全国中学生数学竞赛

全国中学⽣数学竞赛

数学竞赛交流群：489188431 我国的⾼中数学竞赛分三级，每年10⽉中旬的全国联赛次年⼀

⽉的CMO(冬令营);次年三⽉开始的国家集训队的训练与选拔。

为使我国的数学竞赛活动能⼴泛⽽有序、深⼊⽽持久地开做好各级各类数学竞赛的培训选拔⼯

作，国内采取了⼀系列有效措施。⾸先是创造数学竞赛的良好场景，中⼩学组织各年的教学兴

趣⼩组活动，做到定时间、定地点、定辅导教师、定辅内容对⼀些数学苗⼦开办数学奥林匹克

业余学校，有计划给以强化性的辅导与培训。其次是增强数学竞赛的辅导⼒量;各级数学奥林匹

克教练员队伍，不断提⾼这⽀队伍的辅导与教练素质。再次是优化数学竞赛的辅导体系;编写与

出版基础性的数学竞赛培训教材或辅导读物，收集与整理国内外数学竞赛资料，研究与提炼数

学竞赛题的解题思想⽅法及技能技巧，健全与完善数学竞赛的选拔机制及辅导⽅式。

全国⼩学数学奥林匹克(创办于1991年)，它是⼀个普及型、⼤众化的活动，分为初赛(每年3

⽉)、夏令营(每年暑期)。

全国初中数学联赛（创办于1984年)，采⽤轮流做东的形式由各省、市、⾃治区数学竞赛组织机

构具体承办，每年4⽉举⾏，分为⼀试和⼆试。

全国⾼中数学联赛(创办于1981年)，承办⽅式与初中联赛相同，每年10⽉举⾏，分为⼀试和⼆

试，在这项竞赛中取得优异成绩的全国约90名学⽣有资格参加由中国数学会主办的中国数学奥

林匹克(CMO)暨全国中学⽣数学冬令营(每年元⽉)。

世界奥林匹克林数学竞赛(中国区)选拔赛，每年举办两届，是由中国关⼼下⼀代⼯作委员会教育

发展中⼼等机构组织举办的赛事活动。其参赛对象为10⾄16周岁少年⼉童，即⼩学三年级⾄初

中三年级7个年级组。赛事的⽬的是在中国境内选拔优异的数学选⼿代表中国参加世界奥林匹克

数学竞赛全球总决赛。

在普及的基础上不断提⾼的⽅针指引下，全国数学竞赛活动⽅兴未艾，特别是连续⼏年我国选

⼿在国际数学奥林匹克中取得了可喜的成绩，使⼴⼤中⼩学师⽣和数学⼯作者为之振奋，热忱

不断⾼涨，数学竞赛活动进⼊⼀个新的阶段，为了使全国数学竞赛活动持久、健康、逐步深⼊

地开展，应⼴⼤中学师⽣和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《数学竞赛⼤纲》以适应

当前形势的需要。

本⼤纲是在国家教委制定的全⽇制中学数学教学⼤纲的精神和基础上制定的。《教学⼤纲》在

教学⽬的⼀栏中指出要培养学⽣对数学的兴趣，激励学⽣为实现四个现代化学好数学的积极

性。具体作法是做学有余⼒的学⽣，要通过课外活动或开设选修课等多种⽅式，充分发展他们

的数学才能，要重视能⼒的培养，着重培养学⽣的运算能⼒、逻辑思维能⼒和空间想象能⼒，

要使学⽣逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类⽐等重要的思想⽅法。同时，要

重视培养学⽣的独⽴思考和⾃学的能⼒。

《教学⼤纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的最低要求。在竞赛中对同样的知识

内容的理解程度与灵活运⽤能⼒，特别是⽅法与技巧掌握的熟练程度，有更⾼的要求。⽽'课堂

教学。为主，课外活动为辅'是必须遵循的原则。因此，本⼤纲所列的课外讲授的内容必须充分

考虑学⽣的实际情况，分阶段、分层次让学⽣逐步地去掌握，并且要贯彻'少⽽精'的原则，这样

才能加强基础，不断提⾼。

竞赛设状元奖(奖杯)⼀名、⼀等奖(⾦牌)、⼆等奖(银牌)、三等奖(铜牌)，(有些还有进步⿎励奖)

⽐例⼤致为1:2:3;获奖者总数不能超过参赛学⽣的半数。各届获奖的标准与当届考试的成绩有

关。

⼀试.

全国⾼中数学联赛的⼀试竞赛⼤纲，完全按照全⽇制中学《数学教学⼤纲》中所规定的教学要

求和内容，即⾼考所规定的知识范围和⽅法，在⽅法的要求上略有提⾼，其中概率和微积分初

步不考。

折叠⼆试.

平⾯⼏何

基本要求:掌握初中竞赛⼤纲所确定的所有内容。

补充要求:⾯积和周长⽅法。

⼏个重要定理:梅涅劳斯定理、塞⽡定理、托勒密定理、西姆松定理。

⼏个重要的极值:到三⾓形三顶点距离之和最⼩的点--费马点。到三⾓形三顶点距离的平⽅和最⼩

的点--重⼼。三⾓形内到三边距离之积最⼤的点--重⼼。

⼏何不等式。

简单的等周问题。了解下述定理:

在周长⼀定的n边形的集合中，正n边形的⾯积最⼤。

在周长⼀定的简单闭曲线的集合中，圆的⾯积最⼤。

在⾯积⼀定的n边形的集合中，正n边形的周长最⼩。

在⾯积⼀定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最⼩。

⼏何中的运动:反射、平移、旋转。

复数⽅法、向量⽅法。

平⾯凸集、凸包及应⽤。

代数

在⼀试⼤纲的基础上另外要求的内容

周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。

三倍⾓公式，三⾓形的⼀些简单的恒等式，三⾓不等式。

第⼆数学归纳法。

递归，⼀阶、⼆阶递归，特征⽅程法。

函数迭代，求n次迭代，简单的函数⽅程。

n个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应⽤。

复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应⽤。

圆排列，有重复的排列与组合。简单的组合恒等式。

⼀元n次⽅程(多项式)根的个数，根与系数的关系，实系数⽅程虚根成对定理。

简单的初等数论问题，除初中⼤纲中斯包括的内容外，还应包括⽆穷递降法，同余，欧⼏⾥得

除法，⾮负最⼩完全剩余类，⾼斯函数[x]，费马⼩定理，欧拉函数，孙⼦定理，格点及其性

质。

⽴体⼏何

多⾯⾓，多⾯⾓的性质。三⾯⾓、直三⾯⾓的基本性质。

正多⾯体，欧拉定理。

体积证法。

截⾯，会作截⾯、表⾯展开图。

平⾯解析⼏何

直线的法线式，直线的极坐标⽅程，直线束及其应⽤。

其他

抽屉原理

容斥原理

极端原理