，则

4OC

2

OD

2

的值

x

为.

NW2GT2oy01

第 10 题）

<第 8题）

9 ． 若

<

1

的最大值为

y

1 x

x

a，最小值为

b，则

a

2

b

2

的值为

.

Rt△ ABC 中，斜边

AB

的长为

35，正方形

CDEF

内接于△

ABC，且其边长为 12，则△ ABC 的周长为

.

NW2GT2oy01

三、解答题 <共 4 题，每题 20 分，共

80 分）

11．已知关于

x

的一元二次方程

x

2

cx

a

0

的两个整数根恰好比方程

x

2

ax

b

0

的两个根都大

1，求

a

b

c 的值 .

12．如图，点

H 为△

ABC 的垂心，以

AB 为直径的⊙

O

1

和△

BCH

的外接圆

⊙

O

2

相交于点

D

，延长

AD

交

CH

于点

P

，求证：点

P

为 CH 的中点 .

;.

.

<第 12 题）

13．如图，点

A 为 y 轴正半轴上一点，

A， B 两点关于

x

轴对称，过点 A 任

作直线交抛物线 y

2

x

2

于 P ，

Q

两点 .

3

<1）求证：∠ ABP =∠

ABQ

；

<2）若点 A 的坐标为 <0， 1），且∠

PBQ

=60o，试求所有满足条件的直线

PQ

的函数解读式

.

14．如图，△ABC 中，

BAC

60

，

<第 13 题）

AB

2AC．点

P在△ABC

内

，

且

PA

3， PB 5， PC

2

，求△

ABC

的面积．

中国教育学会中学数学教学专业

<第 14 题）

委员会

“《数学周报》杯”

2018 年全国初中数学竞赛试题参考答

案

一、选择题

1．A

解：由于

a

7 1

，

a 1

7

，

a

2

6 2a ， 所以

3a

3 2

（

）

12a

6a 12 3a 612 6

（

）

2a

2a

6a 12

6a

2

12a

60

（

）

6 6

12a

60

24.

2．B

2a

ux

vy

u

，

u(x

1)

vy

，

0

解：依定义的运算法则，有

，

即

对任何实数

vx

uy

v

v(x

1)

uy

0

u， v

都成立

.

由于实数

u，

v

的任意性，得

< x，y ）=<1， 0）．

.

3．C

解：由题设可知

y

x

y 1

，于是

x

yx

3 y

x

4 y 1

，

;.

所以

4y 1 1

，

故

y

1

9

，从而

x 4

．于是

x y

．

2

2

4． C

解：如图，连接DE ，设

S

DEF

S

1

， 则

S

S

4

1

EF

，从而有 S

1

S

3

S

2

S

4

．由于 S

1

S

1

，所以

S

2

BF

S

3

S

1

S

3

S

2

S

4

．

<第 4题）

5． A

解：当 k 2，3，

，99 时，由于

1

1

1

1

1

，

k

3

k k

2

1

2 k 1 k k k 1

所以

1 S 1

1 1

1

1

1 1

1

5

.

2

3

3

3

99

3

2

2

99

100

4

于是有 4

4S

5 ，故 4S 的整数部分等于 4．

二、填空题

6．3＜m≤4

解：易知 x

2 是方程的一个根，设方程的另外两个根为

，

，则

x

1

x

2

x

1

x

2

4

，

x

1

x

2

m

．显然

x

1

x

2

4

2

，所以

x

1

x

2

2，

16 4m

≥0，

2

即

x

1

x

2

4x

1

x

2

2

，

16

4m

≥0，所以

16

4m

2

，

16

4m

≥0，

解之得

3＜ m≤ 4.

;.

.

7．

1

9

解： 在 36 对可能出现的结果中，有

4 对： <1，4）， <2，3）， <2， 3），

<4，1）的和为 5，所以朝上的面两数字之和为

5 的概率是

4

1

.

NW2GT2oy01

36

9

8． 6

解：如图，设点 C 的坐标为（a，b），点 D 的坐标为（c，d）,

则点 A 的坐标为（

1

a，a），点 B 的坐标为（ c， c）. 由于点 C，D

在双曲线 y

上，所以 ab

1， cd

1 ．

x

由于 AC

a

b， BD

c

d ， 又由于 BD

2 AC，于

<第8题）

是

c

d

2 a b ， c

2

2cd

d

2

（4a

2

2ab

b

2

），

所以

（4

a

2

b

2

）（ c

2

d

2

） 8ab

2cd

6，

即

4OC

2

2

6.

9．

3

OD

2

1

解：由1

x ≥0，且 x

≥0，得

1

≤

x

≤ 1．

2

2

y

2

1

2

x

2

3

x

1 1

2 ( x

3

)

2

1

．

2

由于

13

2

2

2

4

16

<

2

3

< 1 ，所以当 x =

时，

y

取到最大值 1，故 a = 1 ．

2

4

4

当

1

x =

2

1

或 1 时，

y

取到最小值 ，故

b =

2

．

2

2

2

所以， a

2

b

2

3

．

2

10． 84

解：如图，设 BC＝a，AC＝b，则

a

2

b

2

35

2

＝

1225． ①

又 Rt △ AFE ∽ Rt △ ACB ， 所 以

F E

AF

，即

1 21 2

C B

A C

b

<第 10 题）

a

b

，故