2022年湖南长沙中考数学试题【含答案】

2022年湖南长沙中考数学试题

注意事项：

1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准

考证号、考室和座位号；

2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；

3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；

4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；

5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；

6.本学科试卷共25个小题，时量120分钟，．

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合

题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1. 的相反数是（）

6

11

A. B. C. D. 6

66



D

6

2. 如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，该几何体的主视图是（ ）

A. B.

C. D.

B

3. 下列说法中，正确的是（ ）

A. 调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查

B. “太阳东升西落”是不可能事件

C. 为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图

D. 任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数一定是13次

A

4. 下列计算正确的是（ ）

A. B. C. D.

aaa

752

5a4a1

236

3a2a6a

(ab)ab

222

A

5. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）

(5,1)

A. B. C. D.

(5,1)(5,1)

(1,5)

(5,1)

D

6. 《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明

确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，5，4，6，3，3，4，则这组

数据的众数和中位数分别是（ ）

A. 3，4B. 4，3C. 3，3D. 4，4

A

7. 为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现

需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本

的单价为8元/本，设购买甲种读本本，则购买乙种读本的费用为（ ）

x

A. 元B. 元C. 元D.

8x

10(100x)8(100x)

(1008x)

元

C

CDAEAB∥，∥，CFBAE75

8. 如图，，则的度数为（ ）

DCF

A. B. C. D.

657075

C

105

9. 如图，，是的切线，、为切点，若，则的度数为（

PAPBAB

O

AOB128

P

）

A. B. C. D.

3264

5272

B

10. 如图，在中，按以下步骤作图：

ABC

1

BAPQ

AB

①分别过点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于、两点；

2

②作直线交于点；

PQABD

③以点为圆心，长为半径画弧交于点、连接、．

DADPQMAMBM

若，则的长为（ ）

AB22

AM

A. 4B. 2C. D.

3

B

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11. 若式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________．

x19

x19

【详解】式子在实数范围内有意义，



x19

x190

19x

，

解得，

故．

x19

25

12. 分式方程的解是_____________ .

xx3





2

x

=2

【详解】解：两边同乘（+3），得2（+3）=5，

xxxx

解得=2，

x

经检验=2是原方程的根；

x

故=2．

x

13. 如图，、、是上的点，，垂足为点，且为的中点，若

ABCDDOC

O

OCAB

OA7

，则的长为___________．

BC

7

【详解】解：如图，连接，

OB,CA



ABC

、、是上的点，，

O

OCAB

ADDB

，



DOC

为的中点，

ODDC

，



四边形是菱形，，

AOBCOA7

BCAO7

．

故7．

14. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值为

x2xt0

t

___________．

2

t

1

【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，



x

x2xt0

2

241t0

2

，

t1

，

故．

t

1

15. 为了解某校学生对湖南省“强省会战略”的知晓情况，从该校全体1000名学生中，随

机抽取了100名学生进行调查．结果显示有95名学生知晓．由此，估计该校全体学生中知

晓湖南省“强省会战略”的学生有___________名．

950

【详解】解：估计该校全体学生中知晓湖南省“强省会战略”的学生有

1000



故

950

95

100

950

（名）

16. 当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛

应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现

出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个小小

的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格

只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数

2

据二维码，现有四名网友对的理解如下：

2

200

200

YYDS

（永远的神）：就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；

2

200

2

200

DDDD

（懂的都懂）：等于；

2

200

JXND

（觉醒年代）：的个位数字是6；

2

200

103

21024,101000

，所以我估计比大．（强国有我）：我知道

2

200

10

60

QGYW

其中对的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）．

2

200

DDDD

【详解】是200个2相乘，（永远的神）的理解是正确的；

2

200

YYDS

2(2)200

20010022

，（懂的都懂）的理解是错误的；

DDDD

22,24,28,216,232

12345

，



2的乘方的个位数字4个一循环，

200450

，

200



2

的个位数字是6，（觉醒年代）的理解是正确的；

JXND

2(2),10(10)

200102060320

，，且

21024,101000

103

210

103

210

20060

，故（强国有我）的理解是正确的；

QGYW

故．

DDDD

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，

第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说

明、证明过程或演算步骤）



1

|4|(2)2035





20



3

17. 计算：．

6



1



1



1

|4|(2)2035





20



3

【详解】解：

=

4321

=6

18. 解不等式组：



3x8x

①





2(x1)6

②

2x4

【详解】解不等式①，得，

x2

解不等式②，得，

x4

所以，不等式组的解集为．

2x4

19. 为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环

境进行优化改造．如图，表示该小区一段长为的斜坡，坡角

AB

20m

BAD30，BDAD

于点．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为

D

15

．

（1）求该斜坡的高度；

BD

（2）求斜坡新起点与原起点之间的距离．（假设图中，，三点共线）

CACAD

（1）10m（2）20m

【小问1详解】



BAD30，BDAD

BDAB

1

10m

2

，

AB20m

【小问2详解】

ACB15



CAD

，，三点共线，

BAD30，



ABCBADC15

ACAB20m

20. 2022年3月22日至28日是第三十五届“中国水周”，在此期间，某校举行了主题

“为推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛．为了了解本

次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，

得到如下两幅不完整的统计图表．

成绩/分频数频率

x

60x70

70x80

80x90

90x100

150.1

0.2

a

45

60

b

c

（1）表中___________，___________，___________；

a

b

c

（2）请补全频数分布直方图：

（3）若某班恰有3名女生和1名男生的初赛成绩均为99分，从这4名学生中随机选取2

名学生参加复赛，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生

的概率．

（1）30，0.3，0.4

（2）见解析（3）选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为

1

2

【小问1详解】

a15015456030

，

45

b0.3

150

，

c0.4

60

150

，

故30，0.3，0.4；

【

小问2详解】

频数分布直方图如图所示：

【小问3详解】

用分别表示3名女生，用表示1名男生，列表如下：

A,B,C

d

ABCd

ABACAdA

BABCBdB

CACdCBC

dAdBdCd

共有12种等可能结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，

61



P

（选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生），

122

∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为．

1

2

CBABBAD，，CDAD

21. 如图，平分，垂足分别为，．

ACBD

ABC≌△△ADC

（1）求证：；

（2）若，求四边形的面积．

AB4，CD3

ABCD

（1）见解析（2）12

【小问1详解】

CBBAD，，ABCDAD



AC

平分，

ACAC

，

CABCAD,BD

，

ABCADCAAS



【小问2详解】

；

△△ABCADC

，，

AB4,CD3

ABAD4,BCCD3

，

BD90

，

SABBC436SADCD436



ABCACD



四边形的面积．

ABCD

1111

，

2222

，

SS6612



ABCACD

22. 电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，

一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题．其

大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少：

另外三个群，狗的数量多且数量相同．问：应该如何分？请你根据题意解答下列问题：

（1）刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十

九条守门口，剩下三条给财主．”请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后

相应的括号内，正确的打“√”，错误的打“×”．

①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案．（ ）

②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案．（ ）

③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种．（ ）

（2）若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数

量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量．

（1）√，×，×

（2）数量少的群里狗的数量为45只，狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为85只

【小问1详解】

根据题意，姐妹们给出的答案是符合要求的；除此之外，还可分成97,97,97,9等，



刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案，

∵这里的每群狗的数量还需要是正整数，

∴答案不是无数种，

∴①√，②×，③×，

故√，×，×；

【小问2详解】

设数量少的狗群的数量为只，则狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为只，

x

(x40)

由题意得：

解得，

x45

x3(x40)300

，

x4085

（只），

所以，数量少的群里狗的数量为45只，狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为85只．

23. 如图，在中，对角线，相交于点，．

ABCD

ACBDO

ABAD

（1）求证：；

ACBD

3

EF，AO2

2

（2）若点，分别为，的中点，连接，，求的长及四边形

EFADAOEFBD

ABCD

的周长．

（1）见解析（2），四边形的周长为

BD6

ABCD

413

【小问1详解】

证明：四边形是平行四边，，



ABCD

ABAD



四边形是菱形，

ABCD



ACBD

；

【小问2详解】

解：点，分别为，的中点，



EFADAO

EF

是的中位线，

△AOD

1

EFOD

2

，

3

EF

2

，



OD3

，



四边形是菱形，

ABCD

BD2OD6

，



ACBD

，

在中，，，

RtAOD

AO2

OD3

AOOD2313AD

2222

，



菱形形的周长为．

ABCD

413



24. 如图，四边形内接于，对角线，相交于点，点在边上，连接

ABCDACBDEFAD

O

EF

．

ABE∽△△DCE

（1）求证：；



（2）当时，则

DCCB，DFE2CDB

AEDEAFFE111



BECEABADABADAF

___________；___________；___________．

（直接将结果填写在相应的横线上）

ABE，CDE△△

的面积依次为，若满足（3）①记四边形，，

SSS

,,

12

SSS

ABCD

ABE，CDE△△

的形状，并说明理由．试判断，

12



ADnCDpABm，，

时，试用含，，的式子表示．②当，

mnp

AECE

DCCB

（1）见解析（2）0，1，0

pmn

2

2

（3）①等腰三角形，理由见解析，②

pmn

【小问1详解】



证明：，

ADAD

ACDABD

，

即，

ABEDCE

又，

DECAEB

ABE∽DCE△△

；



【小问2详解】

ABE∽△△DCE



，

ABBEAE



DCCEDE

，

AECEBEDE

，

AEDEAECEBEDE





0

BECEBECE



，

CDBCBD180BCDDAB2CDB

，



DFE2CDB

，

DFEDAB

，

EF∥AB

，

FEAEAB

，





DCCB，

DACBAC

FAEFEA

，

FAFE

，

EF∥AB

，

DFE∽DAB

，

EFDF



ABAD

，

AFFE

EFAFDFAFAD



1

ABADADADAD



ABAD

，

AFAFAFEF



1

ABADABAD



，

AFAF



1

ABAD

，

111



0

ABADAF

，

故0，1，0

【小问3详解】

①记的面积为，

ADE,EBC

则，

S,S

34

SSSSS

1234



SS

14

BE

SSDE

32

，

SSSS

1234

①



SSS

12

，

，即

SSS2SS

1212

②

SS2SS

3412

由①②可得，

SS2SS

3434

SS0



即，

34

2

SS

34

，

即，



SSSS



ABEADEABEEBC

，

SS



ABDADC

CD∥AB

，

ACDBAC,CDBDBA

，

ACDABD，CDBCAB

，

EDCECDEBAEAB

，

ABE,DCE

都为等腰三角形；



BCDC

②，

DACEAB

，

DCAEBA

，

DAC∽EAB

，

ADAC



EAAB

，

ADnCDpABm，，

，



EAACDAABmn

，

BDCBACDAC

，

CDECAD

，

又，

ECDDCA

CDCE



ACCD

，

CECACDp

22

，

EAACCEACACmnp

22

，

CDp

22

2

ACmnp,EC



AC

mnp



2

则，



DCE∽ACD

，



AEACCE

2

mn

mnp



2

，



AEEC

mnp

mnp



2

．

txt

25. 若关于的函数，当时，函数的最大值为，最小值为，令函

xyyMN

11

22

h



数，我们不妨把函数称之为函数的“共同体函数”．

MN



2

hy

（1）①若函数，当时，求函数的“共同体函数”的值；

y4044x

t1

yh

②若函数（，，为常数），求函数的“共同体函数”的解析式；

ykxb

k0

kbyh

yx1

（）

（2）若函数，求函数的“共同体函数”的最大值；

2

x

yh

2

yx4xk

，是否存在实数，使得函数的最大值等于函数的“共（3）若函数

kyy

同体函数”的最小值．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

hk

（1）①；②时，，时，

2022k0

1

（2）

2

hh

kk

22

k0

（3）时，存在

t2

k

31

8

【小问1详解】

解：①当时，则，即，

t1



1x1

11

13

x

22

22

y4044x

，，随的增大而增大，

k4044

0

y

x

31

40444044



MN



22



2022h

22

，

11

txt

22

，②若函数，当时，

ykxb

k0



11

Mktb,Nktb







22



，

MNk





h

22

，



11

Mktb,Nktb







22

当时，则，

k0



h

MNk



22

，

hh

综上所述，时，，时，，

k0

【小问2详解】

kk

22

k0

yx1



解：对于函数，

2



x



20

，，函数在第一象限内，随的增大而减小，

x1

y

x

t1

1

2

，

t

解得，

3

2

txt

当时，

11

22

2424



,NM

11

2t12t1



tt



22



，

MN14444





22t122t1







h



222t12t12t12t12t12t14t1







2

，

3

t

2

时，随的增大而增大，∵当

4t1

2

t



当时，取得最小值，此时取得最大值，

t

3

2

2

4t1

h

h



最大值为；

441



2t12t1242



【小问3详解】

2

yx4xk

x24k



，对于函数

2

当时，函数的最大值等于，

x2

y

4k

a10

，抛物线开口向下，

x2

时，随的增大而增大，

y

x

x2

时，随的增大而减小，

y

x

txt

在时，

11

22

2



11

13

Nt4tk



t2t





22



22

时，①当时，即，



11

Mt4tk







22

，

22







11111



MN



t4tkt4tk









22222













2t

，

2



h



1

h

的最小值为（当时），

2

2

t

3

2

1

若，

2

4k

k

解得，

7

2

t

但不合题意，故舍去；，故

7

3

k

2

2

2



11

15

Mt4tk



t2t





22



22

时，②当时，即，



11

Nt4tk







22

，

MN



t2

，

2



h

5

1

t

2

时）的最小值为（当，



h

2

1

若，

2

2

4k

k

解得，

7

2

t

但，故不合题意，故舍去

5

7

k

2

2

11

35

2tt

t

22

时，即时，，③当

22

M4k



11

3

2tt2





t2

22



2

i

)当时，即时



11

Nt4tk







22



11

4kt4tk





MN1525





22

htt



2

22228



对称轴为，，抛物线开口向上，在上，

2

2

t

3

5

1



0

t2

2

2

2

1

当2时，有最小值，

t

h

8

1

4k

8

k

解得

31

8



11

5

2tt2





2t



22

2

时，，)当 时，即

M4k

i i



11





t4tk



22

N

，

2



11

4kt4tk





MN139





22

htt



2

22228

，



5

3

1



0

2t

t

2

上，，对称轴为，抛物线开口向上，在

2

2



2

1

当2时，有最小值，

t

h

8

1

4k

8

k

解得

31

8

k

31

8

．综上所述，时，存在

t2