湖北省孝感、荆州部分中学2022

2023年11月7日发(作者：当四叶草碰上剑尖时主题曲)

湖北省孝感、荆州部分中学2022-2023年高三下学期

5月联考数学试卷

一、单选题

1.

A.B.

C.D.

2.

A.B.C.D.

22i

3.

A.D.B.C.

4.

和，设，则()

在的展开式中，的系数为()

已知复数z满足，则z的虚部为()

若集合，，则

()

105

，点和在l上的射影分别是己知平面直角坐标系内直线l的方向向量

A.B.C.D.

5.

已知，是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象

2

)MMxN(

限的交点为，过点向轴作垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为

A.B.C.D.

6.

落在)的内部包括边界，则四面体PABC的体积的取值范围是(

已知矩形ABCD，，，沿AC折起成，若点P在平面ABC上的射影

A.B.C.D.

7.

为响应国家号召，某地出台了相关的优惠政策鼓励“个体经济”.个体户小王2022年6月初向银行借

了1年期的免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求.据测算：他每月月底获得的利润是该月

初投入资金的，并且每月月底需扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，

预计到2023年5月底他的年所得收入扣除当月生活费且还完贷款为__________元参考数据

，()

A.B.C.D.

35200432003000032000

8.

A.B.C.D.

已知函数存在零点，则实数a的值为()

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114

二、多选题

9.

下列命题中，正确的是()

A.

夹在两个平行平面间的平行线段相等

B.

三个两两垂直的平面的交线也两两垂直

C.

如果直线平面，，那么过点且平行于直线的直线有无数条，且一定在内

Pa

平面，平面，若直线满足，，，，则与已知，为异面直线，

lmn

D.

相交，且交线平行于

l

10.

已知函数的图象相邻两个对称中心之间的距离是，将

的图象，若是奇函的图象先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数

数，则下列结论错误的是()

A.B.

C.D.

11.

的最小正周期是在上单调递增

的图象关于直线对称对称的图象关于点

记函数与的定义域的交集为若存在，不等式，使得对任意

恒成立，则称构成“函数对”下列所给的两个函数能构成“函

M.M

数对”的有()

，，

，，

A.B.

C.D.

12.

平面，，分别是，如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线

ABCEFPAABOCOAB

PC的中点，记平面BEF与平面ABC的交线为l，直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足

记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，

PQABCPQEF

则下列说法不一定正确的是()

A.B.

C.D.

三、填空题

13.

14.

若两个锐角，满足，则

，则当时，概率最大已知随机变量服从

__________.X

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214

__________.

15.

16.

椭圆与抛物线有公共点，则a的取值范围是__________.

我校为了支援山区教育事业，组织了一支由13名一线中小学教师组成的支教团队，新闻记者采访其

中某位队员时询问了本团队的人员构成情况。该队员回答问题的结果如下：

①支教团队有中学高级教师②中学教师不多于小学教师③小学高级教师少于中学中级教师④小学中级教

;;;

师少于小学高级教师⑤支教团队中教师的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级⑥无论是

;;

否把我计算在内，以上五个条件都成立。据此，我们可以推测该队员的职称是从下列四个选

__________

项中选出正确的数字代号填空：小学中级小学高级中学中级中学高级

四、解答题

17.

如图，在三棱柱中，侧面为矩形，，，，

的中点.在底面ABC的射影为BC的中点N，M为

求证：平面平面

求平面与平面夹角的余弦值.

18.

已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且

求角A的大小;

若的外接圆半径为1，且的外心O满足，，求

的最大值.

19.

已知数列满足，且的前项和

求的首项

记，数列的前n项和为，求证：

100

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314

20.

已知椭圆的方程为，在椭圆上，离心率，左、右焦点分别为、

C

求椭圆C的方程;

若直线与椭圆C交于A，B两点，连接，并延长交椭圆C于D、E两点，连接

DE，试探索直线AB与直线DE的斜率之比是否为定值，并说明理由.

21.

为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能力，某中学开展了旧物义卖活动，所得善款将用于捐赠

“圆梦困境学生”计划.活动共计50多个班级参与，1000余件物品待出售.摄影社从中选取了20件物品，

用于拍照宣传，这些物品中，最引人注目的当属优秀毕业生们的笔记本，已知高三1，2，3班分别有，，

的同学有购买意向.假设三个班的人数比例为

现从三个班中随机抽取一位同学：

求该同学有购买意向的概率

;

如果该同学有购买意向，求此人来自2班的概率;

对于优秀毕业生的笔记本，设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买资格”的竞买方式：统一以元

0

为初始叫价，通过掷骰子确定新叫价，若点数大于，则在已叫价格基础上增加元更新叫价，若点数小

21

于，则在已叫价格基础上增加元更新叫价重复上述过程，能叫到元，即获得以元为价格的购买

32;1010

资格，未出现叫价为10元的情况则失去购买资格，并结束叫价.若甲同学已抢先选中了其中一本笔记本，

试估计其获得该笔记本购买资格的概率精确到

22.

已知：函数，且，

求证：

设，试比较，，，的大小.

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湖北省孝感、荆州部分中学2022-2023年高三下学期5月联考数学试卷参考答案

1.

【答案】

C

【分析】

本题考查并集及其运算，考查了对数不等式及一元二次不等式的解法，是基础题．

【解答】解：由题意得，

故

2.

【答案】

B

【分析】

本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了计算能力，属于基础题．

【解答】解：，

则复数的虚部为

z

3.

【答案】

A

【分析】

先求得二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于，求得的值，即可求得含的项的系

x2r

数．

本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．

【解答】解：的展开式的通项公式为，

令，求得，可得展开式中的系数是，

故选

4.

【答案】D

【分析】

本题主要考查平面向量的坐标运算和投影向量，属于基础题.

【解答】解：和

则在l上的投影有：

又由与的方向相反，

故由得

故选：

5.

【答案】A

【分析】

本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和圆的位置关系，考查离心率的求法，是中档题.

【解答】解：设由题意知是直角三角形，

以，为直径的圆的方程为

由，，消去，得

x

由于在第一象限，，故，

M

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514

即，

负值舍去

6.

【答案】C

【分析】

点P在平面ABC上的射影落在的内部包括边界，所以当P在面ABC上的投影在AC

上时，四面体PABC的体积最大;当P在面ABC上的投影在AB上时，四面体PABC的体积最小，本题考

查四面体体积求解，属中档题

.

【解答】解：点P在平面ABC上的射影落在的内部包括边界

所以当P在面ABC上的投影在AC上时，四面体PABC的体积最大，

由，设到面的距离为，

则

所以四面体PABC的体积最大为：

当P在面ABC上的投影在AB上时，四面体PABC的体积最小，

设P到面ABC的距离为，在中可得，所以四面体PABC的体积最小为

，

所以四面体的体积的取值范围为

PABC.

故答案为

PABC

7.

【答案】D

【分析】

本题主要考查等比数列的实际应用，属于中档题.

【解答】解：设年月底小王手中有现款为元，

20226

设2022年6月底为第一个月，以此类推，

设第n个月底小王手中有现款为，第个月月底小王手中有现款为，

则，即，

所以数列是首项为，公比为的等比数列，

4800

，即，

年所得收入为元.故选：

8.

【答案】B

【分析】

本题考查导函数中的零点问题，属于拔高题.

将问题转化为有实数根，构造函数，

，利用导数求解的最值，利用基本不等式求解的最值，即可求解

.

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614

【解答】解：有零点，

则有实数根，

即有实数根，

记，，

则有实数根，

由于，，

故当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以当时，，取极大值也是最大值，所以

对于，

所以，当且仅当时取等号，

所以要使得且，即有实数根，此时

9.

【答案】

ABD

【分析】

本题考查线面的位置关系，属基础题

.

【解答】解：A显然正确；

BYabc

选项，如下图所示，设平面、、两两垂直，它们的交线分别为、、，

，，平面、内的直线、分别满足

mn

，，，，，

同理可得，，

，，，

，，，，

、，，，同理可证，

B选项正确;

C

选项，只有一条；

D选项，用反证法，若与平行，由平面以及平面得，这与m，n为异面直线矛盾，

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714

故假设不成立，故与相交，由平面、以及得，又，由直线与平面平行的性

质定理得平行于与的交线，故选项正确

lD.

10.

【答案】ACD

【分析】

本题主要考查了余弦函数的图象和性质的应用，考查了图象的平移变换，诱导公式等，属于中

档题

.

【解答】解：由题可知，

即，解得

则

，

由函数是奇函数可得，且，即

，

时，满足题意.

即

则最小正周期为，故错误；

，

，则可知函数单调递增，故B正确；

，故C错误；

由C可知函数关于点对称，故D错误.

A

11.

【答案】

AC

【分析】

本题主要考查了新定义函数，考查函数的定义域和值域，考查不等式恒成立问题，考查利用导

数研究函数的单调性，属于较难题.

【解答】解：选项中，易知，设，易知在上

A

单调递增，且，存在，

使得，当时，当时，故当时，，即

对任意的恒成立，故A正确;

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814

B

选项中，易知，设，则，

当时，，函数单调递减;当时，，函数单调递增.故

，故不存在，使得对任意恒成立，故，不等式

B

不正确

;

C

选项中，易知，由得，即

，故当时，对任意的恒成立，故C正确;

D

选项中，，若存在，使得对任意，不等式恒成立，

则即无解，故不正确

D.

故选

12.

【答案】

BCD

【分析】

本题考查线线夹角、线面夹角、面面夹角问题，属难题

.

【解答】解：

由，作，且

连接PQ，EF，BE，BF，BD，可知交线l即为直线

以点为原点，向量，，所在直线分别为，建立如图所示的空间直角坐标系，设，轴，，

Cxyz

，，

则有，，，，，，

于是，，，

，从而，

又取平面ABC的一个法向量为，可得，

设平面的一个法向量为，

BEF

所以由可得取，

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914

于是，从而

故，即

13.

【答案】

【分析】

本题主要考查三角恒等变换综合应用，属于中档题

.

【解答】解：由题意可得左边，

右边，

由左边=右边，可得，

即，又，

可得，即，则

14.

【答案】5或6

【分析】

本题考查独立重复试验的概率的计算，属于基础题.

【解答】解：，，1，2，3，，9，

由，

解得，又，

可得当或6时概率最大

15.

【答案】

【分析】

本题考查椭圆与抛物线的位置关系，属中档题.

【解答】解：联立椭圆方程和抛物线方程，消y得，，

由题意即满足方程在上有根，得

16.

【答案】

【分析】

本题主要考查学生的逻辑推理能力，先设出未知数，再根据题列出对应不等关系，即可求解。

属于较难题

.

【解答】解：设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为，，，，

abcd

则，，，，

所以，所以，，

若，则，因为，所以

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1014

因为，所以，矛盾.

，，队长为小学中级时，去掉队长，则

，，满足

，，，不满足队长为小学高级时，去掉队长则

，，，不满足队长为中学中级时.去掉队长则

，，，，不满足队长为中学高级时：去掉队长则

综上可得队长为小学中级

.

17.

【答案】解：面ABC，连AN，则，又，

，又，所以平面，

又平面，所以平面平面

由知，，以点为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴

NNANBxyz

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

，，，

，则，设平面的法向量为

即，可取，

同理可得平面的一个法向量

故平面与平面夹角的余弦值为

【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定，平面与平面夹角的向量求法，属于中档题.

18.

【答案】解：由及正弦定理，得

即，

化简，得，即由于，

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1114

所以，

，

由，得

平方，得，

解得当且仅当时取“”，此时为正三角形

故为正三角形时，取最大值

=

【点睛】本题考查正弦定理解三角形，平面向量的数量积运算，属中档题

.

19.

【答案】解：当为奇数时，

当为偶数时，

n

n

所以

又，所以

解得，

由得，，，

当时，

综上，知

【点睛】本题主要考查裂项相消法求和分组求和，注意分类讨论，属于中档题.

20.

【答案】解：由在椭圆上，可得，

又由离心率，可得，且，

解得，，，所以椭圆C的方程为

设，则，直线，

代入，，得

因为，，代入化简得

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设，，则，所以，，

直线，同理可得，

化简得，

故，即，，

所以，

又，，

所以

【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系及其应用，椭圆中的定值问题，属于较难题.

21.

【答案】解：设事件“该同学有购买意向”，事件“该同学来自班”由

全概率公式可得：

i

由条件概率可得

由题意可得每次叫价增加元的概率为，每次叫价增加元的概率为

12

设叫价为元的概率为，叫价出现元的情况只有下列两种：

①叫价为元，且骰子点数大于2，其概率为

②叫价为元，且骰子点数小于3，其概率为

于是得到，易得，

由于，

于是是以首项为，公比为的等比数列，故

于是

n

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于是，甲同学能够获得笔记本购买资格的概率约为

【点睛】本题考查全概率公式，条件概率，等比数列求和，属难题

.

22.

【答案】解：由对称性，不妨设，，

则

由于，欲证，即证：

，

设，，

由切线不等式未证不扣分，

得，

故，单调递增，，得证.

由，得在上单调递减，且，

在由知上单调递增，且

①当上单调递增，时，在

故，即

②当时，由的结论，

得时，

有，即

由在上单调递增，

故，即综上，得

，

，关于x单调递减，

，

综上，得

【点睛】本题主要考查利用导数恒明不等式和利用导数比较大小，属于难题

.

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